中学受験算数「数の性質」の基本をやさしく解説

中学受験算数の数の性質で押さえたい基本

この記事では、中学受験算数の数の性質について、最初に押さえたい基本と家庭での教え方を順を追って解説します。

数の性質は、整数の決まりを使って問題を解く単元です。中学受験では、約数、倍数、素数、素因数分解、余りなどがよく出題されます。

計算だけを見ると難しくなさそうに見えますが、実際には「どの考え方を使うか」を選ぶ力が必要です。そのため、基本の意味があいまいなまま進むと、文章題や応用問題で急に手が止まります。

まずは、数の性質で必ず使う基本用語を、子どもに説明できる形で整理しておきましょう。

約数は「割り切れる数」

約数とは、ある数を割り切ることができる数です。

たとえば、12の約数は、

1、2、3、4、6、12

です。どの数で12を割っても、余りが出ません。

子どもには、「12をぴったり割れる数が約数」と伝えると分かりやすくなります。

約数を探すときは、1から順に調べるだけでなく、かけ算の組で考えると抜け漏れが減ります。

12＝1×12
12＝2×6
12＝3×4

このように組で見ると、約数がすべてそろいやすくなります。

倍数は「何倍かしてできる数」

倍数とは、ある数に1、2、3……をかけてできる数です。

たとえば、6の倍数は、

6、12、18、24、30、……

と続きます。

約数は限りがありますが、倍数はどこまでも続きます。この違いを最初に確認しておくことが大切です。

倍数は、繰り返しや周期と関係する問題でよく使われます。

たとえば、6日ごとの予定、8分ごとのベル、4個ずつ入れる箱など、「同じ間隔で続くもの」が出てきたときは、倍数を考える場面が多くなります。

素数と素因数分解は数の中身を見る考え方

素数とは、1とその数自身でしか割り切れない数です。

2、3、5、7、11、13

などが素数です。1は約数が1つしかないため、素数には入りません。

素因数分解とは、整数を素数のかけ算に分けることです。

たとえば、60は、

60＝2×2×3×5

と表せます。

これは、60という数が2、2、3、5という小さな材料でできていると見る考え方です。

素因数分解は、最大公約数、最小公倍数、約数の個数を求めるときに役立ちます。単なる計算手順ではなく、「数の中身を見る道具」として理解させましょう。

余りは倍数からのずれとして考える

余りは、割り切れなかったときに残る数です。

17÷5＝3余り2

なので、17は5の倍数である15より2大きい数と考えられます。

5で割ると2余る数は、

2、7、12、17、22、……

と並びます。これは、5ずつ増える数列です。

余りを「割り算の残り」とだけ見るより、「倍数からどれだけずれているか」と見ると、条件整理の問題でも考えやすくなります。

数の性質の基本問題でよく出る考え方

数の性質では、用語を覚えるだけでは得点につながりません。

問題文を読んだときに、最大公約数を使うのか、最小公倍数を使うのか、約数を数えるのか、余りを書き出すのかを判断する必要があります。

ここでは、基本問題でよく出る考え方を整理します。

最大公約数は同じ大きさに分ける問題

最大公約数は、複数の数をどちらも割り切れる数のうち、最も大きい数です。

たとえば、縦24cm、横36cmの長方形の紙を、余りなく同じ大きさの正方形に切る問題を考えます。

24cmも36cmもぴったり分けられる長さを探すので、公約数を使います。できるだけ大きい正方形にするなら、最大公約数です。

24と36の最大公約数は12なので、正方形の一辺は12cmです。

「同じ大きさに分ける」「余りなく配る」「できるだけ大きく」という言葉が出たら、最大公約数を考える合図です。

最小公倍数は次にそろう問題

最小公倍数は、複数の数に共通する倍数のうち、最も小さい数です。

たとえば、4分ごとに鳴るベルと6分ごとに鳴るベルが、同時に鳴ったあと、次に同時に鳴るのは何分後かを考えます。

4の倍数は、

4、8、12、16、……

6の倍数は、

6、12、18、……

最初にそろうのは12なので、答えは12分後です。

「次に同時」「何日後に重なる」「最小の数」という表現があれば、最小公倍数を疑いましょう。

約数の個数はかけ算の組で考える

基本段階では、約数の個数をいきなり公式で数えるより、かけ算の組で確認することが大切です。

たとえば、18の約数を考えるなら、

18＝1×18
18＝2×9
18＝3×6

となります。

したがって、18の約数は、

1、2、3、6、9、18

の6個です。

慣れてきたら、素因数分解を使って約数の個数を求めます。

たとえば、72＝2³×3²です。2を使う個数は0個、1個、2個、3個の4通り。3を使う個数は0個、1個、2個の3通りです。

そのため、約数の個数は、

4×3＝12個

となります。

ここで大切なのは、0個使う場合も数えることです。

余りの問題は小さい数から書き出す

余りの問題は、最初から式で考えようとすると難しく感じます。

たとえば、「5で割ると2余る数」を探すなら、まず小さい順に書き出します。

2、7、12、17、22、27、……

このように並べると、5ずつ増えていることが分かります。

さらに、「7で割ると3余る」という条件もあるなら、先ほどの数の中から7で割って3余るものを探します。

17÷7＝2余り3

なので、17は条件に合います。

小4・小5の基本段階では、書き出しを嫌がらないことが大切です。書くことで規則が見え、式の意味も理解しやすくなります。

数の性質が基本でつまずく原因

数の性質が苦手な子は、必ずしも計算ができないわけではありません。

むしろ、基本用語の意味や問題文の読み取りでつまずいていることが多くあります。

原因を知ることで、家庭で戻るべき場所が見えてきます。

用語の意味を言葉だけで覚えている

「約数は割り切れる数」「倍数は何倍かした数」と言える子でも、実際の問題で使えないことがあります。

それは、言葉だけを覚えていて、具体的な数と結びついていないからです。

家庭では、用語を暗唱させるより、

「12の約数を全部書いてみよう」
「6の倍数を小さい順に5つ書こう」
「24は8の倍数かな？」

と具体的に確認しましょう。

意味は、実際に手を動かすことで定着します。

公約数と公倍数を使い分けられない

数の性質で特に多いのが、公約数と公倍数の選び間違いです。

「分ける問題」は公約数、「そろう問題」は公倍数と考えると整理しやすくなります。

同じ人数に配る、同じ大きさに切る、余りなく分ける問題は、公約数を使うことが多いです。

一方、次に同時になる、何日後に重なる、同じタイミングになる問題は、公倍数を使うことが多いです。

計算を始める前に、問題文の横に「分ける」「そろう」と一言書く習慣をつけると、判断ミスが減ります。

すぐに式を作ろうとして手が止まる

数の性質では、すぐに式を作ろうとするとかえって混乱することがあります。

特に余りの問題や条件を満たす整数を探す問題では、具体的な数を書き出した方が早い場合があります。

「式を使わないといけない」と思い込む必要はありません。

小さい数で確かめ、規則を見つけてから式にする。この順番を守ることで、基本問題への苦手意識は軽くなります。

家庭でできる数の性質の基本学習

家庭で数の性質を教えるときは、難問を解かせるより、基本の意味を丁寧に確認することが効果的です。

保護者が長く説明するより、子どもが自分で書き、言葉にする時間を増やしましょう。

まずは12・18・24など小さい数で練習する

基本を確認するときは、扱いやすい数を選びます。

12、18、24、30、36などは、約数や倍数を確認しやすい数です。

たとえば、24の約数なら、

1、2、3、4、6、8、12、24

と書き出せます。

大きな数でいきなり考えるより、小さい数で「割り切れる」「何倍かしてできる」という感覚をつかむことが先です。

問題文を「分ける」「そろう」に分ける

文章題では、最初に問題の内容を一言で分類します。

24個と36個を同じ人数に分けるなら「分ける問題」です。

4日ごとと6日ごとの予定が次に重なるなら「そろう問題」です。

この分類をするだけで、最大公約数と最小公倍数の使い分けがしやすくなります。

保護者は答えを教える前に、「これは分ける話かな、そろう話かな？」と聞いてみてください。

1日15分で基本問題を反復する

数の性質は、短時間の反復と相性がよい単元です。

1日15分を目安に、

基本問題を2問
前日に間違えた問題を1問
数字を変えた類題を1問

のように進めると、無理なく続けられます。

大量の問題を一度に解くより、同じ考え方を何度も思い出す方が定着します。

特に基本段階では、正解数より「なぜその考え方を使ったか」を確認することが大切です。

子どもに考え方を説明させる

問題を解いた後は、子どもに考え方を説明させましょう。

「なぜ最大公約数を使ったの？」
「この問題は分ける問題？そろう問題？」
「余り2は何を表しているの？」

と短く聞きます。

うまく説明できない場合は、理解がまだあいまいな可能性があります。そのときは叱るのではなく、小さい数に戻って一緒に確認してください。

自分の言葉で説明できるようになると、初めて見る問題にも対応しやすくなります。

まとめ

中学受験算数の数の性質でまず押さえたい基本は、約数・倍数・素数・素因数分解・余りの意味です。

約数は割り切れる数、倍数は何倍かしてできる数、素因数分解は数の中身を見る方法、余りは倍数からのずれとして理解しましょう。

基本問題では、最大公約数は同じ大きさに分ける場面、最小公倍数は次にそろう場面で使います。問題文を読んだら、計算の前に「分ける問題か、そろう問題か」を確認することが大切です。

家庭学習では、12や18など小さい数を使い、約数を書き出したり倍数を並べたりするところから始めてください。1日15分でも、基本問題と解き直しを続ければ、理解は少しずつ安定します。

数の性質は、暗記だけで乗り切る単元ではありません。数の意味を具体的に確認し、子どもが自分の言葉で説明できるようになることが、入試問題に対応するための確かな土台になります。