中学受験算数の最短距離｜展開図で解くコツ

中学受験算数の最短距離問題とは？

この記事では、中学受験算数の最短距離問題について、基本の考え方から展開図を使う理由、よくある間違い、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数の図形問題では、「ある点から別の点まで最も短く進むには何cmか」という最短距離の問題が出ます。

平面上なら考え方は単純です。

2つの点を一直線に結んだ線が最短になります。

ところが、直方体や立方体、円柱などの表面を通る問題になると、見た目だけでは最短経路が分かりにくくなります。

そこで使うのが「展開図」です。

平面では直線が最短になる

まず最も基本的な考え方を確認しましょう。

紙の上にAとBという2つの点があるとします。

AからBまで、

曲がって進む
折れ曲がって進む
一直線に進む

という3つの方法があれば、最も短いのは一直線です。

これは最短距離問題の土台になります。

中学受験では難しい公式を覚えるより、

「2点を結ぶなら、まっすぐが最短」

という感覚を持つことが重要です。

立体では展開図に直して考える

立体の表面では、そのままでは2点を直線で結べません。

たとえば直方体の表面をアリが歩く問題を考えます。

アリは立体の中を突き抜けることはできません。

表面だけを通る必要があります。

そこで、アリが通る面を開いて平らにします。

つまり展開図にします。

展開図にすると、立体上では折れ曲がって見えていた道のりを、平面上の1本の直線として考えられるようになります。

これが最短距離問題で展開図を使う理由です。

最短距離は図形問題の頻出テーマ

最短距離は、

直方体
立方体
円柱
正方形・長方形
折り返し

など、さまざまな図形問題と組み合わせて出題されます。

特に中学受験では、

「どの展開図を作るか」
「どこを一直線に結ぶか」

を自分で判断させる問題が多くなります。

そのため、公式暗記よりも図形を動かして考える力が必要になります。

中学受験の最短距離問題の基本的な解き方

最短距離問題は、問題の形によって見た目は変わります。

しかし基本は、

平面なら直線
立体なら平面に開いて直線

の2つです。

平面上の最短距離は一直線で結ぶ

たとえば縦6cm、横8cmの長方形があります。

左下の点Aから右上の点Bまで、長方形の内部を通って最短で進む距離を求めるとします。

この場合は、AとBを一直線に結びます。

すると、

横8cm
縦6cm

の直角三角形ができます。

中学受験では三平方の定理を使わず、問題によって相似や比、既知の図形の性質などを利用して長さを求めることがあります。

重要なのは、まず「最短＝直線」と判断することです。

直方体の表面は展開図にして直線で結ぶ

次に、縦3cm、横4cm、高さ5cmの直方体を考えます。

ある頂点Aから、反対側の頂点Bまで表面を通って進む最短距離を求めるとします。

このとき、直方体の面を2枚または3枚つなげて展開します。

たとえば、

4cmの面と5cmの面

を横につなぐと、展開図上では横の長さが、

4＋5＝9cm

になります。

そこに縦3cmの長方形ができれば、AからBまでを一直線に結びます。

この直線が、その展開図で考えたときの最短距離です。

ポイントは、立体の表面で折れ曲がっていた道が、展開図では一直線になることです。

展開図が複数あるときは長さを比較する

ここが中学受験で差がつきやすい部分です。

直方体では、展開の仕方が1通りとは限りません。

たとえば、

縦＋横
縦＋高さ
横＋高さ

という組み合わせが考えられます。

つまり、

(3＋4)と5
(3＋5)と4
(4＋5)と3

のように、異なる長方形を作れる場合があります。

それぞれで対角線の長さを考え、最も短いものを選びます。

ここで大切なのは、

「最初に思いついた展開図が必ず最短とは限らない」

ということです。

難関校の問題では、複数の経路を比較させることもあります。

円柱では側面を長方形に直して考える

円柱の表面を通る最短距離も、基本は同じです。

円柱の側面を切り開くと、長方形になります。

長方形の横の長さは円周です。

たとえば底面の円周が12cm、高さが5cmの円柱なら、側面を開くと、

横12cm
縦5cm

の長方形になります。

側面上の2点を結ぶ最短距離は、この長方形上で一直線に結べば求められます。

ただし、円柱ではどの位置で切り開くかによって点の位置が変わるため、図を正確に描くことが重要です。

最短距離問題でよくある間違い

最短距離問題は、計算よりも「図の見方」で間違えることが多い単元です。

よくあるミスを知っておきましょう。

立体の見た目のまま考えてしまう

よくあるのが、直方体を立体のまま見て、

「この辺を通って、次にここを曲がって……」

と考える方法です。

これでは最短かどうか判断しにくくなります。

最短距離を求めるなら、まず面を開いて平面にする。

これを習慣にしましょう。

家庭では、

「立体のままだと曲がって見えるけれど、開いたらどうなる？」

と声をかけると理解しやすくなります。

展開図を1通りしか考えない

直方体の最短距離では、1つの展開図だけ作って答えを出してしまう子がいます。

しかし別の開き方をすると、さらに短い経路が見つかる場合があります。

たとえば、

3cm＋4cm
3cm＋5cm
4cm＋5cm

のように、どの辺をつなげるかを変えて確認する必要があります。

問題文に「最短」と書かれている場合は、

「ほかの行き方はない？」

と一度確認する癖をつけましょう。

辺に沿って進む距離と混同する

もう一つ多いのが、

「立体の辺だけを通る」

問題と、

「表面ならどこを通ってもよい」

問題の混同です。

辺だけを通るなら、辺の長さを足して求めます。

一方、表面を自由に通ってよいなら、展開図上で斜めに一直線に進めます。

この違いは非常に重要です。

問題文に、

「辺に沿って」
「表面を通って」

のどちらが書かれているかを確認しましょう。

最短距離が苦手な子への家庭での教え方

最短距離は、紙面だけで理解しにくい子もいます。

特に立体図形が苦手な子は、「展開する」という操作そのものが頭の中でできないことがあります。

その場合は、実物を使うと理解しやすくなります。

紙を切って展開図を実際に作る

おすすめなのは、紙で直方体や立方体を作る方法です。

箱を作ったら、辺を切って開いてみます。

すると、

「立体だったものが平面になる」

という感覚を実際に確認できます。

さらに、立体上の2点に印をつけてから開きます。

開いたあとに2点を定規で結べば、

「立体では曲がって見えた道が、平面では直線になる」

ことが目で分かります。

立体図形が苦手な子ほど、この体験が効果的です。

「まっすぐが一番短い」を最初に確認する

いきなり展開図から教えると、子どもは手順だけを覚えてしまいます。

その前に、

「平らなところなら、一番短いのはどんな道？」

と聞いてみてください。

答えは、

「まっすぐ」

です。

そのうえで、

「じゃあ立体も平らにできたら？」

とつなげます。

こうすると、

展開図にする理由

が理解できます。

簡単な直方体から段階的に練習する

最初から複雑な円柱や複数面を通る問題を解く必要はありません。

まずは、

2つの面だけを通る直方体

から始めます。

次に、

3つの面を使う問題

へ進みます。

さらに、

複数の展開図を比較する問題
円柱の問題

へ進むとよいでしょう。

難易度を一段ずつ上げることで、「何をすればいいか分からない」という状態を防げます。

図に長さを書き込む習慣をつける

最短距離問題では、図に数字を書かない子ほど混乱しやすくなります。

展開図を描いたら、

この辺は3cm
ここは4cm＋5cm

のように、長さを書き込みます。

すると、

「どの長さを使えばよいか」

が見えるようになります。

家庭では、

「式を書く前に、分かっている長さを全部書こう」

と声をかけてみてください。

式より先に図を完成させることがポイントです。

まとめ｜中学受験算数の最短距離は展開図がカギ

中学受験算数の最短距離問題では、平面と立体で考え方が少し変わります。

平面なら、

「2点を一直線に結ぶ」

ことが基本です。

直方体や立方体などの立体では、

「表面を展開して平面にする」
「2点を一直線で結ぶ」

という流れになります。

特に注意したいのは、

展開図が1通りとは限らないこと
辺を通る問題と表面を通る問題を区別すること
最初に思いついた経路が最短とは限らないこと

です。

算数が苦手な子には、公式を覚えさせるより、

「平らなら、まっすぐが一番短い」

という感覚から教えてみてください。

そして、紙の箱を実際に開いて展開図にしてみると理解しやすくなります。

最短距離問題は一見すると難しい立体図形ですが、やっていることは、

立体を平面に直す
↓
直線で結ぶ
↓
必要なら別の展開図と比べる

という3段階です。

この流れを身につければ、直方体だけでなく、立方体や円柱などの問題にも対応しやすくなります。

中学受験算数では、図形を頭の中だけで処理しようとしないことが大切です。

まず描く。

必要なら開く。

そして最短なら一直線にする。

この習慣が、最短距離だけでなく立体図形全体の得点力につながります。