中学受験算数「場合の数」の基本と解き方

中学受験算数「場合の数」の基本とは

この記事では、中学受験算数「場合の数」の基本的な考え方と、家庭で無理なく定着させるための解き方を順を追って解説します。

場合の数は、条件に合う並べ方や選び方が何通りあるかを求める単元です。使う計算は足し算やかけ算が中心ですが、計算ができるだけでは正解できません。

思いつく順番で数えると、必要な場合を一つ忘れたり、同じものを二度数えたりするからです。

大切なのは、何を数えるのかを確認し、一つの条件を固定して、決めた順番で調べることです。この基本を身につければ、数字カード、人の並べ方、道順など、題材が変わっても同じ考え方を使えます。

条件に合う並べ方や選び方を数える単元

場合の数では、問題に示された条件を満たす並べ方や選び方を数えます。

例えば、赤・青・黄の3枚のカードから2枚を選ぶ問題を考えてみましょう。

2枚を選ぶだけなら、「赤と青」「赤と黄」「青と黄」の3通りです。一方、選んだ2枚を左から順番に並べるなら、赤青と青赤は別の並べ方になります。

この場合は、赤青、赤黄、青赤、青黄、黄赤、黄青の6通りです。

使っているカードは同じでも、順番を考えるかどうかで答えが変わります。まずは、問題が「選び方」を求めているのか、「並べ方」を求めているのかを確認する必要があります。

最初に順番を区別するか確認する

場合の数の問題では、順番や役割が変わったときに、別の結果になるかを最初に確認します。

Aさん、Bさん、Cさんから班長と副班長を選ぶ場合、Aさんが班長でBさんが副班長のときと、Bさんが班長でAさんが副班長のときは別です。役割が入れ替わっているため、別々に数えます。

一方、3人から清掃係を2人選ぶだけなら、AさんとBさんを選ぶことと、BさんとAさんを選ぶことは同じです。

子どもには、「入れ替えたら違う結果になる？」と聞くと分かりやすいでしょう。

違う結果になるなら別々に数え、同じ結果になるなら一つとして数えます。この判断が、並べ方と選び方を区別する基本です。

漏れなく重複なく数えることが基本

場合の数で求められるのは、条件に合うものを「漏れなく、重複なく」数えることです。

漏れとは、本来数えるべきものを忘れることです。重複とは、同じものを二度以上数えることをいいます。

例えば、1・2・3・4の数字から異なる2枚を使って2けたの整数を作る場合、「12、23、31、42……」と思いつく順に書くと、漏れや重複が起こりやすくなります。

十の位を1に固定して12、13、14と書き、次に十の位を2、3、4と変えていけば、すべてを規則的に数えられます。

場合の数では、速く思いつくことより、一定の順番を最後まで守ることが重要です。

場合の数を解くための4つの基本手順

何を1通りとして数えるか決める

問題文を読んだら、すぐに式を書くのではなく、何を一つの場合として数えるのかを確認します。

「3人を並べる方法」
「5人から2人を選ぶ方法」
「3けたの整数を作る方法」
「目的地まで進む道順」

このように、求めるものを短い言葉で表すと整理しやすくなります。

同時に、「異なる数字を使う」「少なくとも1回」「隣り合う」「必ずAさんを含む」といった条件にも印をつけましょう。

何を数えるかが曖昧なまま計算を始めると、正しい式を作ることはできません。問題文の条件と求めるものを整理することが最初の一歩です。

一つの条件を固定する

漏れなく数えるためには、最初に一つの条件を固定します。

1・2・3・4から異なる2枚を使って2けたの整数を作るなら、十の位を1に固定します。すると、12、13、14の3通りです。

次に十の位を2に固定すると、21、23、24の3通りになります。同じように3、4について調べれば、全部で12通りです。

人を並べる問題なら最初の席、洋服を組み合わせる問題なら上着、数字を並べる問題なら最も上の位を固定すると整理しやすくなります。

子どもが手を止めたときは、「何通りになる？」と聞くよりも、「最初に何を固定する？」と尋ねるとよいでしょう。

決めた順番で残りを変える

一つを固定した後は、残りを一定の順番で変えます。

数字なら小さい順、人の名前なら五十音順、色なら問題に書かれている順など、自分で基準を決めます。

例えば、赤・青・黄から2色を順番に選ぶ場合、最初を赤に固定し、2番目を青、黄の順に変えます。次に最初を青、黄へと変えていきます。

途中で順番を変えたり、思いついた組み合わせを追加したりすると、どこまで数えたのか分からなくなります。

「固定するものを順番に変える」「残りも同じ順番で調べる」という二つの規則を守ることが、数え漏れを防ぐ基本です。

最後に漏れと重複を点検する

答えが出たら、計算だけでなく、数え方も見直します。

漏れを確認するには、固定した条件ごとの個数を比べます。十の位が1のときは3通り、2のときも3通りなのに、3のときだけ2通りなら、書き忘れがないか確認します。

重複を確認するには、順番を区別しない問題で、入れ替えただけの同じ組み合わせを二度数えていないかを見ます。

4人から2人を選ぶ問題で、ABとBAの両方を書いていれば重複です。一方、班長と副班長を決めるなら、役割が異なるため両方を数えます。

見直しでは、「漏れはないか」「重複はないか」を別々に確認することが大切です。

場合の数で使う基本的な整理方法

少ない場合はすべて書き出す

選択肢が少ない問題では、条件に合うものをすべて書き出す方法が確実です。

1・2・3から異なる2枚を使って2けたの整数を作るなら、12、13、21、23、31、32の6通りです。

書き出しは時間がかかるように見えますが、基本を理解する段階では重要な方法です。実際の並びを確認することで、後から3×2という式の意味も理解できます。

ただし、思いつく順番で書いてはいけません。最初の数字を1、2、3の順に固定して書きます。

選択肢が少ないうちは、計算だけで済ませず、実際の組み合わせを確かめる経験を積ませましょう。

選択が続く場合は樹形図を使う

一つ選んだ後、さらに次のものを選ぶ問題には樹形図が向いています。

例えば、上着が白と黒の2種類、ズボンが青・灰・茶の3種類あるとします。

最初に白と黒の2本の枝を書きます。白から青・灰・茶へ3本、黒からも青・灰・茶へ3本の枝を伸ばします。すると、全部で6通りあることが分かります。

樹形図では、どの枝からも同じ順番で選択肢を書くことが大切です。白の枝では青・灰・茶、黒の枝でも青・灰・茶の順に書けば、抜けを確認しやすくなります。

数字を並べる問題や、複数回じゃんけんをする問題にも使える基本的な整理方法です。

2つの条件を組み合わせる場合は表を使う

縦と横の2つの条件を組み合わせる問題では、表を使うと整理しやすくなります。

例えば、料理が4種類、飲み物が3種類あり、一つずつ選ぶ場合を考えます。縦に料理、横に飲み物を書けば、交わるマスの数は4×3＝12個です。

2個のさいころの目の和を調べる問題でも、縦と横に1から6を書き、それぞれの和をマスに記入できます。

表の利点は、どの組み合わせを数えたかが目で確認できることです。同じものを二度数えたり、一部を忘れたりするミスを防げます。

2種類のものを一つずつ選ぶ問題や、二つの数値を組み合わせる問題では、表を使えないか考えてみましょう。

規則が分かったら計算でまとめる

書き出し、樹形図、表で考え方を確認した後は、規則を計算にまとめます。

上着が2種類あり、それぞれにズボン3種類を組み合わせられるなら、3通りのまとまりが2つあるため、2×3＝6通りです。

「上着を選び、さらにズボンを選ぶ」のように、両方の選択を続けて行う場合は、基本的にかけ算を使います。

一方、電車で行く方法が2通り、バスで行く方法が3通りあり、どちらか一方を使うなら、2＋3＝5通りです。

子どもには、「両方するならかけ算、どちらか一方ならたし算」と説明すると理解しやすくなります。ただし、途中で選択肢の数が変わる場合は、樹形図や場合分けで確認します。

場合の数の基本を定着させる家庭学習

1回15分で同じ形式を3問解く

場合の数を学び始めた子に、異なる形式を一度に多く解かせると、整理方法が混ざりやすくなります。

家庭学習は1回15分程度、同じ形式を3問に絞りましょう。

例えば、1日目は2けたの整数作り、2日目は3けたの整数作り、3日目は偶数を作る問題に取り組みます。

似た問題を続けることで、「最初の位を固定する」「条件の強い位から考える」という共通点が見えてきます。

3問すべてを速く解くことより、どの整理方法を使うか自分で決められることを優先してください。

答えより数え方の根拠を説明させる

家庭で丸つけをするときは、答えが合っているかだけでなく、どのように数えたかを聞きます。

「十の位を1から順番に固定した」
「赤を最初に選んだ場合から調べた」
「ABとBAは同じなので一つだけ数えた」

このように説明できれば、考え方を理解していると判断できます。

「どうしてこの答えになったの？」と広く聞くより、「最初に何を固定した？」「順番は区別した？」と質問を分けると、子どもも答えやすくなります。

正答よりも、同じ手順を別の問題でも再現できることが重要です。

間違いを3種類に分ける

場合の数の間違いは、主に「漏れ」「重複」「条件の見落とし」に分けられます。

答えが本来より少なければ漏れ、多ければ重複を疑います。答えが大きくずれている場合は、「異なる数字を使う」「0は先頭に置けない」といった条件を見落としている可能性があります。

解き直しノートには、単に赤いバツを書くのではなく、「漏れ」「重複」「条件」と原因を記録しましょう。

同じ原因の間違いが続けば、次に注意すべき点が分かります。

「場合の数が苦手」と一括りにせず、間違いの種類を分けることで、必要な練習を絞れます。

翌日と1週間後に解き直す

解説を読んだ直後に解けても、考え方が定着したとは限りません。

間違えた問題は、翌日と1週間後に白紙から解き直します。翌日は手順を思い出せるか、1週間後は自分で整理方法を選べるかを確認するためです。

前に描いた樹形図や表は見せず、最初から書かせましょう。

答えを覚えている場合は、数字や人物名を変えた類題を使います。

何も指示されなくても、一つを固定して規則的に調べられるようになれば、場合の数の基本が定着してきたと判断できます。

まとめ

中学受験算数「場合の数」の基本は、条件に合う並べ方や選び方を、漏れなく重複なく数えることです。

まず、何を一つの場合として数えるのかを確認します。次に、順番を入れ替えたときに別の結果になるかを考え、一つの条件を固定して残りを順番に変えます。

選択肢が少ない場合は書き出し、選択が続く場合は樹形図、2つの条件を組み合わせる場合は表を使いましょう。規則が見えたら、たし算やかけ算でまとめます。

家庭学習は1回15分、同じ形式を3問程度で十分です。答え合わせでは、正解したかだけでなく、「何を固定したか」「なぜ重複しないか」を説明させてください。

間違いを漏れ・重複・条件の見落としに分け、翌日と1週間後に白紙から解き直すと、理解の定着を確認できます。

場合の数は、ひらめきに頼る単元ではありません。数える基準と順番を身につければ、算数に苦手意識がある子でも、基本問題から着実に正解できるようになります。