中学受験「場合の数」が伸びない原因と改善法

中学受験算数で場合の数が伸びない4つの原因

この記事では、中学受験算数で場合の数が伸びない原因を整理し、家庭で何を見直せば得点につながるのかを順番に解説します。

場合の数は、問題集を何周しても点数が安定しないことがある単元です。解説を見た直後には解けるのに、数字や条件が少し変わると手が止まる子も少なくありません。

その原因は、演習量の不足とは限りません。数える基準が曖昧なまま問題数だけを増やしていることや、解説の手順を自力で再現できていないことが多くあります。

場合の数を伸ばすには、難問を追加するより、どの段階で数え方が崩れているのかを見つけることが先です。

問題数を増やしても数え方が安定していない

場合の数が伸びない子は、同じ種類の問題でも毎回違う数え方をしていることがあります。

例えば、1・2・3・4から異なる2枚を使い、2けたの整数を作る問題です。

十の位を1に固定すれば、12、13、14の3通りです。次に十の位を2、3、4と順番に変えれば、漏れなく12通りを数えられます。

ところが、12、31、24、43などと思いつく順に書いていると、どこまで調べたのか分からなくなります。問題数を増やしても、思いつきによる数え方を繰り返すだけです。

伸びるために必要なのは演習量より、最初に何を固定し、どの順番で変えたかを毎回そろえることです。

解説を理解しただけで復習を終えている

解説を読んで「分かった」と感じることと、自分で解けることは同じではありません。

場合の数の解説には、きれいな樹形図や場合分けが示されています。それを見ると簡単に感じますが、白紙の状態から同じ整理方法を作れるとは限りません。

家庭でよくあるのが、間違えた問題の解説を読み、その場でもう一度解けたため復習を終えるケースです。

直後は手順を覚えているので解けます。しかし、数日後には最初に何を固定するかを思い出せません。

解説を読んだ問題は、翌日以降に何も見ずに解き直し、自力で整理方法を選べるか確認する必要があります。

基本問題と応用問題を同時に進めている

場合の数が伸びないと、難しい問題に挑戦させた方が力がつくと考えがちです。

しかし、基本的な書き出しで数え漏れがある状態で、「少なくとも一つ」「隣り合わない」などの応用問題へ進むと、どこで間違えたのか分からなくなります。

基本問題では、一つを固定し、決めた順番で残りを変えることを学びます。標準問題では、偶数になる、特定の人を端に置くなど、一つの条件を加えます。

複数条件の応用問題は、その後です。

学習段階を混ぜず、基本を5問中4問以上、自力で正解できるようになってから次へ進みましょう。

すべての間違いを計算ミスとして扱っている

場合の数の不正解は、計算ミスだけではありません。

答えが本来より少ない場合は数え漏れ、多い場合は重複を疑います。答えが大きくずれているなら、「異なる数字」「0は先頭に置けない」といった条件を見落としている可能性があります。

例えば、正解が12通りなのに11通りなら、書き漏らしたものがないか調べます。24通りになっているなら、順番を区別しない組み合わせを2回ずつ数えているかもしれません。

すべてを「ケアレスミス」で終わらせると、次も同じ間違いを繰り返します。原因を分けて記録することが改善の第一歩です。

場合の数が伸びない状態から戻る基本手順

何を1通りとして数えるか確認する

問題を読んだら、式を書く前に何を数えるのかを短く言葉にします。

「3人を一列に並べる方法」
「5人から2人を選ぶ方法」
「3けたの偶数を作る方法」

同じ人や数字を使う問題でも、並べるのか、選ぶのかによって数え方が異なります。

また、「少なくとも」「異なる」「必ず含む」などの条件には線を引きましょう。

何を一つの場合として数えるかが曖昧なままでは、正しい樹形図も式も作れません。保護者は最初に「この問題では何を数えているの？」と尋ねてください。

一つの条件を固定して規則的に書く

漏れなく数えるための基本は、一つを固定することです。

赤・青・黄の3色から2色を順に選ぶなら、最初を赤に固定します。赤青、赤黄の2通りです。次に最初を青、黄へ変えます。

数字なら最高位、人の並べ方なら最初の場所、洋服の組み合わせなら上着を固定すると整理しやすくなります。

固定した後は、残りも数字の小さい順や名前の順など、同じ基準で変えます。

子どもの手が止まったときは、「何通り？」と答えを求めず、「最初に何を固定すると数えやすい？」と聞きましょう。

順番を区別するか必ず判断する

場合の数では、順番を入れ替えたときに別の結果になるかを確認します。

Aさんを班長、Bさんを副班長にする場合と、その反対では役割が違います。そのため、別々に数えます。

一方、AさんとBさんを清掃係に選ぶだけなら、順番を入れ替えても同じ2人です。一つの組み合わせとして数えます。

子どもには「入れ替えたら結果は変わる？」と聞くと判断しやすくなります。

この確認を飛ばすと、答えを2倍にしたり、半分にしたりするミスにつながります。式を作る前の習慣にしましょう。

書き出しから式へ段階的に進む

場合の数が伸びないときは、一度計算中心の学習を止め、少ない場合をすべて書き出します。

1・2・3から異なる2枚を並べるなら、12、13、21、23、31、32の6通りです。書き出した結果を見ると、最初の数字が3通り、それぞれに次の数字が2通りあると分かります。

そこで初めて、3×2＝6という式につなげます。

式を先に覚えると、条件が変わったときに使えません。書き出し、規則の発見、計算という順番を守ると、式の意味を理解できます。

場合の数を伸ばすために優先したい問題

整数作りで固定する考え方を身につける

数字カードから整数を作る問題は、固定する考え方を練習するのに適しています。

最初は、異なる数字から2けたの整数を作る問題を扱います。十の位を固定し、一の位を順番に変えます。

次に3けたの整数、0を含む問題へ進みます。

例えば、0・1・2・3から異なる3枚を使って3けたの整数を作るなら、百の位は0以外の3通りです。十の位は残り3通り、一の位は残り2通りなので、3×3×2＝18通りです。

基本が安定した後、偶数なら一の位、300より大きいなら百の位というように、条件の強い位を先に固定する問題へ進みます。

並べ方と選び方の違いを整理する

場合の数が伸びない子は、並べ方と選び方を混同していることがあります。

A、B、Cの3人を一列に並べるなら、ABCとBACは別の並び方です。順番が変われば別々に数えます。

一方、3人から2人を選ぶなら、A・BとB・Aは同じ組み合わせです。

家庭では、並べる問題と選ぶ問題を1問ずつ並べて解かせると違いが見えやすくなります。

それぞれについて「入れ替えたら同じか」を説明させましょう。公式を覚えるより、何を区別しているのかを理解することが重要です。

樹形図と表で数え漏れを防ぐ

選択が順に続く問題では樹形図、2つの条件を組み合わせる問題では表を使います。

上着が2種類、ズボンが3種類なら、上着からそれぞれ3本の枝を伸ばすと6通りを確認できます。

2個のさいころの目の和を調べる場合は、縦と横に1から6を書いた表を作ります。どの組み合わせを調べたかが見えるため、漏れを防げます。

樹形図や表は、きれいに描くことが目的ではありません。すべての場合を同じ基準で整理するための道具です。

描いた後に「枝はすべて同じ順番か」「表の空欄はないか」を点検しましょう。

条件が一つの標準問題までを安定させる

基本ができたら、条件を一つだけ加えた問題へ進みます。

整数なら偶数を作る、人の並べ方ならAを端に置く、選び方なら必ずBを含むといった問題です。

条件が一つなら、何を先に固定すべきかが明確です。

偶数なら一の位、Aを端に置くならAの位置を先に決めます。その後で残りを数えます。

この段階を5問中4問以上、自力で解けるようになるまでは、複数条件の難問を増やす必要はありません。標準問題の再現性が、点数を伸ばす土台になります。

家庭学習で停滞を抜け出す具体策

1回15分で同じ型を3問に絞る

場合の数が伸びないからといって、長時間の演習を追加する必要はありません。

家庭学習は1回15分程度、同じ型を3問に絞ります。

例えば、1日目は2けたの整数、2日目は3けたの整数、3日目は偶数を作る問題というように、近い形式を続けます。

同じ考え方を繰り返すことで、「最高位を固定する」「条件の強い位から決める」という共通点に気づけます。

量よりも、同じ手順を自力で再現できることを優先しましょう。

間違いを漏れ・重複・条件に分類する

解き直しノートには、正しい答えを書くだけでなく、間違いの原因を記録します。

数え足りなかったら「漏れ」、同じ場合を二度数えたら「重複」、問題文の制限を使わなかったら「条件」です。

式の作り方そのものが分からなかった場合は、「方法」と書いても構いません。

1週間分を見返し、「漏れ」が多ければ書き出しの順番、「重複」が多ければ順番を区別するかの判断を重点的に練習します。

原因別に直すことで、必要のない大量演習を避けられます。

正解した問題も考え方を説明させる

場合の数では、偶然正解することがあります。

そのため、正解した問題でも「最初に何を固定した？」「なぜこのかけ算になる？」「順番は区別した？」と確認しましょう。

答えは合っていても説明できない場合は、数字や登場人物を変えた類題を1問解かせます。

反対に、答えを計算で間違えていても、整理方法が正しければ、直すべきなのは計算だけです。

結果だけでなく過程を見ると、子どもが本当に分かっていない部分を正確に把握できます。

翌日・3日後・1週間後に解き直す

復習は、解説を読んだ当日だけでは足りません。

間違えた問題は翌日、3日後、1週間後に白紙から解き直します。

翌日は手順を覚えているか、3日後は自力で整理方法を選べるか、1週間後は考え方が定着したかを確認します。

同じ問題の答えを覚えている場合は、数字や条件を少し変えた類題を使いましょう。

3回続けて自力で解けた問題は、いったん復習対象から外して構いません。できない問題だけを残すと、家庭学習の負担も減らせます。

まとめ

中学受験算数で場合の数が伸びないときは、演習量を増やす前に、数え方が安定しているかを確認しましょう。

伸びない主な原因は、思いつく順に数えていること、解説を読んだだけで復習を終えていること、基本と応用を同時に進めていることです。

まず、何を一つの場合として数えるのかを言葉にします。次に一つの条件を固定し、残りを決めた順番で変えます。順番を入れ替えたときに同じ結果になるかも必ず確認してください。

学習では、整数作り、並べ方と選び方、樹形図や表、条件が一つの標準問題を優先します。

家庭学習は1回15分、同じ型を3問程度で十分です。間違いを漏れ・重複・条件に分類し、正解した問題についても考え方を説明させましょう。

翌日、3日後、1週間後に白紙から解き直し、同じ手順を自力で再現できれば、学習内容は少しずつ定着します。

場合の数は、問題数をこなすだけでは伸びにくい単元です。数える基準と復習方法を整えれば、停滞していた子でも基本・標準問題から着実に得点を伸ばせます。