中学受験算数「比の利用」を克服する勉強法

中学受験算数の比の利用を克服できない原因

この記事では、中学受験算数の比の利用でつまずく原因を整理し、家庭で実践できる克服方法を学習の順番に沿って解説します。

比の利用は、中学受験算数で避けて通れない重要分野です。比だけの問題として出題されるだけでなく、割合、速さ、食塩水、相似、面積比、図形の移動など、多くの単元に使われます。

そのため、比が苦手なままだと、ほかの単元まで難しく感じることがあります。

ただし、比ができない原因は、難しい公式を知らないことではありません。多くの場合、「何と何を比べるのか」「与えられた数量が比のどこに当たるのか」という基本の整理が不十分なのです。

比の利用は、正しい場所まで戻り、考える順番をそろえれば克服できます。

比の問題を何度も解いているのに得点が安定しない場合、問題数ではなく学び方に原因があるかもしれません。

まずは、子どもがどこで止まっているのかを確認しましょう。

比を数字の操作として覚えている

比を苦手にする子の中には、比を「両方の数字を同じ数で割る計算」として覚えている子がいます。

例えば、12：18を2：3に簡単にすることはできても、2：3が何を表しているのか説明できません。

比は、2つの数量の関係を表すものです。

赤い玉が12個、白い玉が18個なら、

赤：白＝12：18＝2：3

です。

これは、「赤を2つ分と見たとき、白は3つ分」という意味です。実際の個数が12個と18個から2個と3個に減ったわけではありません。

比を簡単にする計算だけでなく、「関係は変わっていない」と理解することが克服の第一歩です。

比の数と実際の数量を混同している

AとBの人数の比が2：3で、合計が30人だとします。

このとき、

2＋3＝5

ですが、5は5人という意味ではありません。全体を同じ大きさの5つ分に分けたことを表しています。

比の1つ分は、

30÷5＝6人

です。

したがって、

A＝6×2＝12人
B＝6×3＝18人

となります。

比の数字と実際の人数を混同する子は、2＋3＝5人と考えたり、30×2をしたりします。

家庭では、比の数字を「同じ大きさの箱の数」と考えさせると理解しやすくなります。

A　□ □
B　□ □ □

箱5個分が30人なので、箱1個分は6人です。このように見える形にすると、比と実際の数量を区別できます。

問題文から比を作れない

入試問題では、比が最初から「3：5」と示されるとは限りません。

例えば、

「AはBの1.5倍」
「男子は女子の80％」
「赤い玉は全体の5分の2」

といった表現から、自分で比を作る必要があります。

AがBの1.5倍なら、

A：B＝1.5：1＝3：2

です。

男子が女子の80％なら、

男子：女子＝80：100＝4：5

となります。

基本問題は解けるのに応用問題で止まる子は、比の計算ではなく、文章を比に置き換える部分につまずいている可能性があります。

問題文を読んだら、すぐに式を作るのではなく、「誰と誰を比べているか」を書き出す習慣をつけましょう。

解説を読んで分かったつもりになっている

比の問題は、解説を見ると理解しやすく感じます。

「合計だから足す」
「差だから引く」
「共通する項をそろえる」

と書かれているため、読んだ直後は自分でも解けそうに思えるからです。

しかし、翌日に同じ問題を解けなければ、考え方はまだ定着していません。

解説を読んだあとは、答えを閉じて、次の3点を説明させてください。

・何と何の比を作ったか
・与えられた数は比のどこに当たるか
・なぜその計算を最初に行ったか

説明できない場合は、解き方を覚えただけで、自分の力として使える状態にはなっていません。

比の利用を克服するために戻るべき基本

比が苦手だからといって、最初からすべてをやり直す必要はありません。

止まっている場所に応じて、必要な基本だけに戻ることが効率的です。

何と何を比べるかを言葉にする

男子が12人、女子が18人いるとき、

男子：女子＝12：18＝2：3

です。

一方、「女子と男子の比」を求めるなら、

女子：男子＝18：12＝3：2

になります。

比では、比べる順番が変わると答えも変わります。

順番を逆にするミスが多い子には、数字を書く前に、

「男子対女子だから、男子を先に書く」

と声に出させましょう。

比の式を書く前に、日本語で関係を確認するだけでも、単純な取り違えを減らせます。

比の1に当たる量を求める

比の利用で最も重要なのが、「比の1に当たる量」です。

赤い玉と白い玉の比が3：5で、白い玉が20個なら、20個は比の5に当たります。

比の1つ分は、

20÷5＝4個

です。

赤い玉は、

4×3＝12個

となります。

この考え方が身についていれば、合計、差、比例配分など、多くの問題に対応できます。

子どもが止まったときは、答えを教える前に、

「分かっている20個は、比のいくつ分？」
「比の1つ分はいくつ？」

と聞いてください。

比の1を意識する習慣が、比の苦手克服の中心になります。

合計・差・何倍かを見分ける

A：B＝5：3のとき、与えられた数量によって使う比が変わります。

AとBの合計が40なら、

5＋3＝8

を使います。

比の1つ分は、

40÷8＝5

です。

一方、AとBの差が10なら、

5－3＝2

を使います。

比の1つ分は、

10÷2＝5

となります。

また、「AはBの約1.67倍」と分かっている場合は、AとBの何倍の関係を比に直す必要があります。

式を作る前に、

「与えられているのは合計、差、何倍のどれか」

を確認させましょう。計算方法より先に、数の意味を判断することが重要です。

割合や分数を整数比に直す

比の応用問題では、小数、分数、百分率が混ざります。

「AはBの4分の3」なら、

A：B＝3：4

です。

「男子は全体の40％」なら、

男子：全体＝40：100＝2：5

となります。

全体の残り60％が女子なので、

男子：女子＝40：60＝2：3

です。

割合が出ると急に分からなくなる子には、すべて整数比に直してから考えさせます。

小数や百分率のまま計算を始めるより、関係が見えやすくなり、計算ミスも減らせます。

比の利用を克服する4段階の練習法

比を克服するには、簡単な問題から難しい問題へ進むだけでは不十分です。

理解の段階に合わせて、身につける力を分けて練習しましょう。

第1段階は具体的な数量から比を作る

最初は、目に見える数量から比を作ります。

例えば、

・赤い鉛筆が4本、青い鉛筆が6本
・男子が8人、女子が12人
・りんごが6個、みかんが9個

といった問題です。

赤い鉛筆と青い鉛筆の比なら、

4：6＝2：3

となります。

続けて、

「青い鉛筆と赤い鉛筆の比は？」
「全部では何個分？」
「青は赤の何倍？」

と聞きます。

比だけでなく、合計や何倍かも確認すると、数量関係を立体的に捉えられるようになります。

第2段階は比例配分を反復する

次に、全体を比に応じて分ける比例配分を練習します。

例えば、720円を3：5に分ける場合、比の合計は、

3＋5＝8

です。

比の1つ分は、

720÷8＝90円

となります。

したがって、

90×3＝270円
90×5＝450円

です。

比例配分では、毎回、

「全体の720円が比の8に当たる」

と書かせるのがおすすめです。

式だけを書かせるより、実際の数量と比の対応が明確になります。

第3段階は合計と差の問題を解き分ける

比例配分が安定したら、合計と差の問題を混ぜます。

例えば、兄と弟の所持金の比が4：3で、合計が2100円なら、

4＋3＝7

を使います。

比の1つ分は、

2100÷7＝300円

です。

一方、兄が弟より300円多いなら、

4－3＝1

を使います。

この段階では、同じ比を使い、合計の問題と差の問題を交互に出すと効果的です。

数字が似ていても、与えられた条件によって使う式が変わることを体験できます。

第4段階は複数単元との組み合わせに進む

基本が定着したら、速さ、割合、食塩水、相似などとの組み合わせに進みます。

例えば、同じ道のりを進む2人の速さの比が3：2なら、かかる時間の比は逆の、

2：3

になります。

相似な図形で辺の比が2：3なら、面積比は、

2×2：3×3＝4：9

です。

この段階で大切なのは、問題数を増やすことではありません。

「なぜ比を使うのか」
「同じなのは道のりか時間か」
「求めるのは長さか面積か」

を確認しながら解くことです。

比の基本と別単元の知識をつなげることで、入試問題に対応できる力へ変わります。

家庭学習で比の苦手を定着まで導く方法

比の利用を克服するには、一度理解するだけでなく、時間がたっても自力で使える状態にする必要があります。

家庭では、量より復習の質を意識しましょう。

1日15分で少量を繰り返す

比の学習を毎日長時間行う必要はありません。

1日15分を目安に、次のように進めます。

・比を作る問題を2問
・比の1を求める問題を2問
・合計または差の問題を2問
・前日に間違えた問題を1問

合計6～7問程度です。

一度に20問解いて疲れるより、少ない問題を週4～5回続けたほうが、考え方を思い出す回数が増えます。

速さを求めすぎず、最初は途中式を丁寧に書くことを優先してください。

間違いを原因別に記録する

間違えた問題には、次のいずれかの印を付けます。

・計算ミス
・条件の読み違い
・比の作り方が分からない
・比の1を求められない
・使う解法を判断できない

例えば、合計なのに比の差を使ったなら、計算ミスではなく条件の読み違いです。

連比の作り方が分からなかったなら、応用問題を繰り返す前に連比の基本へ戻ります。

原因を記録すると、子どもが「比は全部苦手」と感じにくくなります。できていない部分を限定できるため、必要な練習も明確になります。

時間を空けて3回解き直す

間違えた問題は、その日のうちに直すだけでは不十分です。

おすすめは、

・当日
・3日後
・1週間後

の3回です。

当日に解けるのは、解説を覚えているからかもしれません。3日後、1週間後にも自力で最初の一手を選べて初めて、定着したと判断できます。

すべての問題を3回解く必要はありません。自力で解けなかった問題や、考え方を説明できなかった問題に絞りましょう。

親は答えではなく判断の根拠を聞く

家庭で親が解法をすべて説明すると、その問題は解けても、次の問題で再び止まることがあります。

次のような質問で考えを引き出してください。

「何と何を比べている？」
「この30人は比のどこに当たる？」
「合計と差のどちらを使う？」
「比の1はいくつ？」
「なぜこの比を逆にしたの？」

正解したときにも、「なぜその式にしたの？」と聞くことが大切です。

理由を言葉にできれば、偶然正解したのではなく、考え方を理解していると判断できます。

ただし、5分以上動けない場合は、無理に考え続けさせません。「まず比の合計を出そう」など、最初の一手だけ示し、残りは子どもに任せましょう。

まとめ｜比の利用は考える順番を整えれば克服できる

中学受験算数の比の利用を克服するには、難しい問題を大量に解くことより、基本となる考え方を順番に整えることが重要です。

まず、何と何を比べているのかを言葉にし、比の数と実際の数量を区別します。そのうえで、「与えられた数は比のいくつ分か」「比の1はいくつか」を確認しましょう。

合計が与えられたら比を足し、差が与えられたら比を引きます。割合、分数、小数が出てきた場合は、整数比へ直してから考えると整理しやすくなります。

練習は、具体的な数量から比を作る、比例配分を解く、合計と差を解き分ける、ほかの単元と組み合わせるという4段階で進めてください。

家庭では、1日15分ほどの短い学習を継続し、間違いの原因を分けて記録します。当日だけでなく、3日後と1週間後にも解き直すことで、考え方が定着したかを確認できます。

比は、割合、速さ、食塩水、相似など、多くの単元につながる大切な土台です。焦って難問へ進まず、「何を比べ、どの量が比のどこに当たるのか」を丁寧に確認することが、苦手克服への最も確実な道です。