中学受験算数「数の性質」応用問題の解き方

中学受験算数の数の性質で応用問題が難しい理由

この記事では、中学受験算数の数の性質で応用問題が解けなくなる理由と、家庭で伸ばすための具体的な学習法を解説します。

数の性質は、約数・倍数・素数・素因数分解・余りなど、整数の決まりを使って解く単元です。

基本問題では、最大公約数を求める、最小公倍数を求める、約数を書き出すといった作業が中心です。しかし応用問題になると、単に計算するだけでは解けません。

問題文を読み、どの条件にどの考え方を使うのかを判断する必要があります。ここで止まる子が多いため、「基本はできるのに応用ができない」という悩みが生まれます。

基本用語を知っていても使い分けが必要になる

数の性質の応用問題では、約数・倍数・公約数・公倍数の意味を知っているだけでは足りません。

たとえば、「24個と36個のお菓子を同じ人数に余りなく分ける」なら公約数を使います。一方、「4分ごとと6分ごとのベルが次に同時に鳴る」なら公倍数を使います。

どちらも計算だけなら難しくありません。しかし文章題では、「分ける問題なのか」「そろう問題なのか」を見抜く必要があります。

応用では、この判断が一段階増えるため、子どもは迷いやすくなります。

条件が複数あり、整理しないと見落としやすい

応用問題では、条件が1つではありません。

たとえば、「5で割ると2余り、7で割ると3余る整数を小さい順に求める」という問題では、5で割ったときの条件と7で割ったときの条件を同時に満たす必要があります。

頭の中だけで処理しようとすると、どちらかの条件を見落とします。

数の性質の応用では、条件を紙に書き出す、表にする、候補を並べるなど、見える形にすることが重要です。

他単元と組み合わされて出題される

入試では、数の性質だけが単独で出るとは限りません。

規則性、場合の数、周期算、図形、比などと組み合わされることがあります。

たとえば、曜日の周期を考える問題では、7の倍数や余りの考え方を使います。図形を同じ大きさに分ける問題では、最大公約数が関係します。

応用問題で大切なのは、問題の見た目に惑わされず、「整数の決まりが使われている部分はどこか」を見つけることです。

数の性質の応用でよく出る4つの型

数の性質の応用問題は難しく見えますが、基本となる型は限られています。

家庭学習では、問題を解くたびに「どの型か」を確認すると、応用問題への対応力がつきます。

約数・倍数を使う条件整理

約数と倍数は、応用問題の土台です。

約数は「ある数を割り切れる数」、倍数は「ある数を何倍かしてできる数」です。

たとえば、「ある整数は12でも18でも割り切れる」という条件なら、12と18の公倍数を考えます。

反対に、「ある数で12も18も割り切れる」という条件なら、12と18の公約数を考えます。

言葉の順番が少し変わるだけで、使う考え方が変わります。応用問題では、誰が誰を割るのかを丁寧に確認することが大切です。

最大公約数・最小公倍数の文章題

最大公約数は「同じ大きさに分ける」場面でよく使います。

たとえば、縦24cm、横36cmの長方形を、余りなく同じ大きさの正方形に切る問題です。できるだけ大きい正方形にするなら、24と36の最大公約数を求めます。

最小公倍数は「次にそろう」場面でよく使います。

4分ごとのベルと6分ごとのベルが次に同時に鳴るのは、4と6の最小公倍数である12分後です。

応用では、問題文が長くなっても、「分ける」「そろう」のどちらかを見つけることが第一歩です。

素因数分解を使う約数の個数

大きな数の約数をすべて書き出すのは大変です。そこで素因数分解を使います。

たとえば、72を素因数分解すると、

72＝2³×3²

です。

72の約数を作るには、2を0個・1個・2個・3個の4通り、3を0個・1個・2個の3通りで選びます。

したがって、約数の個数は、

4×3＝12個

です。

応用問題では、「約数の個数が何個になる整数を探す」「平方数になるように最小の数をかける」といった形で出題されることがあります。素因数分解は、数の中身を整理する道具として使いましょう。

余りを使う整数条件の問題

余りの問題は、応用で差がつきやすい分野です。

たとえば、5で割ると2余る数は、

2、7、12、17、22、……

です。これは5ずつ増えていきます。

さらに「7で割ると3余る」という条件があるなら、この候補の中から7で割って3余る数を探します。

17÷7＝2余り3

なので、17は条件に合います。

慣れてくると式で処理できますが、最初は書き出しが確実です。応用問題でも、小さい数から候補を並べる姿勢を大切にしましょう。

応用問題を解くための手順と考え方

応用問題で止まる子は、問題ごとに新しい解き方を探そうとしがちです。

しかし、数の性質の応用では、毎回同じ手順で考えることが大切です。手順が決まっていると、初見問題でも落ち着いて取り組めます。

まず問題文を「分ける」「そろう」「余る」に分ける

問題を読んだら、すぐに計算を始めず、どのタイプかを判断します。

同じ大きさに切る、同じ人数に配る、余りなく分けるなら「分ける」問題です。最大公約数や公約数を使うことが多くなります。

次に同時になる、何日後に重なる、最小の個数を求めるなら「そろう」問題です。最小公倍数や公倍数を考えます。

割ると余る、条件に合う整数を探すなら「余る」問題です。候補を書き出したり、余りを整理したりします。

問題文の横に「分ける」「そろう」「余る」と一言メモするだけで、解き方の方向が見えます。

小さい数で試して規則を見つける

応用問題ほど、小さい数で試すことが大切です。

たとえば、「ある数を5で割ると2余る」という条件なら、いきなり式にせず、

2、7、12、17、22

と書き出します。

候補を並べると、5ずつ増えていることが見えます。

数の性質では、書き出しは遠回りではありません。条件を理解し、規則を見つけるための大切な作業です。

条件を表や式で見える形にする

条件が複数ある場合は、表にすると整理しやすくなります。

たとえば、約数の個数を調べる問題では、素因数分解した後に、使える素数の個数を表にします。

72＝2³×3²なら、

2は0個から3個まで
3は0個から2個まで

と整理します。

余りの問題なら、候補を縦に並べ、もう一方の条件に合うか確認します。

応用問題では、頭の中で考え続けるより、条件を見える形にする方がミスを防げます。

答えを問題文の条件に戻して確認する

答えが出たら、必ず問題文の条件に戻して確認します。

たとえば、「5で割ると2余り、7で割ると3余る数」として17を求めたなら、

17÷5＝3余り2
17÷7＝2余り3

と、両方の条件を満たすか確かめます。

最大公約数の問題なら、本当に両方の数を割り切れるかを確認します。

応用問題では、途中で条件を取り違えることがあります。最後に条件へ戻る習慣が、失点を減らします。

家庭で数の性質の応用力を伸ばす方法

応用力は、難問を大量に解くだけでは身につきません。

基本問題で使った考え方を、少し条件が変わった問題にも使えるようにすることが大切です。

基本問題と応用問題をつなげて解く

家庭学習では、基本問題を解いた直後に、少しだけ条件を増やした応用問題を解くと効果的です。

たとえば、最初に「24と36の最大公約数」を求めます。その後、「24cmと36cmの紙を同じ大きさの正方形に切る」という文章題に進みます。

さらに、「できる正方形は何枚か」まで求める問題に進めると、基本から応用へのつながりが見えます。

いきなり難問に進むのではなく、1段ずつ条件を増やすことがポイントです。

間違いを原因別に記録する

応用問題で間違えたときは、答えを書き写すだけでは不十分です。

原因を一言で残しましょう。

「公約数と公倍数を逆にした」
「余りの条件を1つ見落とした」
「素因数分解で指数を間違えた」
「問題文の『最大』を読み落とした」

原因を具体的に書くことで、次回の注意点がはっきりします。

「計算ミス」とだけ書くと、同じ間違いを繰り返しやすくなります。

1日15分で類題を反復する

応用問題の復習も、長時間まとめて行う必要はありません。

1日15分を目安に、

基本問題を1問
前日に間違えた応用問題を1問
数字を変えた類題を1問

の3問程度で十分です。

同じ考え方を、数字や条件を変えて使うことで、解法の暗記ではなく理解につながります。

たとえば、「5で割ると2余る」を「6で割ると4余る」に変えるだけでも、考え方が身についているか確認できます。

子どもに解き方を説明させる

応用問題では、答えが合っていても、考え方があいまいな場合があります。

解いた後は、

「なぜ最大公約数を使ったの？」
「この余りは何を表しているの？」
「どの条件から先に考えたの？」

と短く聞いてください。

子どもが自分の言葉で説明できれば、理解は深まっています。説明できない場合は、問題が難しすぎるか、基本の意味がまだ不安定な可能性があります。

そのときは、基本問題に戻って確認しましょう。

まとめ

中学受験算数の数の性質の応用問題では、約数・倍数・素因数分解・余りの基本を知っているだけでは不十分です。

大切なのは、問題文を読み、「分ける」「そろう」「余る」のどれに当たるかを判断することです。そこから、最大公約数、最小公倍数、素因数分解、余りの整理へ進みます。

応用問題では条件が複数あるため、頭の中だけで考えず、候補を書き出したり、表にまとめたりすることが必要です。答えが出たら、必ず問題文に戻って条件を満たしているか確認しましょう。

家庭学習では、基本問題と応用問題をつなげて解くことが効果的です。いきなり難問を解かせるのではなく、基本問題に条件を一つずつ加えていくと、子どもは応用への広がりを理解しやすくなります。

1日15分でも、間違えた問題の原因を記録し、数字を変えた類題を解き直せば、応用力は少しずつ伸びていきます。

数の性質の応用は、ひらめきだけで解く単元ではありません。基本の意味を土台にして、条件を整理し、使う考え方を選べるようになることが得点への近道です。