中学受験算数｜場合の数で偏差値60を目指す方法

場合の数で偏差値60に届かない原因

この記事では、中学受験算数の「場合の数」で偏差値60を目指すために必要な到達度と、家庭で実践できる具体的な学習法を解説します。

偏差値60を目指す段階では、単純な並べ方や選び方を解けるだけでは十分ではありません。問題文の条件を整理し、どの方法を使うか自分で判断する力が求められます。

ただし、難問を大量に解く必要があるわけではありません。まずは、基本・標準問題で失点する原因を見つけましょう。

基本問題を速く解くことだけを重視している

場合の数では、速く式を書くことより、漏れなく数えることが優先されます。

たとえば、0・1・2・3のカードから異なる2枚を使い、2桁の整数を作る問題を考えます。4×3＝12とすぐに計算すると、01、02、03まで含めてしまいます。

十の位には0を置けないため、十の位は1・2・3の3通りです。そのそれぞれについて一の位は残り3通りあるので、3×3＝9通りになります。

速さを意識するあまり条件確認を省略すると、標準問題で失点します。まず正確な手順を固め、その後に時間を短くする順番が大切です。

順番を区別するか曖昧なまま数えている

並べ方と選び方の違いを曖昧にしたままでは、偏差値60前後で求められる条件付き問題に対応できません。

A・B・C・Dの4人から委員長と副委員長を選ぶ場合、役割があるため、Aが委員長でBが副委員長の場合と、その逆は別です。4×3＝12通りになります。

一方、4人から掃除係を2人選ぶ場合、AとB、BとAは同じ組です。答えはAB、AC、AD、BC、BD、CDの6通りです。

問題を読んだら、「入れ替えると役割や位置が変わるか」を必ず確認しましょう。変わるなら順番を区別し、完成した集まりが同じなら区別しません。

条件が増えると数え方の基準が変わる

基本問題では順番に書けても、「偶数になる」「少なくとも一つ含む」「隣り合わない」といった条件が加わると、思いつきで数え始める子がいます。

条件付き問題では、最も強い条件を先に固定します。

偶数を作るなら一の位を先に決めます。特定の人を端に置くなら、その人の位置を先に固定します。隣り合う2人がいるなら、その2人を一つのまとまりとして扱います。

何を固定するかが途中で変わると、漏れや重なりが生じます。ノートには「一の位で場合分け」など、数える基準を短く書かせると整理しやすくなります。

正解した問題を理解済みと判断している

場合の数は、思いついた順に書いても偶然正解することがあります。そのため、丸がついた問題をすべて理解済みと判断するのは危険です。

正解後に「何を固定したの？」「なぜ掛け算を使えたの？」と尋ねてみましょう。

「何となく全部書いた」としか答えられない場合は、別の問題で同じ方法を再現できない可能性があります。

偏差値60を目指す段階では、正解するだけでなく、数え方の根拠を説明できることが重要です。翌日に白紙から解き直せるかも確認してください。

偏差値60を目指す場合の数の到達目標

偏差値は模試によって意味が異なりますが、偏差値60を目指すなら、基本問題を落とさず、標準的な条件付き問題まで安定して得点できる状態が一つの目安になります。

難問を解けるかより、次の4点を確認しましょう。

基本問題を根拠つきで正解できる

並べ方、選び方、樹形図、道順などの基本問題では、正答率8割以上を目安にします。ただし、答えが合うだけでは十分ではありません。

「何が決まれば1通りか」「順番を区別するか」「何を固定したか」を説明できることが必要です。

基本問題で計算ミス以外の失点が続くなら、応用問題へ進むより、書き出しへ戻りましょう。基礎へ戻ることは後退ではなく、標準問題を安定させるための調整です。

樹形図・表・計算を使い分けられる

偏差値60を目指す子には、与えられた方法を使うだけでなく、問題に合った整理方法を選ぶ力が必要です。

選択が順番に続く問題には樹形図、2個のサイコロのように縦と横の条件を比べる問題には表が向いています。同じ数の選択肢が続くなら掛け算を使えます。

一方、枝が増えすぎる問題で樹形図を描き続けると、時間がかかり、漏れも増えます。

解き終わった後に「なぜ今回は表を使ったのか」を説明させると、方法を選ぶ力が育ちます。

条件付き問題を重ならない場合に分けられる

標準問題では、条件に合わせた場合分けが頻出です。

0・1・2・3から異なる2枚を使って2桁の偶数を作るなら、一の位が0の場合と2の場合に分けます。

一の位が0なら、十の位は1・2・3の3通りです。一の位が2なら、十の位に0は置けず、2も使用済みなので1・3の2通りです。合計は3＋2＝5通りになります。

場合分けでは、分けた内容が重ならず、全体を尽くしていることが重要です。「同時に起こる場合はないか」「ほかの場合を忘れていないか」を確認しましょう。

別の方法で漏れと重なりを確認できる

得点を安定させるには、自分の答えを点検する力も必要です。

樹形図で12通りと求めたら、掛け算でも12通りになるか確かめます。表を使った場合は、空欄にしたマスが本当に条件外かを見直します。

すべてを最初から解き直す必要はありません。「固定した条件を全部調べたか」「同じ組を二度数えていないか」の2点を確認するだけでも、多くの失点を防げます。

場合の数を得点源に変える家庭学習法

家庭学習では、難問を長時間解かせるより、標準問題を自力で再現できる状態を作ることが大切です。

基本・標準・応用の3段階で進める

基本段階では、条件に合うものを書き出し、樹形図や表で整理します。

標準段階では、「偶数になる」「特定の人が隣り合う」「指定地点を通る」など、条件が一つ加わった問題を解きます。

応用段階では、複数条件や他単元との複合問題へ進みます。

配分の目安は、基本3問、標準4問、応用1問程度です。応用問題ばかりに時間を使わず、入試で得点すべき基本・標準問題の完成度を優先しましょう。

1日15分で解法を言葉にする

家庭学習は、1日15分程度でも構いません。基本または標準問題を2問、前日の解き直しを1問行います。

答え合わせでは、式だけでなく、「最初に一の位を固定した」「ABとBAは同じ組として数えた」と説明させます。

説明が長くなる必要はありません。数える基準を一文で言えれば十分です。

親が解説をすべて話すより、子どもの考えを聞き、抜けている部分だけを質問する方が、自力で再現する力を育てられます。

間違いを4種類に分類する

誤答は、「漏れ」「重なり」「条件ミス」「方法選択」の4種類に分けます。

数えるべきものを落としたら漏れ、同じ場合を二度数えたら重なりです。0を先頭に置いたなら条件ミス、複雑な問題で樹形図を書き続けたなら方法選択の課題です。

ノートには、「重なり・ABとBAを別に数えた」のように一行で記録します。

3～5問分を並べると、弱点が見えます。原因に合った問題へ戻ることで、同じ失点を減らせます。

翌日と1週間後に類題を解く

解説を読んだ直後の正解は、答えを覚えているだけかもしれません。

当日は間違いの原因を確認し、翌日は同じ問題を解説なしで解きます。1週間後には、数字や条件が少し異なる類題へ取り組みます。

同じ問題を解けても、類題で手が止まるなら、解法ではなく完成した答えを覚えていた可能性があります。

条件が変わっても同じ基準で整理できれば、本当に定着したと判断できます。

過去問では解答時間も記録する

小6では、志望校の過去問を使い、正解だけでなく所要時間も確認します。

最初は時間を気にせず正確に解き、次の類題から少しずつ時間を短くします。基本・標準問題で10分以上方針が立たない場合は、方法の選択が定まっていない可能性があります。

一方、複雑な場合分けが続く難問は、いったん後回しにする判断も必要です。

過去問ノートには、正誤、所要時間、間違いの種類を残しましょう。得点力だけでなく、入試本番での時間配分も改善できます。

まとめ｜偏差値60には整理を再現する力が必要

中学受験算数の「場合の数」で偏差値60を目指すには、難問を数多く解くより、基本・標準問題を根拠つきで正解する力が必要です。

何を1通りとして数えるかを決め、順番を区別するか確認し、条件に合わせて固定するものを選びます。さらに、樹形図、表、書き出し、計算を問題に応じて使い分けましょう。

家庭では1日15分程度、基本・標準問題を中心に取り組みます。間違いは「漏れ」「重なり」「条件ミス」「方法選択」に分類し、翌日と1週間後に解き直してください。

偏差値60への壁は、特別な難問を解けないことより、取るべき標準問題で小さな失点を重ねることにあります。

答えの速さだけを求めず、「なぜその数え方を選んだのか」を説明し、時間を空けても再現できる状態を作ることが、場合の数を安定した得点源へ変える近道です。