中学受験算数｜場合の数は何から始める？

場合の数は何から始める？最初に確認する3つの力

この記事では、中学受験算数の「場合の数」は何から始めるべきか、基礎から入試問題へ進む学習順序と家庭での教え方を解説します。

場合の数が苦手な子に、いきなり樹形図や掛け算を教えても定着しないことがあります。解法以前に、「何を数えているのか」「どの順番で調べるのか」が理解できていないからです。

まずは簡単な問題を使い、次の3つの力を確認しましょう。

問題の「1通り」を説明できるか

最初に確認したいのは、何が決まったら「1通り」になるのかを説明できることです。

たとえば、1・2・3のカードから2枚を並べて2桁の整数を作る問題では、十の位と一の位の両方が決まって1通りです。最初のカードを1枚選んだだけでは、まだ整数は完成していません。

上着とズボンを組み合わせる問題なら、上着とズボンの両方が決まって1通りです。道順なら、出発地点から目的地までの経路が完成して1通りになります。

子どもが解き始める前に、「この問題では、何が全部決まったら1通り？」と聞いてみてください。答えられなければ、計算へ進まず、問題の完成形を一緒に確認するところから始めます。

決めた順番で書き出せるか

次に、思いついたものから書くのではなく、一つの基準で順番に書けるかを確認します。

1・2・3から異なる2枚を並べる問題で、「12、21、13、31……」と思いついた順に書くと、選択肢が増えたときに漏れや重なりが起こります。

十の位を1に固定して12、13、次に2として21、23、最後に3として31、32と並べれば、すべての場合を確認できます。

場合の数で最初に育てたいのは、暗算の速さではありません。一つの条件を固定し、決めた順番を最後まで守る力です。

順番を区別するか判断できるか

同じ人や物を選んでも、順番を区別する問題と、区別しない問題があります。

A・B・Cの3人から委員長と副委員長を選ぶなら、Aが委員長でBが副委員長の場合と、その逆は別です。役割が入れ替わるからです。

一方、掃除係を2人選ぶだけなら、AとBを選ぶことと、BとAを選ぶことは同じです。

難しい用語を覚える前に、「入れ替えたら役割や並び方が変わる？」と確認させましょう。変わるなら別の1通り、選ばれた集まりが同じなら同じ1通りです。

この判断が曖昧なままでは、答えが2倍になったり半分になったりします。

場合の数を基礎から学ぶ4つの順番

場合の数は、具体物、書き出し、図、計算の順に進めると理解しやすくなります。最初から短い式で解かせようとしないことが大切です。

第1段階は具体物を動かして確かめる

問題の意味を理解できない場合は、カード、色鉛筆、硬貨の模型などを実際に動かします。

赤・青・黄の3枚のカードから2枚を並べるなら、まず赤と青、赤と黄というようにカードを置かせます。完成した並びを一つずつ確認すると、順番を変えた場合が別になることも理解しやすくなります。

上着とズボンの組み合わせなら、色の違う紙を用意して組み合わせても構いません。

ただし、具体物を動かして終わりにしないことが重要です。作った並びを必ず紙に記録し、「動かす」作業を「書く」作業へつなげます。

第2段階はすべての場合を書き出す

具体的な意味が分かったら、条件に合う場合をすべて書き出します。

この段階では、速く式を立てる必要はありません。途中を省略せず、決めた順番で最後まで書くことを優先します。

たとえば、1・2・3・4から異なる2枚を選んで並べるなら、先頭を1に固定して12、13、14、次に2として21、23、24と進みます。

書き出しは、幼い解き方でも遠回りでもありません。どのような規則があるのかを見つけ、漏れや重なりを防ぐための基本です。

書き出せない状態で掛け算だけを覚えると、0を先頭に置けない問題など、条件が変わったときに対応できません。

第3段階は樹形図や表で整理する

書き出しが安定したら、樹形図や表へ進みます。

樹形図は、一つ目を選んだ後に二つ目、三つ目と選択が続く問題に向いています。数字カードの並べ方や、複数の道から進む方法を調べる問題で有効です。

表は、二つの条件を組み合わせる問題に向いています。2個のサイコロの目、男子と女子から1人ずつ選ぶ問題などは、縦と横に整理すると漏れにくくなります。

図は、きれいに描くことが目的ではありません。どこまで調べたか、使えない選択肢はどれかを見えるようにするために使います。

同じ簡単な問題を書き出しと樹形図の両方で解き、答えが一致することを確認させると理解が深まります。

第4段階は規則を計算へ置き換える

書き出しや図から規則を見つけられたら、足し算や掛け算に置き換えます。

上着が3種類、ズボンが2種類あり、どの上着にも2種類のズボンを組み合わせられるなら、3×2＝6通りです。

1・2・3から異なる2枚を並べるなら、最初の数字は3通り、その後は残り2通りなので、3×2＝6通りとなります。

ここで大切なのは、式を暗記することではありません。「一つ目を決めるたびに、二つ目が同じ数だけあるから掛け算になる」と説明できることです。

途中で選べる数が変わる場合は、単純に掛けられません。計算へ進んだ後も、少ない場合は書き出しで確かめる習慣を残しましょう。

場合の数で次に取り組みたい頻出問題

基本の書き出しと整理ができるようになったら、出題形式ごとに練習します。次の順番で進めると、難易度を上げやすくなります。

数字や人の並べ方

最初に取り組みたいのは、数字カードや人を一列に並べる問題です。

単純な並べ方から始め、次に「0を先頭に置けない」「偶数を作る」「特定の人を端に置く」といった条件を一つ加えます。

偶数を作る場合は一の位を先に固定するなど、条件に最も強く関係する場所から考えます。

基本問題を5問中4問程度、何を固定したか説明しながら解けるようになってから、複数条件の問題へ進みましょう。

人や物の選び方

次は、何人かの中から代表を選ぶ問題です。

ここでは、選ぶ順番を区別するかどうかを重点的に確認します。委員長と副委員長なら役割が違うため順番を区別しますが、同じ係を2人選ぶだけなら区別しません。

最初はAB、AC、BCのようにすべて書き出し、同じ組を二度数えていないか確かめます。

機械的に2で割る方法を覚える前に、なぜABとBAが同じなのかを理解させることが重要です。

道順と色の塗り分け

並べ方と選び方が安定したら、道順や色の塗り分けへ進みます。

道順では、各交差点までの通り数を図へ書き込みます。塗り分けでは、最初の場所の色を固定し、隣に使える色を順番に考えます。

これらの問題は、頭の中だけで処理しようとすると漏れやすくなります。図へ数字や記号を書き込み、条件を見える形にしましょう。

指定地点を必ず通る、隣り合う場所を同じ色にしないなど、条件が一つ加わった問題まで解ければ、標準的な入試問題への準備になります。

条件付き問題と場合分け

最後に、「偶数になる」「少なくとも一つ含む」「隣り合わない」といった条件付き問題へ進みます。

場合分けでは、互いに重ならず、すべてを含む分け方を考えます。

0・1・2・3から異なる2枚を使って2桁の偶数を作るなら、一の位が0の場合と2の場合に分けます。一の位が0なら3通り、一の位が2なら2通りなので、合計5通りです。

「少なくとも一つ」という条件では、すべての場合から「一つもない場合」を引いた方が簡単なこともあります。

最初から難しい方法を選ばず、少ない場合を書き出して考え方を確認しましょう。

家庭で迷わない場合の数の学習計画

家庭学習では、一度に多くの問題を解くより、正しい整理を短く繰り返す方が効果的です。

1日10～15分で基本問題を解く

1回の学習は10～15分、問題数は1～3題で十分です。

基本問題を2題、前日に間違えた問題を1題という組み合わせにすると、新しい学習と復習を両立できます。

毎日違う形式へ移るのではなく、2～3日は同じ型を続けましょう。最初の3日間は並べ方、次は選び方というようにまとめると、整理方法が定着しやすくなります。

正答率だけでなく、「何を固定したか」「順番を区別したか」を説明できるかも進級の基準にしてください。

間違いを3種類に分ける

場合の数の間違いは、主に「漏れ」「重なり」「条件ミス」に分けられます。

数えるべきものを落としたら漏れ、同じものを二度数えたら重なり、0を先頭に置くなど問題の条件を守らなかったら条件ミスです。

ノートには長い反省文ではなく、「漏れ・3から始まる場合を忘れた」のように一行で記録します。

3～5問分を並べると、子どもの弱点が見えてきます。漏れが多ければ固定して書く練習、重なりが多ければ順番の確認へ戻りましょう。

当日・翌日・1週間後に復習する

間違えた直後に解き直せても、本当に理解したとは限りません。解説や答えの並びを覚えている可能性があるからです。

当日は、間違えた原因を確認して解き直します。翌日は解説を見ずに同じ問題を解き、1週間後には数字や条件を少し変えた類題へ取り組みます。

同じ問題を解けても類題で止まるなら、答えを覚えただけかもしれません。条件が変わっても同じ基準で整理できれば、考え方が定着したと判断できます。

親は答えより整理の基準を尋ねる

子どもの手が止まったとき、すぐに式や答えを教える必要はありません。

「何が決まれば1通り？」「最初に何を固定できる？」「入れ替えたら別になる？」「まだ数えていない場合はない？」と尋ねてください。

親が解法を長く説明するより、考える入口を短い質問で示す方が、自力で解く力を残せます。

正解したときも、「すごい」だけでなく、「十の位を順番に固定したから漏れなかったね」と、できた手順を具体的に認めましょう。

まとめ｜場合の数は書き出しから始めよう

中学受験算数の「場合の数」で何から始めるか迷ったら、公式や難問ではなく、すべての場合を書き出すことから始めてください。

まず、何が決まれば1通りになるのかを確認します。次に、一つの条件を固定し、決めた順番ですべてを書き出します。その後、樹形図や表で整理し、見つけた規則を足し算や掛け算へ置き換えましょう。

並べ方、選び方、道順、色の塗り分け、条件付き問題という順番で進めると、無理なく難易度を上げられます。

家庭学習は1日10～15分でも十分です。間違いを「漏れ」「重なり」「条件ミス」に分け、当日・翌日・1週間後に復習してください。

場合の数は、ひらめきや暗算力だけで解く単元ではありません。何を固定し、どの順番で数えるかという型を身につければ、算数に苦手意識がある子でも、複雑な入試問題へ着実に進めるようになります。