中学受験算数「数の性質」入試対策の要点

中学受験算数の入試で数の性質が問われる理由

この記事では、中学受験算数の入試で問われる数の性質について、出やすいテーマ、得点につながる解き方、家庭でできる対策を順を追って解説します。

数の性質は、約数・倍数・最大公約数・最小公倍数・余り・整数条件などを扱う単元です。計算だけで終わる問題もありますが、入試では文章題や条件整理の問題として出されることが多くあります。

そのため、「用語を知っている」「公式を覚えている」だけでは十分ではありません。問題文から条件を読み取り、使う考え方を選び、候補をしぼる力が求められます。

数の性質は、多くの中学入試で扱われやすい単元です。まずは、なぜ入試で問われやすいのかを知ることで、対策の優先順位を立てやすくなります。

短い問題でも条件整理の力が見える

数の性質の問題は、問題文が短くても考える要素を多く入れられます。

例えば、「50より大きく100より小さい整数で、5の倍数であり、7で割ると2余る数を求めなさい」という問題を考えます。

まず、5の倍数を書き出します。

55、60、65、70、75、80、85、90、95

次に、その中で7で割ると2余る数を探します。条件に合うのは65です。

この問題で必要なのは、難しい計算ではありません。範囲、倍数、余りという3つの条件を、どの順番で使うかを整理する力です。

入試では、このように短い設問でも、子どもが条件を落ち着いて処理できるかを見られます。

他単元と組み合わせて出題しやすい

数の性質は、単独で出るだけでなく、他の単元と組み合わせて出題されやすい特徴があります。

例えば、規則性の問題では、周期を考えるときに余りを使います。場合の数では、条件に合う整数を数える場面で倍数や約数を使います。図形問題でも、「辺の長さが整数になる」「同じ長さに分ける」といった条件が出ると、約数や最大公約数が関係します。

つまり、数の性質が弱いと、整数問題だけでなく、規則性や場合の数、図形の条件整理にも影響することがあります。

入試対策では、数の性質を単独の暗記単元として扱うのではなく、他単元を支える土台として学ぶ意識が大切です。

知識暗記だけでは得点につながりにくい

最大公約数や最小公倍数の求め方を覚えていても、入試問題で使えなければ得点にはつながりません。

例えば、24cmと36cmのリボンを余りなく同じ長さに切る問題では、24と36をどちらも割り切れる長さを探すため、最大公約数を使います。

一方、4分ごとに出るバスと6分ごとに出るバスが次に同時に出発する時刻を求める問題では、4と6の共通する倍数を探すため、最小公倍数を使います。

同じように数字を扱っていても、「分ける」のか「そろう」のかで使う考え方は変わります。

知識を覚えるだけでなく、問題文の場面と言葉から使う道具を選べるようにすることが、入試対策では欠かせません。

入試で出やすい数の性質の重要テーマ

数の性質は範囲が広く見えますが、入試で優先して対策したいテーマはある程度決まっています。ここでは、家庭学習でも押さえたい内容を整理します。

約数・倍数の基本問題

約数は、ある数を割り切れる数です。例えば36の約数を調べるときは、掛け算のペアで考えます。

1×36
2×18
3×12
4×9
6×6

したがって、36の約数は、

1、2、3、4、6、9、12、18、36

です。

倍数は、ある数に整数をかけてできる数です。6の倍数なら、6、12、18、24、30……と続きます。

入試では、約数をすべて求めるだけでなく、「約数の個数」「条件に合う約数」「倍数の個数」などが問われます。

まずは、約数を漏れなく書き出せること、倍数を範囲内で数えられることを確実にしましょう。

最大公約数・最小公倍数の使い分け

最大公約数と最小公倍数は、数の性質の入試問題で非常によく使います。

最大公約数は、「同じ大きさに分ける」「余りなく切る」「できるだけ大きくそろえる」といった場面で使います。

例えば、24cmと36cmのひもを同じ長さに切るなら、24と36をどちらも割り切れる長さを探します。最大公約数は12なので、できるだけ長く切るなら12cmです。

最小公倍数は、「再び同時になる」「周期がそろう」「最初に重なる」といった場面で使います。

4分ごとと6分ごとの出来事が次に同時になるのは、4と6の最小公倍数である12分後です。

この使い分けは、数字だけを見て判断するのではなく、問題文の場面から判断します。

余りと周期を使う問題

余りの考え方は、整数問題だけでなく周期の問題でもよく使われます。

例えば、赤・青・黄の3色が繰り返し並ぶとき、50番目の色を求める問題を考えます。

50÷3＝16余り2

なので、周期の2番目である青が答えです。

余りの問題では、次の形も重要です。

ある数＝割る数×整数＋余り

例えば、ある数を7で割ると3余るなら、その数は7×整数＋3です。候補は、3、10、17、24、31……と並びます。

注意したいのは、余り0の扱いです。3色周期で51番目なら、

51÷3＝17余り0

となります。この場合は、周期の最後である黄を選びます。

余りは入試でミスが出やすいテーマなので、割り切れる場合まで含めて練習しておきましょう。

整数の個数や範囲を調べる問題

入試では、「条件を満たす整数は何個あるか」という問題もよく出ます。

例えば、1から100までの整数のうち、6の倍数はいくつあるかを考えます。

100÷6＝16余り4

なので、6、12、18……96までの16個です。

次に、「1から100までで、6の倍数だが4の倍数ではない数はいくつあるか」となると、もう一段整理が必要です。

6の倍数は16個あります。6の倍数であり4の倍数でもある数は、6と4の最小公倍数である12の倍数です。

100÷12＝8余り4

より、12の倍数は8個あります。

したがって、

16－8＝8個

です。

整数の個数を調べる問題では、範囲の端を含むか、除く条件があるかを丁寧に確認することが大切です。

数の性質を入試で得点するための解き方

入試では、問題を見た瞬間に答えが浮かぶ必要はありません。大切なのは、条件を整理し、手を動かしながら答えに近づくことです。

問題文の条件を分けて書く

数の性質の問題では、問題文の条件を一つずつ分けて書きます。

例えば、「100以下の整数のうち、3の倍数で、5の倍数ではない数は何個ありますか」という問題なら、

100以下
3の倍数
5の倍数ではない

の3つに分けます。

このように書くと、まず3の倍数を数え、その中から5の倍数でもある数を除けばよいと分かります。

条件を分けて書く習慣がある子は、問題が長くなっても混乱しにくくなります。

家庭で演習するときも、答え合わせの前に「条件はいくつあった？」と聞いてみてください。条件を言葉で整理できれば、解き方の土台ができています。

候補を書き出してからしぼる

複数条件の整数問題では、候補を書き出すことが有効です。

例えば、「30より大きく80より小さい整数で、4で割ると1余り、6で割ると3余る数」を求めます。

まず、4で割ると1余る数を書き出します。

33、37、41、45、49、53、57、61、65、69、73、77

この中で6で割ると3余る数を探すと、

33、45、57、69

です。

書き出しは遠回りに見えるかもしれませんが、条件を見落とさずに処理するための大切な方法です。

入試本番では、難しい式を無理に作るより、確実に候補をしぼる方が安全な場面もあります。

取る問題と深追いしない問題を判断する

入試では、数の性質の問題がすべて同じ難度で出るわけではありません。

前半の小問では、約数・倍数・余りの基本確認が出ることがあります。ここは確実に取りたい問題です。

一方、大問の後半では、複数の条件が組み合わさり、場合分けや規則性とつながる難問になることがあります。こうした問題に時間をかけすぎると、他の取れる問題を落とす危険があります。

目安として、最初の2～3分で何を書き出すかが見えない問題は、一度印をつけて後回しにする判断も必要です。

数の性質は得点源にもなりますが、深追いすると時間を使いやすい単元でもあります。過去問演習では、「どこまで取るか」も練習しておきましょう。

家庭でできる数の性質の入試対策

入試対策というと難問演習を思い浮かべるかもしれません。しかし、家庭で大切なのは、頻出テーマを短く反復し、過去問で弱点を見つけることです。

1日15分で頻出テーマを反復する

家庭学習では、1回15分を目安に、同じ型の問題を2～3問解きます。

月曜日は約数、火曜日は倍数、水曜日は余り、木曜日は整数の個数というように分けると、考え方が整理されます。

1問目は例題で手順を確認します。2問目は自力で解きます。3問目では、なぜその方法を使ったのかを説明します。

基本問題を10問解いて7～8問以上正解できるようになったら、条件が2つ以上ある問題や入試問題へ進みましょう。

焦って難問ばかり解くより、頻出テーマの基本を確実にする方が、入試本番の得点は安定します。

過去問は単元別に抜き出して使う

小学6年生の夏以降は、志望校の過去問から数の性質に関係する問題を抜き出して解く方法が有効です。

最初から年度ごとに通して解くと、他単元の難しさや時間配分に影響され、数の性質だけの弱点が見えにくくなります。

まずは、過去5年から10年分の中で、約数・倍数・余り・整数条件に関係する問題を集めます。そして、どのテーマで間違いが多いかを確認します。

過去問は合否を判定するだけの教材ではありません。志望校が数の性質をどのように出すかを知り、家庭学習で戻るべき基本を見つける教材です。

間違いを知識・判断・作業に分ける

入試対策で間違えた問題は、原因を3つに分けます。

知識のミスは、約数・倍数・余りの意味や計算方法を忘れていた場合です。

判断のミスは、最大公約数と最小公倍数の使い分け、余りの候補の作り方などを選べなかった場合です。

作業のミスは、条件を見落としたり、範囲の端を確認しなかったり、候補を書き漏らしたりした場合です。

原因が違えば、対策も変わります。

知識のミスなら基本に戻ります。判断のミスなら問題文の言葉と使う考え方を結びつけます。作業のミスなら、条件に線を引く、候補を縦にそろえて書くなどの習慣を作ります。

復習ノートには、長い解説を書き写す必要はありません。

「同じ長さに切るから最大公約数」
「余り0は周期の最後」
「100以下なので100を含める」

このように、次に注意する点を1行で残すだけで十分です。

まとめ｜数の性質は入試本番で差がつく単元

中学受験算数の数の性質は、入試で差がつきやすい単元です。

約数・倍数、最大公約数・最小公倍数、余り、整数の個数や範囲は、特に優先して対策したいテーマです。

入試で得点するには、公式を覚えるだけでは足りません。問題文の条件を分けて書き、候補を書き出し、必要な条件でしぼる手順が必要です。

家庭学習では、1日15分、同じ型を2～3問ずつ反復しましょう。小学6年生では、過去問を単元別に抜き出し、志望校でどのように出題されるかを確認します。

保護者は、答えを先に教えるのではなく、「何を探す問題かな」「分ける問題かな、そろう問題かな」「どの条件から使うと楽かな」と問いかけてください。

数の性質は、ひらめきではなく整理の手順で得点できる単元です。頻出テーマを順番に固め、過去問で弱点を見つけて戻る学習を続けることで、入試本番でも落ち着いて取り組める力が育ちます。