中学受験算数「場合の数」頻出問題と対策法

中学受験算数で場合の数が頻出する理由

この記事では、中学受験算数の「場合の数」で頻出する問題の型と、家庭で効率よく得点力を伸ばす方法を順番に解説します。

場合の数は、多くの中学校で出題される重要単元です。単純な数え上げから、複数の条件を整理する応用問題まで、幅広い難易度で問題を作れるためです。

特定の公式を覚えるだけでは対応できない点も、入試でよく扱われる理由の一つです。

計算力だけでなく整理する力を測れる

場合の数で使う計算は、主に足し算や掛け算です。計算自体は難しくありません。

それでも差がつくのは、「何を固定するか」「どの順番で数えるか」を受験生自身が決める必要があるからです。

たとえば、1・2・3・4のカードから異なる2枚を並べる問題では、最初の数字を4通り、その次を3通りから選べるため、4×3＝12通りです。

しかし、0・1・2・3から2桁の整数を作る問題では、十の位に0を置けません。同じように4×3とすると、01や02まで数えることになります。

条件を読み、数え方を組み立てる力が必要なため、入試問題として差がつきやすいのです。

条件を変えて難易度を調整しやすい

場合の数は、条件を一つ追加するだけで難易度が大きく変わります。

「3人を一列に並べる」という基本問題に、「AさんとBさんが隣り合う」「Cさんを端に置く」といった条件を加えると、場合分けが必要になります。

また、「2個選ぶ」問題でも、順番を区別するか、同じものを何度選べるかによって答えは変わります。

基本問題で正解できても、条件を読み落とすと応用問題では得点できません。入試では、基本的な数え方を理解しているかに加え、条件に合わせて方法を変えられるかが問われます。

他単元と組み合わせて出題できる

場合の数は、規則性、整数、図形、確率的な考え方など、他の単元と組み合わせやすい分野です。

たとえば、正方形を何個作れるか数える図形問題、条件を満たす整数を作る問題、サイコロの目の組み合わせを調べる問題にも、場合の数の考え方が使われます。

見た目が図形や数の性質の問題でも、「すべての場合を漏れなく数える」ことが必要なら、場合の数の力が問われています。

そのため、問題集では単元が分かれていても、入試では複合問題として現れることがあります。

場合の数で押さえたい頻出問題5パターン

場合の数には多くの出題形式がありますが、入試対策では代表的な型から優先して身につけることが重要です。

数字や人を並べる問題

数字カードや人を一列に並べる問題は、場合の数の基本であり、頻出形式です。

1・2・3の3枚をすべて並べるなら、最初の位置は3通り、次は残った2通り、最後は1通りなので、3×2×1＝6通りです。

ただし、「偶数を作る」「0を含む」「同じ数字を使える」「特定の人が隣り合う」などの条件が加わると、単純な掛け算では解けません。

たとえば偶数を作るなら、一の位が偶数になる場合に分けます。隣り合う条件なら、2人を一つのまとまりとして考える方法があります。

基本の並べ方を理解した後、条件を一つずつ追加して練習しましょう。

人や物を選ぶ問題

委員や代表者を選ぶ問題も頻出です。ここでは、順番や役割を区別するかが重要になります。

A・B・Cの3人から委員長と副委員長を選ぶ場合、Aが委員長でBが副委員長の組と、その逆は別です。役割があるため、3×2＝6通りになります。

一方、3人から掃除係を2人選ぶだけなら、AとB、BとAは同じ組です。答えはAB、AC、BCの3通りです。

問題文に「委員長と副委員長」「1位と2位」のような異なる役割があれば順番を区別します。「2人選ぶ」「1組作る」だけなら、同じ組を重ねて数えないよう注意します。

道順を数える問題

碁盤の目のような道を、最短で進む道順を数える問題もよく出題されます。

基本問題では、各交差点までの道順の数を書き込みます。左から来る道順と下から来る道順を足すことで、その地点までの通り数を求められます。

応用では、「特定の地点を必ず通る」「通れない道がある」「同じ地点を通らない」といった条件が追加されます。

特定の地点を通る場合は、出発点からその地点までと、その地点から目的地までを分けて数え、最後に掛けます。

図へ数字を書き込む位置をそろえ、どの方向から来た数を足したのか分かるようにすることが大切です。

色の塗り分け問題

図形や区画を、決められた色で塗り分ける問題も頻出です。

「隣り合う場所は異なる色にする」という条件がよく使われます。最初の場所の色を一つ決めると、次に使える色が何通りあるかを順番に考えられます。

たとえば横一列の3区画を3色で塗り、隣同士を異なる色にする場合、最初は3通り、2番目は最初と異なる2通り、3番目は2番目と異なる2通りです。したがって、3×2×2＝12通りになります。

ただし、輪のようにつながった図形では、最初と最後も隣り合います。直線状の問題と同じ式を使わず、最後の条件まで確認しましょう。

「少なくとも」を含む条件付き問題

「少なくとも1個」「同じものが隣り合わない」「合計が偶数」などの条件付き問題は、標準から上位校まで幅広く出題されます。

特に「少なくとも」は、「1個以上」という意味です。1個の場合だけでなく、2個、3個の場合も含みます。

直接すべての場合を数えると複雑になるときは、反対側から考えます。

たとえば「3回のうち少なくとも1回は表が出る」場合は、すべての出方から「一度も表が出ない場合」を引く方法が簡単です。

条件に合う場合を直接数える方法と、全体から条件に合わない場合を引く方法の両方を練習しておきましょう。

頻出問題を解くための共通手順

出題形式が違っても、場合の数を解くときの基本的な確認事項は共通しています。次の4段階を毎回繰り返すことで、漏れや重なりを減らせます。

何を1通りとして数えるか決める

最初に、何がすべて決まれば1通りになるのかを確認します。

整数を作る問題なら、すべての位の数字が決まって1通りです。道順なら、出発地点から目的地までの経路が完成して1通りです。塗り分けなら、すべての場所の色が決まって1通りです。

家庭では、解き始める前に「この問題では何が完成したら1通り？」と尋ねてください。

数える対象が曖昧なままでは、途中の選択を答えに含めたり、同じ完成形を二度数えたりします。

順番を区別するか確認する

次に、並びや選ぶ順番を入れ替えたとき、別の結果になるかを確認します。

並ぶ位置や役割が変わるなら、別の1通りとして数えます。選ばれた集まりが同じなら、順番が違っても同じ1通りです。

迷ったら、実際に入れ替えてみましょう。

問題用紙へ「順番あり」「順番なし」と一言書くだけでも、同じ組を二度数えるミスを防ぎやすくなります。

一つの条件を固定して整理する

頻出問題を漏れなく数えるには、一つの条件を固定します。

数字を並べるなら先頭や一の位、人を選ぶなら最初の一人、塗り分けなら最初の場所の色を固定します。

たとえば偶数を作る問題では、一の位を0、2、4のように固定して場合を分けると整理しやすくなります。

途中で固定する基準を変えると、数え漏れや重複が起こります。「何を固定しているか」を明確にしたまま、最後まで調べましょう。

漏れと重なりを最後に点検する

答えを出した後は、式の計算だけでなく、数え方を見直します。

樹形図では、途中で枝を省略していないかを確認します。表では、空欄にした場所が本当に条件外なのかを見ます。書き出しでは、決めた順番を最後まで守っているかを確認します。

少ない場合なら、別の方法でも確かめましょう。書き出して12通りと求めた後、4×3＝12と計算でも一致すれば、漏れや重なりを発見しやすくなります。

家庭でできる場合の数の頻出対策

頻出問題を一度ずつ広く解くより、同じ型を短期間に繰り返す方が、整理の方法を身につけやすくなります。

基本問題を型ごとに3日間続ける

家庭学習では、頻出形式を細かく分け、同じ型を2～3日続けます。

たとえば、最初の3日間は並べ方、次の3日間は選び方、その次は道順という進め方です。1日10～15分、基本問題1～3題で構いません。

毎日違う形式へ移ると、解法を使いこなす前に次の内容へ進んでしまいます。

基本問題を5問中4問程度、自力で整理でき、数え方を説明できるようになったら、条件を一つ追加した問題へ進みましょう。

書き出しから樹形図・表・式へ進む

頻出問題でも、最初から公式や短い式だけで解かせる必要はありません。

まず条件に合う場合をすべて書き出します。次に、樹形図や表を使って整理します。最後に、規則を掛け算や足し算へ置き換えます。

書き出した内容と式が結びついていれば、条件が変わっても対応できます。

「書くのは遅いから」と早く省略させると、式の意味を理解しないまま暗記することになり、応用問題で手が止まりやすくなります。

間違いを3種類に分類する

場合の数の誤答は、「漏れ」「重なり」「条件ミス」に分けます。

数えるべき場合を落としたら漏れ、同じものを二度数えたら重なり、「異なる数字を使う」などの条件を守らなかったら条件ミスです。

間違い直しノートには、長い解説を写すより、「重なり・ABとBAを別に数えた」のように一行で記録します。

3～5問分を並べれば、子どもの弱点が見えてきます。漏れが多ければ固定して書く練習、重なりが多ければ順番の確認、条件ミスが多ければ問題文へ印をつける練習が必要です。

小6は過去問で複合問題にも慣れる

小6では、単元別の基本演習に加え、志望校の過去問で場合の数がどのように組み合わされるかを確認します。

過去問では、整数、規則性、図形などと一緒に出題されることがあります。見た目が場合の数らしくなくても、「すべての場合を数える必要がある」と気づけることが大切です。

不正解だった場合は、「場合の数が苦手」とまとめず、条件の読み取り、方法の選択、書き出し、計算のどこで止まったかを確認してください。

最初は時間を気にせず正確に解き、類題で少しずつ解答時間を短くしましょう。

まとめ｜場合の数は頻出の型から固める

中学受験算数の「場合の数」では、並べ方、選び方、道順、色の塗り分け、「少なくとも」を含む条件付き問題が頻出です。

すべての問題を別々の解法として覚える必要はありません。何を1通りとするか決め、順番を区別するか確認し、一つの条件を固定して整理することが共通の基本です。

家庭学習では、1日10～15分を目安に、同じ頻出形式を2～3日続けましょう。書き出しから樹形図や表へ進み、規則が分かってから計算に置き換えます。

間違いは「漏れ」「重なり」「条件ミス」に分類し、子どもの弱点に合った問題へ戻してください。

場合の数は、ひらめきに頼る単元ではありません。頻出の型を一つずつ整理し、条件が変わっても同じ手順を使えるようになれば、複合的な入試問題にも落ち着いて対応できるようになります。