中学受験算数の旅人算を克服する家庭学習法

中学受験算数の旅人算を克服するには原因を知る

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の旅人算を克服するために必要な考え方と、家庭でできる具体的な学習法を順を追って解説します。

速さを足すのか引くのかで迷っている

中学受験算数の旅人算を克服するには、まず「なぜ分からなくなるのか」を整理することが大切です。もっとも多い原因は、速さを足すのか引くのかの判断があいまいなことです。

たとえば、AさんとBさんが1200m離れた場所から向かい合って歩くとします。Aさんが分速70m、Bさんが分速50mなら、1分で2人の距離は70＋50＝120m縮まります。したがって、1200÷120＝10分で出会います。

一方、兄が分速90m、弟が分速60mで同じ方向に進み、兄が弟を追いかける場合、1分で縮まる距離は90−60＝30mです。もし最初に300m離れていれば、300÷30＝10分で追いつきます。

この違いを「出会いは足す、追いつきは引く」とだけ覚えていると、少し問題文が変わったときに迷います。大切なのは、2人の距離がどう変化しているかを見ることです。

誰が何分動いたかを整理できていない

旅人算でつまずく子は、誰が何分動いたのかを整理できていないことも多いです。2人が同時に出発する基本問題なら解けても、片方が先に出発する問題になると急に分からなくなるケースがあります。

たとえば、弟が分速60mで10分先に出発し、その後に兄が分速90mで追いかける問題を考えます。兄が出発した時点で、弟は60×10＝600m先にいます。この600mが、兄が追いつくべき距離です。

その後、兄と弟の速さの差は90−60＝30mなので、600÷30＝20分で追いつきます。

ここで大切なのは、いきなり速さの差で割らないことです。まず「後から出発した人が動き始めた時点で、2人は何m離れているか」を求める必要があります。

単位換算で考え方まで崩れている

旅人算では、考え方は合っているのに単位換算で失点することもあります。分速、時速、m、km、分、時間が混ざると、子どもは一気に混乱しやすくなります。

たとえば、片方が分速80m、もう片方が時速6kmと書かれていた場合、そのまま足したり引いたりしてはいけません。時速6kmは、1時間に6000m進むという意味です。1時間は60分なので、6000÷60＝分速100mです。

単位がそろっていないまま式を立てると、答えは大きくずれてしまいます。旅人算を克服するには、式を書く前に「速さの単位はそろっているか」「距離はmかkmか」「時間は分か時間か」を確認する習慣が必要です。

旅人算克服に必要な基本の考え方

向かい合うときは距離が縮まる速さを見る

旅人算を克服する第一歩は、向かい合う問題を理解することです。2人が向かい合って進むと、2人の間の距離は両方から縮まります。

たとえば、Aさんが分速80m、Bさんが分速70mで向かい合って歩く場合、1分で縮まる距離は80＋70＝150mです。1500m離れていれば、1500÷150＝10分で出会います。

ここで重要なのは、「向かい合うときは足す」と丸暗記することではありません。Aさんが進んだ分とBさんが進んだ分の両方で、間の距離が短くなるから足すのです。

家庭では、「2人の距離は広がる？ 縮まる？」と聞いてみてください。子どもが「縮まる」と答えられれば、速さを足す理由も理解しやすくなります。

同じ向きに進むときは速さの差を見る

同じ向きに進む旅人算では、速さの差を見ます。速い人が遅い人を追いかけるとき、2人の距離は速さの差だけ縮まるからです。

たとえば、弟が分速60m、兄が分速90mで同じ方向に進む場合、兄は1分で弟より30m多く進みます。つまり、2人の距離は1分に30mずつ縮まります。

もし弟が300m先にいれば、300÷30＝10分で追いつきます。

ここで90＋60としてしまう子は、2人の向きを見られていない可能性があります。同じ向きなら、2人分を合わせるのではなく、「速い人が遅い人よりどれだけ多く進むか」を見ると考えましょう。

時間差がある問題は先に進んだ距離を出す

旅人算で苦手意識が強くなりやすいのが、時間差のある問題です。このタイプでは、まず先に出発した人がどれだけ進んだかを求めます。

たとえば、弟が10分先に出発したなら、その10分間で進んだ距離を出します。分速60mなら、60×10＝600mです。この600mが、兄が追いつくべき最初の差になります。

その後、兄と弟の速さの差で600mを縮めていきます。兄が分速90m、弟が分速60mなら、差は30mです。600÷30＝20分で追いつきます。

時間差の問題では、「先に動いた時間」と「2人が同時に動く時間」を分けることが大切です。この区別ができると、旅人算の応用にも対応しやすくなります。

家庭でできる旅人算の克服法

問題文を短い場面に言い換える

旅人算を家庭で教えるときは、長い問題文を短い場面に言い換えることが効果的です。文章が長いままだと、子どもは数字だけを拾って式を作ろうとしがちです。

出会い算なら、
「2人が向かい合って進む」
「2人の距離が縮まる」
「1分で縮まる距離は2人の速さの合計」
と整理します。

追いつき算なら、
「弟が先にいる」
「兄が後から追いかける」
「1分で縮まる距離は速さの差」
と言い換えます。

このように短くすると、問題の中で何が起きているのかが見えやすくなります。親がすぐに式を教えるより、「つまり、2人の距離はどうなる？」と問いかけるほうが理解につながります。

線分図と矢印で動きを見える化する

旅人算の克服には、線分図と矢印がとても役立ちます。特に、速さを足すのか引くのかで迷う子には、2人の向きを見える形にすることが必要です。

出会い算では、線の両端から矢印を向かい合わせに描きます。すると、2人が近づいていることが分かります。

追いつき算では、2本の矢印を同じ方向に描きます。速い人の矢印を少し長く描くと、距離が縮まっていく様子が見えます。

図はきれいでなくて構いません。大切なのは、誰がどこからどちら向きに進んでいるのか、距離は縮まるのか広がるのかを確認することです。式を書く前に矢印だけでも描く習慣をつけると、旅人算のミスは減っていきます。

式の意味を1文で説明させる

旅人算を克服するには、答えが合ったかどうかだけでなく、式の意味を説明できるかを確認しましょう。

出会い算なら、
「向かい合って進むので、1分で縮まる距離は70＋50＝120mです」
と言えれば十分です。

追いつき算なら、
「同じ向きに進むので、1分で縮まる距離は90−60＝30mです」
と説明できれば理解できています。

時間差の問題なら、
「弟が10分先に出たので、兄が出発した時点で600m離れています」
と言えるかを確認します。

説明は長くなくて構いません。むしろ、1文で短く言えるほうが考えは整理されています。答えが合っていても説明できない場合は、式を丸暗記している可能性があります。

旅人算を得点源に変える練習ステップ

出会い算と追いつき算を分けて復習する

旅人算を克服するには、まず出会い算と追いつき算を分けて復習しましょう。最初から混ぜて解くと、速さを足すのか引くのかで迷いやすくなります。

出会い算では、向かい合って進むため速さを足します。追いつき算では、同じ向きに進むため速さの差を見ます。

それぞれ基本問題を3〜5問ずつ解き、「これはなぜ足すのか」「これはなぜ引くのか」を確認します。正解数だけを見るのではなく、判断の理由を言えるかを重視しましょう。

慣れてきたら、出会い算と追いつき算を混ぜた問題に進みます。混ざった状態で向きを判断できるようになると、テストでも安定しやすくなります。

時間差・単位換算を重点的に直す

基本の出会い算と追いつき算ができるようになったら、次に重点的に直したいのが時間差と単位換算です。ここは中学受験算数の旅人算で得点差がつきやすい部分です。

時間差の問題では、まず先に動いた人がどれだけ進んだかを出します。単位換算では、分速と時速、mとkm、分と時間をそろえます。

家庭では、問題を解く前に次の2つを確認するとよいでしょう。

「先に動いた人はいる？」
「単位はそろっている？」

この2つを確認するだけで、標準問題のミスは大きく減ります。難しい解法を増やすより、最初の確認を習慣にすることが大切です。

間違い直しは原因を3つに分ける

旅人算の間違い直しでは、答えを書き写すだけで終わらせないことが大切です。原因を3つに分けると、次に何を直せばよいかが見えやすくなります。

1つ目は、向きのミスです。向かい合うのか、同じ向きなのかを読み違えた場合です。

2つ目は、時間差のミスです。先に進んだ距離を求め忘れた、誰が何分動いたかを間違えた場合です。

3つ目は、単位のミスです。分速と時速、mとkmをそろえ忘れた場合です。

ノートには、
「向きミス」
「時間差ミス」
「単位ミス」
のように短く書くだけで十分です。

「旅人算が苦手」で終わらせず、「何が原因で間違えたのか」まで分けることで、克服への道筋がはっきりします。

まとめ：旅人算克服の鍵は「動きの見える化」

中学受験算数の旅人算を克服するには、公式をたくさん覚えるより、まず2人の動きを見える化することが大切です。向かい合うのか、同じ向きなのか、誰が何分動いたのか、単位はそろっているのかを確認するだけで、理解は大きく変わります。

向かい合う問題では、2人の距離が両方から縮まるため速さを足します。同じ向きに進む問題では、速い人と遅い人の差だけ距離が縮まるため、速さの差を見ます。時間差がある問題では、まず先に進んだ距離を出すことが重要です。

家庭では、問題文を短い場面に言い換え、線分図と矢印で動きを整理しましょう。解いた後には、式の意味を1文で説明させると、理解が定着しやすくなります。

旅人算は、苦手なまま放置すると速さ全体への不安につながります。しかし、出会い算と追いつき算を分けて復習し、時間差・単位換算を丁寧に直していけば、得点源に変えられる単元です。焦らず、「2人の距離はどう変わるのか」を見るところから始めていきましょう。