中学受験算数「規則性」の対策と克服法

中学受験算数の規則性で対策が必要な理由

この記事では、中学受験算数の規則性でつまずく原因と、家庭で優先したい対策を基本から順を追って解説します。

規則性とは、並んでいる数や図形、記号などの変化から共通する決まりを見つける単元です。計算そのものは難しくなくても、問題文に使う公式が書かれていないため、「どこを見ればよいのか分からない」と感じる子は少なくありません。

規則性の対策で大切なのは、難しい式を覚えることではありません。最初の数個を書き出し、前後を比べ、番号との関係を整理することです。

同じ手順を繰り返せるようになれば、初めて見る問題でも落ち着いて規則を探せるようになります。

問題ごとに見た目が大きく変わる

規則性には、数列、曜日、色の並び、棒やタイルで作る図形、数のまとまりなど、さまざまな問題があります。

見た目が違うため、子どもは問題ごとに新しい解き方が必要だと感じがちです。

しかし、基本的に調べるのは次の3点です。

隣り合う数がいくつ違うか、前の図から何個増えたか、同じ並びが何個ごとに繰り返されるかです。

例えば、3、7、11、15……という数列なら、隣り合う数の差は4です。正方形を横につなぐ問題なら、図が一つ増えるたびに必要な棒が何本増えるかを調べます。

題材ではなく「何が変化しているか」に注目することが、規則性対策の出発点です。

小さい例は解けても大きな番号で止まる

10番目程度までなら、続きを一つずつ書いて答えられることがあります。

ところが、50番目や100番目を求める問題では、すべてを書き出す方法は使えません。小さい例から規則を見つけ、まとめて計算する必要があります。

例えば、2、5、8、11……の100番目を求める場合、3ずつ増えることを利用します。

1番目の2から100番目へ進む間は99回です。そのため、

2＋3×99＝299

となります。

「100番目だから3を100回足す」と考えると、答えが3大きくなります。

大きな番号の問題では、番号と変化した回数が同じではないことを理解させる対策が必要です。

規則を見つけても式にできない

「3ずつ増える」「4個で繰り返す」と気づいても、そこから式を作れない子もいます。

原因は、最初の状態と、その後に増えた回数を分けて考えていないことです。

例えば、正方形を横に並べると、必要な棒の本数が4本、7本、10本、13本と増えるとします。

最初の正方形には4本必要です。その後は正方形が一つ増えるたびに3本ずつ増えます。

10番目なら、最初の4本に3本を9回加えるので、

4＋3×9＝31本

です。

「最初にある数」と「後から増える数」を分けることが、規則を式へつなげる基本です。

規則性対策で身につけたい基本手順

最初の3～5個を書き出す

規則性の問題を見たら、すぐに大きな番号を求めようとせず、最初の3～5個を調べます。

数列なら続きを書き、図形なら1番目、2番目、3番目の個数を数えます。

例えば、図形に使われる棒の本数を調べるなら、次のように記録します。

1番目：4本
2番目：7本
3番目：10本
4番目：13本

この書き出しから、番号が一つ増えると棒が3本増えることが分かります。

書き出しは、答えを最後まで一つずつ数えるためではありません。規則を見つける材料を作るための作業です。

途中で数えるものを変えず、同じ基準で書くことも大切です。

差・増え方・繰り返しを調べる

書き出した後は、前後を比べます。

数列なら隣り合う数の差を求めます。差が一定なら、同じ数ずつ増える数列です。

差が一定でない場合は、差の並びにも規則がないか確認します。例えば、2、5、9、14……では、差が3、4、5と増えています。

色や記号の並びでは、同じ並びがどこからどこまで繰り返されているかを探します。

図形では、全体を毎回数え直すより、前の図から増えた部分を数えましょう。

家庭では「次はいくつ？」と聞くより、「前と比べて何が変わった？」と尋ねる方が、規則へ注目させやすくなります。

番号と個数を表で対応させる

規則性では、「何番目か」と「そのときの数や個数」を混同しやすいため、表を使います。

上段に番号、下段に数や個数を書くと、対応が見やすくなります。

例えば、次のように整理します。

番号：1、2、3、4
個数：5、8、11、14

個数は3ずつ増えています。10番目なら、1番目の5に3を9回足すため、

5＋3×9＝32

です。

表を使うと、「10番目だから3を10回足す」という間違いを防げます。

群数列でも、群の番号、群に含まれる個数、群の最後までの合計を表にすると整理しやすくなります。

小さい番号で答えを検算する

規則を式にしたら、問題に示されている小さい番号を代入して確かめます。

「5＋3×（番号－1）」という式を作った場合、2番目を入れると、

5＋3×1＝8

になります。実際の2番目の数と一致するため、少なくとも小さい例では正しく使えています。

3番目でも、

5＋3×2＝11

となります。

一致しない場合は、最初の数、増える数、増えた回数のどこかが間違っています。

規則性では、式を作っただけで安心せず、最初の2～3個と合うかを確認する習慣が有効です。

中学受験で優先したい規則性の頻出対策

等差数列は差と回数を確認する

等差数列とは、隣り合う数の差が一定になる数列です。

例えば、4、9、14、19……では、5ずつ増えています。

20番目を求める場合、最初の4から19回増えるため、

4＋5×19＝99

となります。

対策では、数字の間に「＋5」と書き込み、差を目で確認させましょう。

次に、「20番目までに何回増えたか」を考えます。番号から1を引く理由を説明できることが大切です。

差が一定の問題が安定したら、差が2、4、6……のように変化する問題へ進みます。その場合は、差そのものの規則を調べます。

周期算は一巡する個数を見つける

周期算では、同じ並びが何個ごとに繰り返されるかを探します。

例えば、赤・青・黄・黄の4個が繰り返されるとします。

35番目の色を求める場合、

35÷4＝8余り3

です。4個のまとまりが8回あり、次のまとまりの3番目なので黄になります。

余りが0の場合は、まとまりの最後です。40÷4＝10余り0なら、4番目の黄に当たります。

対策では、いきなり割り算をさせず、繰り返される一巡分を線で囲ませてください。

途中から周期が始まる問題では、最初だけ異なる部分を除いてから計算します。

図形の規則は増えた部分だけを見る

棒、タイル、点などを使う図形問題では、前の図から新しく増えた部分を調べます。

正方形を横につなぐ問題では、最初の正方形に4本の棒が必要です。

2個目以降は、前の正方形と1辺を共有するため、増える棒は3本ずつです。

10個並べるなら、

4＋3×9＝31本

となります。

階段状のタイルでは、1段増えるごとに増える個数が1、2、3……と変化することもあります。

図全体を何度も数え直すのではなく、増えた部分だけを丸で囲み、増え方を別に書き出すことが対策になります。

群数列はまとまりの終わりを求める

群数列では、数字や記号がいくつかの群に分かれています。

1群に1個、2群に2個、3群に3個と並ぶ場合、各群の最後までの個数は次のようになります。

1群まで：1個
2群まで：3個
3群まで：6個
4群まで：10個
5群まで：15個

12番目は、4群までの10個を超え、5群までの15個以内なので5群にあります。

さらに、

12－10＝2

より、5群の2番目です。

群数列では、最初にどの群に入るかを求め、次に群の中での位置を調べます。この二段階を分けることが重要です。

家庭でできる規則性の実践対策

1回15分で同じ型を3問解く

規則性の家庭学習は、長時間まとめて行うより、短時間で同じ型を繰り返す方が進めやすくなります。

1回15分程度で、同じ型を3問解きましょう。

等差数列の日は差を見る問題、周期算の日は一巡分を探す問題というように分けます。

同じ型を5問解き、4問以上で自分から適切な表や書き込みを作れるようになったら次へ進みます。

各型を学び終えた後は、問題を混ぜて解かせます。どの方法を使うのかを自分で判断する練習になるためです。

式を教える前に規則を説明させる

子どもが手を止めたときに、保護者が完成した式を教えると、その問題だけの暗記になりやすくなります。

先に次のように質問してください。

「前と比べて何が増えた？」
「何個で同じ並びに戻る？」
「最初だけ違うところはある？」
「番号が一つ増えるとどう変わる？」

「3ずつ増える」「4個で一巡する」と説明できれば、そこから式を一緒に作れます。

規則を言葉で説明することは、理解できているかを確かめる方法にもなります。

間違いを規則・対応・計算に分類する

規則性の間違いは、すべて同じ原因ではありません。

変化や周期を見つけられなかった場合は「規則」の間違いです。

3ずつ増えることは分かったものの、10番目だから3を10回足した場合は「対応」の間違いです。

正しい式を作れたのに最後の計算だけを誤った場合は「計算」と分類します。

周期算で余り0をまとまりの1番目と考えた場合も、規則ではなく対応の問題です。

解き直しノートに原因を一言書き、同じ間違いが続いていないか確認しましょう。

翌日・3日後・1週間後に解き直す

解説を読んだ直後に解けても、規則を自力で見つけられるようになったとは限りません。

間違えた問題は、翌日に白紙から解き直します。3日後には数字を変えた類題、1週間後には題材の異なる同じ型の問題へ取り組みます。

翌日は手順の再現、3日後は式の理解、1週間後は考え方の応用を確認するためです。

前回の表や式を見ず、最初の数個を書き出すところから始めます。

3回続けて自力で正解し、規則も言葉で説明できた問題は、いったん復習対象から外して構いません。

まとめ

中学受験算数の規則性対策では、公式を覚える前に、変化を見つける手順を身につけることが重要です。

まず最初の3～5個を書き出し、隣り合う数の差、前の図から増えた部分、繰り返しの長さを調べます。

次に番号と個数を表で対応させ、見つけた式が小さい番号でも成り立つか検算しましょう。

優先して対策したいのは、等差数列、周期算、図形の規則、群数列です。

等差数列では差と増えた回数、周期算では一巡する個数、図形では新しく増えた部分、群数列では各群の終わりまでの合計に注目します。

家庭学習は1回15分、同じ型を3問程度で十分です。式を先に教えず、子どもに「何がどう変わったか」を説明させてください。

間違いを規則・対応・計算に分け、翌日、3日後、1週間後に白紙から解き直します。

規則性は、ひらめきの有無だけで決まる単元ではありません。書き出す、比べる、表にする、検算するという対策を繰り返せば、算数に苦手意識がある子でも着実に得点へつなげられます。