受験算数の和差算｜基本の解き方と教え方

受験算数の和差算で最初に覚えたい基本

この記事では、そんな悩みに対して、受験算数の和差算で最初に理解したい基本、線分図を使った解き方、家庭での教え方を順を追って解説します。

和差算は、2つの数を足した「和」と、2つの数の違いである「差」から、それぞれの数を求める問題です。

計算だけを見ると難しくありません。しかし、「なぜ差を足すのか」「なぜ最後に2で割るのか」が分からないまま公式を覚えると、問題文の表現が変わっただけで解けなくなることがあります。

和差算の基本は、2つの数を同じ大きさにそろえることです。この考え方を線分図や具体物で理解すれば、人数、金額、年齢、長さなどに題材が変わっても対応しやすくなります。

和差算は和と差から2つの数を求める

和差算では、2つの数について次の条件が分かっています。

・2つを足すといくつになるか
・2つの違いはいくつあるか

例えば、次の問題です。

「赤い玉と白い玉が合わせて32個あります。赤い玉は白い玉より6個多くあります。それぞれ何個ありますか」

この問題では、赤い玉と白い玉の合計が32個です。これが和です。

赤い玉は白い玉より6個多いため、2つの個数の差は6個です。

和が32、差が6と分かれば、それぞれの個数を求められます。

問題文から和と差を見つける

和差算を解く第一歩は、問題文の中から和と差を見つけることです。

和を表す主な言葉には、次のようなものがあります。

「合わせて」
「全部で」
「合計すると」
「2人で」

差を表す主な言葉は次の通りです。

「多い」
「少ない」
「違いは」
「上回っている」

先ほどの例では、「合わせて32個」が和、「6個多い」が差です。

家庭学習では、問題文の数字の横に次のように書かせると整理しやすくなります。

32個……和
6個……差

計算へ急ぐ前に、数字の役割を確認することが大切です。

大きい数と小さい数を判断する

次に、どちらが大きい数で、どちらが小さい数かを確認します。

「赤い玉は白い玉より6個多い」とあるため、赤い玉が大きい数、白い玉が小さい数です。

和差算では、次の4項目を計算前に整理すると間違いが減ります。

和……32個
差……6個
大きい数……赤い玉
小さい数……白い玉

「白い玉は赤い玉より6個少ない」と書かれていても、赤い玉が大きい数であることは変わりません。

文章の最初に出てきたものが大きいとは限らないため、「どちらが多いか」を言葉で確認しましょう。

和差算の基本公式を確認する

和差算の基本公式は次の通りです。

大きい数＝（和＋差）÷2
小さい数＝（和－差）÷2

先ほどの問題では、赤い玉が大きい数です。

（32＋6）÷2
＝38÷2
＝19個

白い玉は小さい数なので、次のように求められます。

（32－6）÷2
＝26÷2
＝13個

答えは、赤い玉19個、白い玉13個です。

ただし、公式をそのまま暗記するだけでは十分ではありません。なぜ足したり引いたりするのかを理解する必要があります。

和差算の基本的な解き方を例題で解説

線分図で2つの数の関係を表す

次の例題を使って、和差算の基本を確認します。

「兄と弟の持っているお金は合わせて3000円です。兄は弟より600円多く持っています。それぞれいくらですか」

兄が大きい数、弟が小さい数です。

線分図では、兄を長い線、弟を短い線で表します。

兄　｜――――――――――｜
弟　｜――――――｜
差　　　　　｜――｜600円

2本の線を合わせた金額が3000円です。

線分図は、長さを正確に書く必要はありません。兄の線を少し長くし、余った部分へ600円と書けば十分です。

小さい数は和から差を引いて求める

弟の金額を求めるには、兄が多く持っている600円を全体から取り除きます。

3000－600＝2400円

600円を取り除くと、兄と弟の金額が同じになります。

つまり、2400円は弟と同じ金額が2人分ある状態です。

2400÷2＝1200円

弟は1200円です。

式をまとめると、次の通りです。

（3000－600）÷2＝1200円

和から差を引くことで、小さい数と同じ大きさを2つ作っています。

大きい数は和に差を足して求める

兄の金額を直接求める場合は、和に差を足します。

3000＋600＝3600円

なぜ600円を足すのでしょうか。

弟の金額へ600円を加えると、兄と同じ金額になります。そのため、3600円は兄と同じ金額が2人分ある状態です。

3600÷2＝1800円

兄は1800円です。

式をまとめると、次のようになります。

（3000＋600）÷2＝1800円

大きい数を求めるときは、大きい数と同じものを2つ作るために差を足します。

和と差の両方で検算する

答えが出たら、問題文の2つの条件へ戻して確かめます。

兄1800円、弟1200円の場合、和は次の通りです。

1800＋1200＝3000円

差は次の通りです。

1800－1200＝600円

和と差の両方が問題文と一致しているため、答えは正しいと確認できます。

和差算では、計算が合っていても、兄と弟の答えを逆に書くことがあります。

最後に和と差の両方を確認する習慣をつければ、答えの取り違えにも気づきやすくなります。

和差算の基本でつまずきやすいポイント

なぜ最後に2で割るのか分からない

和差算でよくある疑問が、「なぜ最後に2で割るのか」です。

小さい数を求めるときは、和から差を引きます。すると、小さい数と同じ大きさが2つできます。

大きい数を求めるときは、和に差を足します。すると、大きい数と同じ大きさが2つできます。

同じ数が2つ集まっているため、1つ分を求めるには2で割ります。

子どもには、「今できた数は何人分？」と聞いてみましょう。

「弟2人分」「兄2人分」と答えられれば、2で割る意味を理解できています。

「多い」と「少ない」を逆に読む

「AはBより5多い」と「BはAより5少ない」は、同じ関係を表します。

しかし、文章の主語が変わると、どちらが大きいか分からなくなる子どもがいます。

この場合は、簡単な数字で置き換えましょう。

10は7より3多い
7は10より3少ない

どちらの文でも、大きい数は10、小さい数は7です。

問題文を読んだら、大きい方に丸、小さい方に三角をつけるなど、印を決めておくと整理しやすくなります。

渡す問題で差を間違える

和差算では、差が直接書かれていない問題もあります。

例えば、次の問題です。

「兄と弟は合わせて40枚のカードを持っています。兄が弟に3枚渡すと同じ枚数になります」

兄が3枚渡すと、兄は3枚減ります。

一方、弟は3枚増えます。

そのため、2人の差は次のように縮まります。

3＋3＝6枚

最初の差は3枚ではなく6枚です。

和が40枚、差が6枚なので、兄は次の枚数です。

（40＋6）÷2＝23枚

弟は17枚です。

「渡した数の2倍が最初の差になる」と暗記するだけでなく、片方が減り、もう片方が増えることを線分図で確認しましょう。

公式だけを暗記してしまう

和差算の公式は便利ですが、形だけを暗記すると、足すのか引くのか迷いやすくなります。

公式を忘れたときは、次の考え方へ戻ります。

大きい数を2つ作るなら差を足す
小さい数を2つ作るなら差を引く
同じ数が2つできたら2で割る

この3つを理解していれば、公式を思い出せなくても線分図から式を作れます。

家庭では、「公式は何だった？」と聞くより、「どちらの数を2つ作るの？」と質問する方が理解につながります。

家庭で和差算の基本を定着させる方法

具体物を使って同じ数を2つ作る

線分図でも分かりにくい場合は、おはじきやコインを使いましょう。

合計14個、差4個の2つのグループを作ります。

大きいグループに9個、小さいグループに5個置きます。

大きい方から差の4個を取り除くと、5個ずつの同じグループが2つできます。

14－4＝10個
10÷2＝5個

反対に、小さい方へ4個加えると、9個ずつが2つできます。

14＋4＝18個
18÷2＝9個

具体物を動かすと、差を足し引きする理由と2で割る意味を目で確認できます。

式を書く前に4項目を整理する

問題を読んだら、すぐに公式へ数字を入れず、次の4項目を書き出します。

和
差
大きい数
小さい数

例えば、「姉と妹の本は合わせて26冊で、姉は妹より4冊多い」という問題なら、次の通りです。

和……26冊
差……4冊
大きい数……姉
小さい数……妹

この4項目を整理してから線分図と式へ進むと、数字の取り違えが減ります。

文章が長い応用問題でも、最後はこの形へ整理することが基本です。

1日10分で基本問題を繰り返す

家庭学習では、1日10分程度で2問から3問に取り組めば十分です。

1問目は、和と差が直接書かれた問題です。

2問目は、「多い」「少ない」と表現を変えた問題です。

3問目は、線分図と式の意味を説明する問題にします。

一度に多く解くより、数日空けて同じ考え方を思い出す方が定着しやすくなります。

間違えた問題は、その日のうちに何度も解かせるだけでなく、翌日と3日後にも解き直しましょう。

応用問題へ進む目安を確認する

次の4つができれば、応用問題へ進む目安です。

・問題文から和と差を見つけられる
・大きい数と小さい数を判断できる
・差を足し引きする理由を説明できる
・和と差の両方で検算できる

基本問題に正解しただけでは、公式の形を覚えている可能性があります。

数日後に題材や言葉を変えた問題を出し、自分で線分図と式を作れるか確認してください。

基本が定着したら、渡す問題、年齢問題、3つの数量を扱う問題などへ段階的に進みましょう。

まとめ｜和差算の基本は同じ大きさを2つ作ること

受験算数の和差算は、2つの数の和と差から、それぞれの数を求める問題です。

基本公式は次の通りです。

大きい数＝（和＋差）÷2
小さい数＝（和－差）÷2

ただし、公式を丸暗記するのではなく、同じ大きさを2つ作る考え方を理解することが大切です。

大きい数を求めるときは、和に差を足して大きい数を2つ作ります。

小さい数を求めるときは、和から差を引いて小さい数を2つ作ります。

同じ数が2つできるため、最後に2で割ります。

家庭では、問題文から和、差、大きい数、小さい数を整理し、線分図や具体物で関係を見せてください。

「なぜ差を足したのか」「なぜ2で割ったのか」を子どもが自分の言葉で説明できれば、和差算の基本は身についています。

和差算は、年齢算、分配算、差集め算などにもつながる大切な土台です。焦って難問へ進まず、まずは2つの数を同じ大きさにそろえる考え方を確実に理解させましょう。