中学受験算数 図形の求積ができない時

中学受験算数で図形の求積ができない理由

この記事では、中学受験算数の図形の求積ができない原因と、家庭で今日から見直せる具体的な対策を順番に解説します。

公式は覚えていても使う場面が分からない

中学受験算数で「図形の求積ができない」と悩む子の多くは、公式そのものをまったく知らないわけではありません。三角形の面積は「底辺×高さ÷2」、台形の面積は「上底と下底の和×高さ÷2」、円の面積は「半径×半径×3.14」と答えられる子も多いです。

それでも問題になると止まってしまうのは、公式を使える形に図を整理できていないからです。入試や模試の求積問題では、単純な三角形や長方形だけで出ることは少なく、複数の図形が組み合わさっていたり、色のついた一部分だけを求めたりすることがよくあります。

たとえば、正方形の中に円が入っている問題では、円の面積を求めるのか、正方形から円を引くのかを判断しなければなりません。三角形が重なっている問題では、どの三角形を見ればよいのかを決める必要があります。

つまり、図形の求積ができない原因は、公式不足だけではありません。「どの図形として見るか」「何を足すか、何を引くか」を判断する力がまだ育っていないことが多いのです。

足す・引く・分けるの判断で止まっている

図形の求積で子どもが止まりやすいのは、「足すのか、引くのか、分けるのか」が分からない場面です。公式を覚えていても、求めたい部分が複雑な形をしていると、最初の一手が見えなくなります。

求積の基本方針は、大きく3つです。1つ目は、複雑な形を基本図形に分けて、それぞれの面積を足す方法です。2つ目は、大きな図形全体から不要な部分を引く方法です。3つ目は、同じ高さや同じ底辺を使って、面積比で求める方法です。

たとえば、L字型の図形は長方形2つに分けて足すこともできますし、大きな長方形から欠けた部分を引くこともできます。どちらの方法でも解ける場合がありますが、子どもは「正しいやり方は1つだけ」と思い込むと固まりやすくなります。

家庭では、「これは足せそう？引けそう？分けられそう？」と声をかけてみましょう。求積問題は、最初から式を立てるより、図形の見方を選ぶところから始めると考えやすくなります。

図の条件を整理する前に計算している

図形の求積ができない子は、図の条件を整理する前に計算を始めてしまうことがあります。問題文に書かれている長さ、直角、平行、等しい辺、半径、直径などを図に書き込まないまま式を作ろうとすると、どの数を使えばよいのか分からなくなります。

特に、円の問題では半径と直径の取り違えがよく起こります。直径が10cmと書かれているのに、そのまま円の面積公式に入れてしまうと誤答になります。三角形でも、斜めの辺を高さだと思い込んでしまうことがあります。高さは底辺に対して垂直な長さです。

また、中学受験の図は正確な縮尺で描かれていないことがあります。見た目で「この長さは同じくらい」「ここは直角に見える」と判断すると危険です。使ってよいのは、問題文の条件と、図形の性質から説明できることだけです。

求積問題では、計算力より前に図の整理力が問われます。式を書く前に、図へ情報を書き込む習慣をつけることが大切です。

図形の求積ができない子に必要な基本確認

求める面積が全体か一部かを見る

図形の求積ができないとき、まず確認したいのは「求める面積が全体なのか、一部なのか」です。ここを見落とすと、正しい公式を使っていても、違う部分の面積を出してしまいます。

全体の面積を求める問題なら、図形をいくつかの基本図形に分けて足す方法が使いやすいことがあります。反対に、色のついた部分や重なった部分など、一部の面積を求める問題では、全体から不要な部分を引く方が簡単な場合があります。

たとえば、正方形の中に円があり、円の外側の面積を求めるなら、正方形の面積から円の面積を引きます。大きな三角形の中に小さな三角形があるなら、大きな三角形から小さな三角形を引いて求める場合があります。

家庭では、問題を読んだ直後に「求めるのは全部？それとも一部？」と聞いてみましょう。この一言だけで、子どもは足すのか引くのかを考えやすくなります。

底辺・高さ・半径を図に書き込む

図形の求積では、底辺・高さ・半径を正しく見つけることが欠かせません。公式を覚えていても、そこに入れる数を間違えると正解にはなりません。

三角形では、底辺と高さが直角に交わることを確認します。底辺に対して垂直な長さが高さです。台形では、上底・下底・高さを区別します。円では、中心から円周までが半径であり、直径が分かっている場合は半分にしてから使います。

求積が苦手な子ほど、式を急いで書き始める傾向があります。しかし、式の前に図へ必要な情報を書き込むだけで、ミスはかなり減ります。分かっている長さ、直角、平行、等しい辺、半径、直径を図に入れてから考えると、使うべき公式が見えやすくなります。

家庭では、「底辺はどこ？」「高さはどこ？」「半径はいくつ？」「直径をそのまま使っていない？」と短く確認してみてください。

同じ高さ・同じ底辺から面積比を考える

中学受験算数の図形の求積では、面積比を使う問題もよく出ます。特に、複数の三角形が出てくる問題では、「同じ高さ」と「同じ底辺」を見つけることが重要です。

三角形では、同じ高さなら面積の比は底辺の比になります。たとえば、高さが同じ2つの三角形で、底辺の比が2：3なら、面積の比も2：3です。反対に、同じ底辺なら面積の比は高さの比になります。

この考え方を使うと、すべての長さが分からなくても、一部分の面積を求められることがあります。特に、平行線がある図形では同じ高さが見つかりやすくなります。台形の中にできる三角形や、平行四辺形の中に線が引かれた問題でもよく使われます。

家庭では、「この2つの三角形は高さが同じかな？」「底辺の比は分かるかな？」と聞いてみましょう。面積比が使えるようになると、求積問題の解き方が広がります。

中学受験算数 図形の求積を解けるようにする手順

まず基本図形に分ける

図形の求積ができない子には、まず複雑な図形を基本図形に分ける練習が必要です。見た目が難しくても、長方形、三角形、台形、円、扇形などに分ければ、公式を使える形になります。

たとえば、L字型の図形は長方形2つに分けて、それぞれの面積を足すことができます。五角形のように見える図形も、三角形と四角形に分ければ求めやすくなることがあります。円が含まれる図形でも、半円や扇形として見れば計算しやすくなる場合があります。

分けるときのポイントは、無理に細かくしすぎないことです。細かく分けすぎると、必要な長さが分からなくなったり、計算が増えたりします。すでに長さが分かっている辺を使って分けると、式が立てやすくなります。

家庭では、「この図形は何と何に分けられる？」と聞いてみましょう。子どもが基本図形の名前を言えるようになると、求積の入口が見えてきます。

直接求めにくいときは全体から引く

求めたい部分が複雑な形をしているときは、直接求めようとせず、全体から不要な部分を引く考え方が役立ちます。これは図形の求積で非常によく使う発想です。

たとえば、正方形の中に円があり、円の外側を求める問題では、正方形の面積から円の面積を引きます。大きな長方形から小さな長方形が欠けている形なら、大きな長方形の面積から欠けた部分の面積を引けば求められます。

この方法で大切なのは、「全体」と「引く部分」をはっきりさせることです。求めたい部分に印をつけ、引く部分にも別の印をつけると、式の意味が分かりやすくなります。

家庭では、「直接求めにくいなら、大きな形から引けないかな？」と声をかけてみましょう。求積問題ができない子は、直接求めることにこだわって止まっている場合があります。全体から引く発想を持つと、解ける問題が増えます。

長さが足りないときは比で考える

図形の求積では、必要な長さがすべて書かれていないことがあります。そのときに役立つのが、比を使って考える方法です。特に、同じ高さや同じ底辺を持つ三角形では、面積比を使って求められることがあります。

たとえば、同じ高さの三角形で底辺の比が1：2なら、面積の比も1：2です。全体の面積が分かっていれば、全体を3つ分と見て、1つ分や2つ分の面積を求めることができます。

比を使う問題では、どの三角形どうしを比べるかが大切です。図の中に三角形がたくさんある場合でも、同じ高さがあるか、同じ底辺があるかを探します。平行線があると、同じ高さが見つかりやすくなります。

家庭では、「全部の長さが分からなくても、比で考えられないかな？」と問いかけてみましょう。比を使えるようになると、求積問題は一段解きやすくなります。

家庭でできる図形の求積の立て直し方

式を書く前に図へ条件を書かせる

家庭で図形の求積を立て直すなら、まず「式を書く前に図へ条件を書く」ことを徹底しましょう。求積ができない子は、図を十分に整理しないまま計算へ進んでしまうことが多いです。

分かっている長さ、底辺、高さ、半径、直径、上底、下底を図に書き込みます。等しい長さには同じ印、直角には直角マーク、平行線には矢印をつけます。求めたい部分には丸や色をつけて、どこの面積を求めているのかをはっきりさせます。

この作業をするだけで、「ここを足せばよい」「ここを引けばよい」「この2つは同じ高さだ」と気づきやすくなります。

親がすぐに解き方を教えるより、まず「図には何が書き込める？」と聞いてみましょう。図を整えることが、求積の第一歩です。

1問ごとに「なぜその解き方か」を説明させる

図形の求積を伸ばすには、答えが合っているかだけでなく、「なぜその解き方を選んだのか」を説明できるかを確認することが大切です。

分けて求めたなら、「なぜその形に分けたのか」を説明します。全体から引いたなら、「何を全体として見て、何を引いたのか」を説明します。比を使ったなら、「同じ高さはどこだったのか」「底辺の比は何だったのか」を言葉にします。

親が長く解説する必要はありません。「どうして足したの？」「なぜ引いたの？」「どこが同じ高さ？」と短く聞くだけで十分です。子どもが自分の言葉で説明することで、解き方が整理されます。

正解していても説明できない場合は、たまたま手順を覚えているだけかもしれません。家庭学習では、正解数よりも「次に似た問題で再現できるか」を重視しましょう。

間違いを原因別に分けて復習する

図形の求積ができない状態を改善するには、間違いを原因別に分けて復習することが重要です。すべてを「求積が苦手」でまとめてしまうと、次に何を直せばよいのか分かりません。

よくある原因は、底辺と高さを取り違えた、半径と直径を間違えた、全体から引く発想が出なかった、不要な部分まで足してしまった、同じ高さを見落とした、面積比を使えなかった、最後に求める部分を取り違えた、などです。

原因が分かれば、戻るべき学習がはっきりします。半径と直径を間違えたなら、円の基本へ戻ります。同じ高さを見落としたなら、面積比を練習します。全体から引く発想が出なかったなら、差し引きの求積問題を3問ほど解き直します。

復習ノートには、「半径と直径を間違えた」「引く部分を見落とした」「同じ高さを使えなかった」など、一言で原因を書きましょう。間違いは、できない証拠ではなく、次に得点するためのヒントです。

まとめ

中学受験算数の図形の求積ができない原因は、公式を覚えていないことだけではありません。多くの場合、公式を使える形に図を整理できていない、足す・引く・分けるの判断ができない、図の条件を書き込む前に計算していることが原因です。

まずは、求める面積が全体なのか一部なのかを確認しましょう。次に、底辺・高さ・半径を図に書き込みます。面積比を使う問題では、同じ高さ・同じ底辺に注目します。

解けるようにする手順は、基本図形に分ける、直接求めにくいときは全体から引く、長さが足りないときは比で考える、の3つです。

家庭では、式を書く前に図へ条件を書かせ、1問ごとに「なぜその解き方を選んだのか」を説明させましょう。間違いは原因別に分けて復習すれば、図形の求積は少しずつ得点源に変えられます。