中学受験算数 平面図形の基本

中学受験算数の平面図形は基本が得点の土台

この記事では、中学受験算数の平面図形の基本でつまずくお子さんを持つ保護者の方に向けて、角度・面積・補助線・比の見方を家庭で説明しやすい順番で解説します。

公式暗記より図の見方が大切

中学受験算数の平面図形では、公式を覚えることは大切です。三角形の面積は「底辺×高さ÷2」、長方形の面積は「たて×横」、円の面積は「半径×半径×3.14」といった基本公式は、当然使える必要があります。

しかし、平面図形で点が取れない子は、公式をまったく知らないわけではありません。むしろ、公式は言えるのに、問題になるとどこに使えばよいか分からないことが多いです。

たとえば、三角形の面積を求める問題でも、図の中に三角形がいくつも重なっていると、どこを底辺にするのか、どの長さが高さなのかを判断しなければなりません。角度問題でも、三角形の内角和180度を知っていても、どの三角形に注目するかが分からなければ手が止まります。

つまり、平面図形の基本は「公式を覚えること」だけではなく、「図の中から公式を使える形を見つけること」です。家庭で教えるときも、いきなり式を教えるより、「どの形なら知っている公式が使えそう？」と聞くことが大切です。

まず角度・長さ・平行を書き込む

平面図形の基本として、最初に身につけたいのが図への書き込みです。問題文に書かれている角度、長さ、平行、直角、同じ長さなどを、必ず図に移していきます。

たとえば、「AB＝AC」と書かれていれば、ABとACに同じ印をつけます。「ABとCDは平行」と書かれていれば、平行線に印を入れます。角度が分かったら、その都度図の中に書き込みます。

この作業をすると、図の見え方が変わります。同じ長さに印をつけることで二等辺三角形に気づくことがあります。平行線に印をつけることで錯角や同位角が見えることがあります。直角に印をつけることで、高さや長方形の一部に気づくこともあります。

平面図形が苦手な子ほど、図を見つめるだけで手を動かしていない場合があります。図形問題は、見ているだけでは進みません。書き込むことで、考える材料が増えていきます。

平面図形の基本は「条件整理」から始まる

中学受験算数の平面図形は、ひらめきやセンスだけで解く単元ではありません。多くの問題は、条件を正しく整理することで解き方が見えてきます。

条件整理とは、問題文に書かれている情報を図の上に見える形で整理することです。どの長さが分かっているのか。どの角度が分かっているのか。どの線が平行なのか。どの図形が同じ形なのか。こうした情報を一つずつ確認します。

たとえば、面積問題では、求めたい部分に斜線をつけるだけでも方針が見えやすくなります。角度問題では、分かる角をすべて書き込むことで、三角形の内角和や一直線180度が使いやすくなります。

平面図形の基本が不安定な子は、式や解法以前に、この条件整理で止まっていることが多いです。家庭学習では、答えを急がせる前に「分かっていることを図に入れよう」と声をかけることが効果的です。

中学受験算数 平面図形の基本を整理する

角度は三角形・平行線・円から考える

平面図形の角度問題では、まず三角形・平行線・円の3つを確認しましょう。この3つは、中学受験算数の角度問題で非常によく使われる基本です。

三角形では、内角の和が180度です。二等辺三角形なら底角が等しく、正三角形なら3つの角がすべて60度です。角度問題で三角形が見えたら、まずこの基本を確認します。

平行線がある場合は、錯角や同位角を使います。Zの形やFの形を探すと、同じ角度が見つかることがあります。平行線の問題では、線を少し延長して考えると角度の関係が見えやすくなる場合もあります。

円がある場合は、半径に注目します。中心から円周上の点へ引いた線はすべて半径なので、同じ長さです。そのため、円の中には二等辺三角形が隠れていることがあります。

家庭で角度問題を解説するときは、「公式は何？」と聞くより、「三角形はある？」「平行線はある？」「半径はどこ？」と聞く方が、子どもは図を見る場所をつかみやすくなります。

面積は分ける・引く・移すで考える

平面図形の面積問題では、公式を覚えるだけでなく、図形をどう扱うかが大切です。複雑に見える図形も、基本の形に直せば解けることが多くあります。

面積の基本は、「分ける」「引く」「移す」の3つです。

「分ける」とは、複雑な図形を三角形、長方形、台形、円の一部などに分けることです。知らない形に見えても、知っている形に分ければ基本公式で求められます。

「引く」とは、大きな図形から不要な部分を取り除くことです。たとえば、大きな長方形から小さな三角形を引く、正方形全体から円の一部を引く、という考え方です。

「移す」とは、同じ形を移動して考えやすい形にすることです。影のついた部分が分かれていても、移動させると長方形や三角形にまとまる場合があります。

面積が苦手な子には、「どの公式を使う？」より先に、「この形は分けられる？」「大きい形から引ける？」「同じ形を移せる？」と声をかけるとよいでしょう。

比は同じ高さ・相似・対応関係を見る

中学受験算数の平面図形では、比が出てくると一気に難しく感じる子が増えます。ここで大切なのは、何の比を見ているのかを整理することです。

まず、同じ高さの三角形では、面積比は底辺の比と同じになります。たとえば、高さが同じで底辺の比が2：3なら、面積比も2：3です。高さを実際に求めなくても、面積の比を考えられるのがポイントです。

次に、相似な図形では、対応する辺の比がそろいます。相似比が2：3なら、対応する辺の長さの比が2：3になります。ただし、面積比は2：3ではありません。相似な図形の面積比は、辺の比を2回かけた比になるため、4：9です。

子どもが混乱しやすいのは、辺の比と面積比を同じものとして扱ってしまうことです。家庭では、「同じ高さの三角形なのか」「相似な図形なのか」「何と何が対応しているのか」を確認しましょう。比は数字だけでなく、図の関係を見ることが基本です。

平面図形の基本でつまずきやすいポイント

図を眺めるだけで手が止まる

平面図形でよくあるつまずきは、図を眺めるだけで手が止まることです。これは、考えていないのではなく、最初に何をすればよいか分からない状態です。

この状態を防ぐには、最初にやる行動を決めておきましょう。まず、問題文に書かれている長さや角度を図に書き込む。次に、同じ長さ、直角、平行、等しい角に印をつける。最後に、三角形や四角形など、知っている形に分けられないかを見る。この順番を毎回使います。

たとえば、角度問題なら、分かっている角度をすべて図に入れます。面積問題なら、求める部分を斜線で示します。比の問題なら、同じ高さの三角形や相似な図形がないかを探します。

平面図形は、図を見てすぐに解法が浮かぶとは限りません。書き込みながら気づく単元です。家庭では、答えが合っているかだけでなく、まず図に条件を書き込めているかを見てあげましょう。

補助線をひらめきだと思ってしまう

平面図形の基本で多くの子が不安を感じるのが補助線です。解説を見ると、「ここに線を引けばよい」と書かれていて、急に答えが見えるように感じます。そのため、「自分には思いつけない」「図形はセンスが必要」と思ってしまうことがあります。

しかし、補助線はただのひらめきではありません。目的を持って引くものです。三角形を作るため、平行線を使うため、同じ高さを見つけるため、相似を見つけるため、面積を分けるために引きます。

たとえば、面積比の問題では、同じ高さの三角形を作るために補助線を引くことがあります。角度問題では、平行線を利用するために線を延長することがあります。相似の問題では、対応する三角形を見つけやすくするために線を引くことがあります。

家庭では、「どこに線を引く？」と聞く前に、「何を見つけたい？」と聞くのがおすすめです。補助線の目的が分かると、線を引く場所も少しずつ見えやすくなります。

辺の比と面積比を混同する

平面図形の基本で注意したいのが、辺の比と面積比の混同です。特に相似や面積比の問題では、比の数字だけを見て処理すると間違えやすくなります。

同じ高さの三角形では、面積比は底辺の比と同じです。底辺の比が2：3で高さが同じなら、面積比も2：3になります。

一方、相似な図形では、面積比は辺の比を2回かけた比になります。たとえば、相似比が2：3なら、面積比は4：9です。ここを2：3のまま考えると、答えが大きくずれます。

子どもには、「同じ高さならそのまま」「相似なら2回かける」と整理すると伝わりやすいです。ただし、言葉だけで覚えるのではなく、図の中で本当に同じ高さなのか、相似なのかを確認することが必要です。

平面図形の比は、計算より前に「何の比か」を見分けることが基本です。

家庭でできる平面図形の基本練習

1問目は解く前に条件を書き込む

家庭で平面図形を練習するときは、1問目からすぐに答えを出そうとしないことが大切です。まず、解く前に条件を書き込む時間を作りましょう。

問題文を読んだら、長さ、角度、平行、直角、同じ長さを図に入れます。求める部分には印をつけます。面積問題なら、斜線をつけるだけでも考えやすくなります。角度問題なら、分かっている角度をすべて書き込みます。

この作業は、遠回りに見えて実は近道です。条件を書き込むことで、使える三角形、同じ高さ、平行線、相似な図形が見つかりやすくなります。

図形が苦手な子ほど、頭の中だけで考えようとして止まります。家庭学習では、「まず分かっていることを図に入れよう」と声をかけてください。正解よりも、手を動かして条件を整理することを優先しましょう。

親は「どこに注目したか」を聞く

保護者が平面図形をサポートするときは、答えが合っているかだけでなく、子どもがどこに注目したかを確認しましょう。

声かけとしては、「どの三角形を見たの？」「同じ長さはどこにあった？」「平行線は使えそう？」「なぜその補助線を引いたの？」「面積を分けるならどこで分ける？」がおすすめです。

答えが合っていても、注目した場所を説明できなければ、次の問題で再現できない可能性があります。反対に、答えが間違っていても、見る場所が合っていれば、あと少しで解ける状態です。

平面図形は、解法を暗記するより、図を見る視点を育てることが大切です。親がすぐに解説するより、子どもに「なぜそこを見たのか」を短く説明させることで、理解が深まります。

難問より基本パターンを反復する

平面図形の基本を定着させるには、難問ばかりに取り組むより、基本パターンを反復する方が効果的です。難しい問題も、基本の組み合わせでできていることが多いからです。

角度なら、三角形の内角和、平行線の錯角・同位角、円の半径による二等辺三角形。面積なら、分ける、引く、移す。同じ高さの三角形なら底辺の比。相似なら対応する角と辺の比。まずはこの基本をくり返しましょう。

1日15分でも十分です。1問を丁寧に扱い、図への書き込み、方針の説明、解き直しまで行います。問題数を増やすより、同じ見方を安定して使えるようにすることが大切です。

平面図形は、センスだけで決まる単元ではありません。基本パターンを積み重ねることで、見える図形が増えていきます。

まとめ

中学受験算数の平面図形の基本は、公式を覚えることだけではありません。図に条件を書き込み、角度・長さ・平行・同じ形を見つけることが大切です。角度では三角形・平行線・円、面積では分ける・引く・移す、比では同じ高さや相似を確認しましょう。

つまずきやすいのは、図を眺めるだけで手が止まること、補助線をひらめきだと思ってしまうこと、辺の比と面積比を混同することです。これらは、図への書き込みと条件整理を習慣にすることで改善できます。

家庭では、1問目から答えを急がせず、まず分かっている条件を図に書き込ませましょう。保護者の方は、答えではなく「どこに注目したか」「なぜその方法を使ったか」を聞いてあげてください。平面図形は、基本の見方を身につければ、苦手から得点源へ変えていける単元です。