偏差値70を狙う中学受験「場合の数」攻略法

中学受験算数で偏差値70に必要な場合の数の力

この記事では、中学受験算数で偏差値70を目指すために、場合の数で必要な力と家庭での具体的な学習方法を順を追って解説します。

偏差値70は、模試の母集団や実施時期によって意味が異なります。それでも共通して求められるのは、難問を偶然解く力ではなく、基本・標準問題を落とさず、複数条件のある問題を整理して得点する力です。

場合の数では、答えが一つ合っていても、数え方に漏れや重複があれば次の問題で再現できません。上位層ほど、何を固定し、どの基準で分け、なぜ重ならないのかを明確にしています。

偏差値70を目指す学習では、問題数を増やすだけでなく、解法を比較し、答案として残せる形まで整えることが重要です。

基本問題を速く正確に処理する力

偏差値70を目指すからといって、難問だけに取り組む必要はありません。まず必要なのは、基本問題を短時間で正確に解く力です。

数字カードの並べ方、人の選び方、樹形図、表、基本的な道順などは、考え込まずに処理できる状態を目指します。

例えば、0・1・2・3・4から異なる3枚を使って3けたの整数を作るなら、百の位は0以外の4通り、十の位は残り4通り、一の位は残り3通りです。したがって、4×4×3＝48通りとなります。

この段階で書き出しに時間がかかったり、0を百の位に含めたりすると、後半の応用問題へ使える時間が減ります。

基本問題10問なら9問以上を正解し、解法の理由も説明できる状態が一つの目安です。

複数の条件を重ならない形に分ける力

難関校レベルでは、「異なる数字を使う」「偶数にする」「3000より大きい」など、複数の条件が同時に与えられます。

これらを頭の中だけで処理すると、数え漏れや重複が起こります。

大切なのは、場合分けのグループ同士が重ならず、全体を漏れなく覆っていることです。偶数を作るなら一の位が0の場合、2の場合、4の場合というように分けます。

ノートには、単に計算を書くのではなく、「一の位が0」「一の位が2」のような見出しを残しましょう。

見出しがあれば、どの場合を数え、どこまで処理したかを後から確認できます。場合分けの設計そのものが、偏差値70レベルで問われる力です。

複数の解法から短い方法を選ぶ力

場合の数には、直接数える方法、全体から不要な場合を引く方法、対称性を利用する方法などがあります。

例えば、「少なくとも1回は赤を使う」という条件なら、赤を1回、2回、3回使う場合に分けることもできます。しかし、全体から赤を一度も使わない場合を引く方が短いことがあります。

上位層に必要なのは、複数の方法を知るだけでなく、条件に応じて安全で短い方法を選ぶ力です。

家庭学習では、正解した後に「別の数え方はある？」「どちらが漏れにくい？」と確認しましょう。

速さだけでなく、重複が起こりにくく、途中を検算しやすい方法を選ぶことが本番での安定につながります。

偏差値70を目指す場合の数の重要技法

条件の強いものから固定する

複数の条件がある問題では、選択肢を大きく減らす条件から先に固定します。

偶数なら一の位、5の倍数なら一の位が0か5、4000より大きい整数なら千の位から考えます。人の並べ方なら、端に置く人や隣り合う人を先に処理します。

例えば、0・1・2・3・4から異なる3枚を使って3けたの偶数を作る場合、一の位を0、2、4に分けます。

一の位が0なら、百の位は4通り、十の位は残り3通りで12通りです。一の位が2または4なら、百の位には0を置けないため各3通り、十の位は残り3通りで各9通りです。

合計は12＋9＋9＝30通りとなります。

制限の強い場所から決めると、その後の選択肢を数えやすくなります。

全体から不要な場合を引く

直接数える場合分けが多くなるときは、条件を考えない全体から、条件に合わない場合を引きます。

この方法は、「少なくとも一つ」「一度以上」「すべて同じではない」「隣り合わない」といった条件で特に有効です。

4人を一列に並べ、AとBが隣り合わない並べ方を考えます。全体は4×3×2×1＝24通りです。

AとBが隣り合う場合は、2人を一つのまとまりと考えます。まとまり、C、Dの3つを並べる方法が6通り、まとまりの中がABとBAの2通りなので、6×2＝12通りです。

したがって、隣り合わない並べ方は24－12＝12通りです。

反対の場合が少ないかどうかを確認すると、複雑な場合分けを減らせます。

対称性を使って計算を短くする

条件が左右や位置について対称なら、一方を数えて倍にできる場合があります。

例えば、Aを左右どちらかの端に置く問題では、左端に置く場合と右端に置く場合が同じ数になります。左端に置く場合だけを求めて2倍すれば済みます。

ただし、左右でほかの条件が異なる場合は対称ではありません。特定の人を左側に置く、番号の大小による制限があるといった問題では、単純に倍にできないことがあります。

対称性を使う前には、「一方のすべての場合に、もう一方の対応する場合が一つずつあるか」を確認させましょう。

偏差値70を目指す段階では、計算を短くするだけでなく、なぜ同数といえるかを説明することが大切です。

小さな場合から規則を発見する

大きな数を扱う問題では、最初から一般的な式を作ろうとすると混乱します。

点を結んでできる線分の本数、階段の上り方、色の塗り分けなどでは、数が小さい場合から調べます。

例えば、一直線上にない点が4個あり、2点を結んで線分を作るなら、AからB・C・Dへ3本、Bからはすでに数えたAを除いてC・Dへ2本、CからDへ1本です。合計は3＋2＋1＝6本となります。

点が5個なら4＋3＋2＋1＝10本です。

小さな例を書き、何が増えているか、どこで二重に数えるかを確認してから大きな場合へ広げます。規則を見つけた後も、最初の数例と一致するか検算しましょう。

偏差値70レベルで差がつく頻出問題

複数条件がついた整数の作り方

難度の高い整数作りでは、位、0、重複、大小、倍数などの条件が組み合わされます。

例えば、「0・1・2・3・4から異なる4枚を使い、3000より大きい偶数を作る」といった問題です。

まず千の位は3または4です。次に偶数という条件から一の位を決めます。ただし、千の位で使った数字は一の位に使えません。

このような問題では、千の位が3の場合と4の場合に分け、さらに一の位ごとに整理します。

数字を選ぶ段階と、選んだ数字を並べる段階を混ぜないことが重要です。複数条件を表にまとめる方法も、漏れを防ぐうえで有効です。

隣接・固定・円順列を含む並べ方

人の並べ方では、隣り合う、隣り合わない、端に置く、男女が交互に並ぶなどの条件が頻出します。

隣り合う人は一つのまとまりとして考え、隣り合わない場合は全体から隣り合う場合を引く方法を検討します。

円形に並ぶ問題では、全員を一つずつずらした並びが同じになります。小学生には公式だけを覚えさせず、一人の場所を固定して残りを並べると説明すると分かりやすいでしょう。

5人が円形に並ぶなら、一人を固定し、残り4人を並べるので4×3×2×1＝24通りです。

条件が加わった場合も、まず基準となる一人を固定し、その後で隣接などの条件を処理します。

重複を含む選び方とグループ分け

選び方では、選ぶ順番を区別するか、同じ構成のグループを区別するかを丁寧に確認します。

6人を3人ずつの2グループに分ける場合、最初の3人を選ぶだけでは、残り3人との入れ替えを重ねて数えることがあります。

「赤組と白組」のようにグループ名があれば区別しますが、単に2組へ分けるだけなら、組全体の入れ替えは同じ分け方です。

また、男女の人数や特定の2人を別の組にする条件が加わることもあります。

何を区別し、何を同じとみなすかを問題文から明確にしなければなりません。偏差値70レベルでは、計算よりこの判断で差がつきます。

道順・図形・規則性との複合問題

難関校では、「場合の数」という形が見えにくい複合問題が出されます。

格子状の道順では、必ず通る点、通れない道、曲がる回数などが条件になります。図形では、三角形や四角形の選び方、対角線の交点、色の塗り分けなどが扱われます。

規則性との複合問題では、小さな数の場合を調べ、増え方から一般的な規則を見つけます。

重要なのは、見た目の題材に惑わされず、「何を選べば一つの場合が決まるか」を考えることです。

道順なら移動の順序、三角形なら選ぶ3頂点、塗り分けなら各場所の色が一つの場合を決めます。

場合の数を偏差値70まで伸ばす家庭学習

一問を二つの方法で解き比べる

偏差値70を目指す段階では、一問一答の演習だけでなく、解法を比較する学習が必要です。

「少なくとも一つ含む」問題を、直接場合分けする方法と、全体から一つも含まない場合を引く方法で解いてみます。

両方の答えが一致すれば検算になります。また、どちらが短く、重複しにくいかも判断できます。

毎日行う必要はありません。週に1～2問、別解を考えるだけでも、初見問題で方法を選ぶ力が育ちます。

途中式より場合分けの見出しを残す

場合の数の答案では、計算だけが並んでいても、何を数えたのか分かりません。

「千の位が3」「一の位が0」「Aを含む場合」のように、場合分けの見出しを残しましょう。

見出しの下に各場合の式を書けば、漏れや重複を見直せます。途中点が期待できる記述式の学校でも、考え方が伝わりやすくなります。

家庭での丸つけでは、答えが合っていても見出しがなければ、「この式は何の場合？」と説明させてください。

20分考えてから解説を読む

難問を長時間考え続けることが、必ずしも効果的とは限りません。

家庭学習では、一問につき最初の10分で条件整理と方針を考え、その後10分で書き出しや計算を進めます。20分たっても方針が立たなければ、解説の最初の部分だけを確認します。

すぐに全解説を読むのではなく、「何を固定しているか」「どの基準で場合分けしているか」を見て、いったん閉じて再挑戦しましょう。

解説を読む力ではなく、自分で方針を再現する力を鍛えることが目的です。

翌日・1週間後・1か月後に再演習する

難問は、解説を理解しただけでは定着しません。

翌日は同じ問題を白紙から解き、1週間後は条件を少し変えた類題、1か月後は問題名や単元を伏せた状態で再演習します。

翌日の解き直しでは手順の再現、1週間後は類題への転用、1か月後は解法選択ができるかを確認します。

過去問で間違えた問題も、学校名や年度だけで管理せず、「全体から引く」「対称性」「重複するグループ分け」など、使った考え方で分類すると復習しやすくなります。

まとめ

中学受験算数で場合の数を偏差値70レベルまで伸ばすには、難問を大量に解くより、数え方の精度と解法選択の力を高めることが重要です。

基本問題は短時間で正確に処理し、複数条件のある問題では、条件の強いものから固定します。場合分けは互いに重ならず、すべてを漏れなく含んでいるか確認しましょう。

「少なくとも一つ」や「隣り合わない」という条件では、全体から不要な場合を引く方法が有効です。左右や位置が対応する問題では対称性を使い、大きな数を扱う問題では小さな場合から規則を探します。

家庭では、一問を二つの方法で解き比べ、計算だけでなく場合分けの見出しを残してください。難問は20分を目安に考え、解説を読んだ後も翌日、1週間後、1か月後に再演習します。

偏差値70は、難問をすべて解けることだけで到達するものではありません。基本を落とさず、複雑な条件を整理し、安全で短い解法を選べることが、場合の数で上位を目指すための本質です。