中学受験算数の天秤図｜食塩水と平均の解き方

中学受験算数の天秤図とは？

この記事では、中学受験算数の天秤図について、基本の意味から食塩水・平均への使い方、比の求め方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

天秤図は、中学受験算数で食塩水や平均の問題を解くときに使われる図です。

特に、

濃度の違う2つの食塩水を混ぜる
平均点の違う2つのグループを合わせる

といった問題で便利です。

天秤図を使うと、複雑な式を立てなくても、

「どちらをどれだけ混ぜればよいか」

を比で考えられます。

2つの量を混ぜたときの平均を考える図

たとえば、

10％の食塩水
20％の食塩水

を混ぜて、

14％の食塩水

を作るとします。

天秤図では、

10％ —— 14％ —— 20％

のように、低い値・平均・高い値を一直線上に置きます。

そして平均14％からの差を見ると、

14－10＝4
20－14＝6

です。

この差を使って、混ぜる量の比を求めます。

左右の「差」と「量」の関係を見る

ここが天秤図の最重要ポイントです。

10％と20％を混ぜて14％にする場合、

14％は10％に近い位置にあります。

つまり、10％の食塩水を多めに使い、20％の食塩水を少なめに使います。

差は、

10％側から14％まで＝4
20％側から14％まで＝6

です。

混ぜる量の比は、この差を反対側に対応させるので、

10％の食塩水：20％の食塩水
＝6：4
＝3：2

となります。

差の比と量の比は反対になる

と覚えると整理しやすくなります。

天秤図は食塩水だけでなく平均にも使える

天秤図は「濃度専用」の方法ではありません。

2つのグループを合わせて平均を考える問題なら使えます。

例えば、

A組の平均70点
B組の平均80点
全体平均74点

なら、

70 —— 74 —— 80

と並べます。

差は、

74－70＝4
80－74＝6

なので、

A組：B組＝6：4＝3：2

です。

食塩水でも平均点でも、考え方は同じです。

天秤図の基本問題を例題で攻略

ここからは、中学受験でよく出る天秤図の問題を具体的に見ていきます。

例題1｜食塩水を混ぜる基本問題

【問題】

8％の食塩水300gと、20％の食塩水200gを混ぜました。できた食塩水の濃度を求めなさい。

【解き方】

この問題は、最初から天秤図を使うより食塩の重さを求めるほうが分かりやすいです。

8％の食塩水300gに含まれる食塩は、

300×0.08＝24g

20％の食塩水200gに含まれる食塩は、

200×0.20＝40g

食塩は合計、

24＋40＝64g

食塩水は、

300＋200＝500g

したがって、

64÷500＝0.128

答えは、

12.8％

です。

このように、天秤図は万能ではありません。

「混ぜた後の濃度を求めるだけ」なら、普通に食塩の重さを計算したほうが早い場合があります。

例題2｜混ぜる量の比を求める問題

【問題】

10％と25％の食塩水を混ぜて15％にしたいとき、混ぜる量の比を求めなさい。

【解き方】

天秤図にすると、

10 —— 15 —— 25

です。

差は、

15－10＝5
25－15＝10

です。

差を反対側へ対応させるので、

10％の食塩水：25％の食塩水
＝10：5
＝2：1

答えは、

2：1

です。

15％は10％に近いため、10％の食塩水を多く使うことになります。

例題3｜平均点を天秤図で求める問題

【問題】

Aグループは20人で平均70点、Bグループは30人で平均80点です。全体の平均点を求めなさい。

【解き方】

人数の比は、

20：30＝2：3

です。

平均点は70点と80点の間になります。

2：3で混ざるので、人数が多い80点側に近くなります。

普通に計算すると、

70×20＋80×30
＝1400＋2400
＝3800

全体は50人なので、

3800÷50＝76

答えは、

76点

です。

天秤図で確かめると、

70から76まで＝6
80から76まで＝4

差の比は、

6：4＝3：2

人数比2：3と反対になっていることが確認できます。

例題4｜人数の比を逆算する問題

【問題】

A組の平均は60点、B組の平均は75点です。2クラスを合わせると平均66点になりました。A組とB組の人数比を求めなさい。

【解き方】

天秤図は、

60 —— 66 —— 75

です。

差は、

66－60＝6
75－66＝9

なので、

A組：B組
＝9：6
＝3：2

答えは、

3：2

です。

平均66点は60点側に近いので、60点のA組の人数が多いことも確認できます。

天秤図で間違えやすいポイント

天秤図は慣れると速い一方で、使い方を機械的に覚えるとミスが起こります。

差と量を同じ側で対応させてしまう

最も多いのが、

差4だから量も4

のように、同じ側へ数字を書くミスです。

天秤図では、

左側の量は右側の差
右側の量は左側の差

と対応します。

例えば、

10 —— 14 —— 20

なら、

差は4と6。

量は、

10％側：20％側＝6：4

です。

差と量は反対側

と覚えておきましょう。

濃度の差を引く順番で混乱する

差は必ずプラスの数で考えます。

例えば、

14－10＝4
20－14＝6

です。

10－14＝－4

のようなマイナスは考えません。

「平均との差が何ポイントあるか」と見ると分かりやすくなります。

全体量をそのまま比にしてしまう

例えば600gの食塩水を3：2に分ける場合、

600÷3
600÷2

ではありません。

比の合計は、

3＋2＝5

です。

したがって、

600÷5＝120g

1あたり120gなので、

3の側＝360g
2の側＝240g

となります。

天秤図で比が求まったあとに、全体量を「比の合計」で分けることを忘れないようにしましょう。

天秤図を使わないほうが早い問題もある

どの食塩水問題でも天秤図を使えばよいわけではありません。

例えば、

「10％の食塩水200gに含まれる食塩は何g？」

なら、

200×0.1＝20g

で終わります。

また、混ぜたあとの濃度を求めるだけなら、食塩量を直接計算したほうが分かりやすいこともあります。

天秤図が特に便利なのは、

2つの異なる割合から平均となる割合を作るとき、量の比を求める問題

です。

家庭でできる天秤図の教え方

算数が苦手な子に天秤図を教えるときは、最初から食塩水で始めないほうが理解しやすい場合があります。

まず数直線のように3つの値を並べる

最初に、

10％
14％
20％

を一直線上に並べます。

「14は10と20の間にあるね」

と確認します。

次に、

10から14まで4
14から20まで6

と差を見ます。

いきなり天秤の形を覚えさせるより、「平均との差」を見せることが大切です。

「平均に遠いほうほど量は少ない」と説明する

天秤図が直感的に分からない子には、

「平均から遠いものは少なく入れる」

と説明すると分かりやすくなります。

10％と20％で14％を作るなら、

14％は10％に近い

ので、

10％を多く
20％を少なく

入れます。

この感覚があれば、比を逆に書いたときにも気づけます。

食塩水より簡単な平均から練習する

最初は平均点の問題がおすすめです。

例えば、

60点の子と80点の子が同じ人数

なら平均は、

70点

です。

次に、

60点の子が2人
80点の子が1人

なら、平均は60点側へ寄ります。

この「人数が多い側へ平均が寄る」という感覚が、天秤図の理解につながります。

その後に食塩水へ移ると、公式暗記になりにくくなります。

翌日と1週間後に逆算問題を解く

天秤図は、解説を見た直後は簡単に感じやすい単元です。

おすすめは、

当日：量の比を求める
翌日：平均を求める
1週間後：人数や食塩水の量を逆算する

という流れです。

1週間後に、

「まず3つの値を並べる」

と自分から始められれば、考え方が定着しています。

まとめ｜天秤図は「差と量が反対の比」になる

中学受験算数の天秤図は、

2つの異なる値を混ぜて平均を作る問題

で便利な方法です。

例えば、

10％と20％を混ぜて14％

なら、

10 —— 14 —— 20

と並べます。

差は、

4と6

なので、

混ぜる量の比は反対にして、

6：4＝3：2

です。

つまり、

差の比と量の比は反対になる

のが天秤図の基本です。

ただし、公式として丸暗記するだけでは応用できません。

家庭では、

「平均はどちらに近い？」
「平均との差はいくつ？」
「近い側は多い？少ない？」

と順番に聞いてみてください。

また、

食塩水
平均点
人数
重さ

など、問題の題材が変わっても考え方は同じです。

一方で、単純に食塩の重さを求める問題などでは、天秤図を使わないほうが速い場合もあります。

中学受験で大切なのは、

「天秤図を使えること」

だけではなく、

天秤図を使うと簡単になる問題を見抜けること

です。

まずは平均の3つの値を並べ、

差を求める
↓
差を反対側へ対応させる
↓
量の比を出す

という3段階を確実に身につけましょう。

この考え方が定着すると、食塩水だけでなく、平均や混合に関する中学受験算数の問題を短い式で整理できるようになります。