開成中学2019年算数を解説｜大問別の考え方

開成中学2019年入試問題・算数の特徴

この記事では、開成中学2019年入試問題の算数について、大問ごとの考え方、つまずきやすい部分、家庭での復習方法を順を追って解説します。

開成の算数と聞くと、特別なひらめきがなければ解けない難問ばかりだと感じるかもしれません。しかし、2019年は、速さや立体切断といった典型分野を正確に処理する問題と、初めて見るルールを読み取る問題が組み合わされた年度です。

大切なのは、難問の答えを覚えることではありません。問題を見たときに最初に何を書くか、分からない設定をどのように試すかを身につけることです。

85点満点・60分で4つの大問に挑む

開成中学2019年の算数は、試験時間60分、85点満点で実施されました。

問題は大問4題で、大問1が速さ、大問2が立体切断、大問3が移動経路の場合の数、大問4がカードゲームを題材にした規則性です。実際の問題冊子でも、スイカを運ぶ兄弟の移動、直方体の切断面、立体や平面上の経路、10枚のカードを使うゲームが順に出題されています。

4題と聞くと少なく感じますが、一つひとつの問題文が長く、設問も段階的に続きます。

60分で解くには、すべての問題を同じ速さで進めるのではなく、前半の典型問題を短時間で処理し、後半へ時間を残す必要があります。

合格者平均64.6点の高得点勝負

2019年算数の合格者平均は64.6点、受験者全体の平均は51.0点でした。85点満点に対する得点率は、合格者平均が約76％、全体平均が60％です。

合格者と受験者の平均点差は13.6点あります。単純に考えると、数問の取りこぼしが合否へ大きく影響する試験だったと分かります。

2019年は、合格者でも半分しか取れないような超難問中心の年度ではありません。大問1や大問2を正確に取り、後半の問題でも前半設問を積み上げることが求められました。

家庭で採点するときは、難しい大問4が解けなかったことよりも、速さや立体図形で取れるはずの点を落としていないかを先に確認しましょう。

前半の典型題と後半の初見問題が対照的

大問1の速さと大問2の立体切断は、難関校対策で学習する代表的な分野です。

一方、大問3と大問4では、見慣れない設定を読み取り、自分で規則を整理する力が求められます。2019年の全問解説でも、4題はそれぞれ速さ、立体図形、場合の数、規則性として整理されています。

この構成から分かるのは、開成対策では「難しい問題だけを解く」のでは足りないということです。

典型問題を素早く処理する力と、初見問題で手を動かして考える力の両方が必要です。

開成中学2019年算数を大問別に解説

大問1は同じ距離に注目する速さの問題

大問1では、K君と弟のS君がスイカを運びます。

K君の速さは、スイカを2つ持つと毎分60m、1つ持つと毎分80m、何も持たないと毎分100mです。2人で1個ずつ運び、先に着いたK君が引き返してS君と出会うという設定です。

条件が多いため、文章に出てきた数字を順番に計算すると混乱します。

最初に注目したいのは、K君が引き返した区間と、S君に会った後に再び進んだ区間が同じ距離であることです。

同じ距離を毎分100mと毎分80mで進むため、かかる時間の比は速さの逆比になり、

100：80＝5：4
時間の比＝4：5

と整理できます。

家庭で説明するときは、横線を一本引き、自宅、おばさんの家、出会った場所を書き込みます。その上にK君、下にS君の動きを描きましょう。

速さの問題で子どもが止まったら、すぐに「速さ×時間＝距離」と言うのではなく、「同じ距離を進んでいる部分はどこ？」と尋ねるのが効果的です。

大問2は切断面を投影して考える立体図形

大問2は、直方体の3つの辺上にある点P、Q、Rを通る平面で切断する問題です。

切り口を前から見ると面積228平方センチメートル、上から見ると面積266平方センチメートルになるという条件から、切り口の形、直方体の高さ、奥行きを求めます。

最初のポイントは、切り口を正しく描くことです。

立体切断では、同じ面上にある2点を結びます。その後、向かい合う平行な面には平行な切断線ができることを使い、線をつないでいきます。

この問題の切り口は六角形になります。

次に重要なのが、「前から見た図」と「上から見た図」を分けることです。立体の切り口そのものの面積ではなく、それぞれの方向から見えた図形の面積が与えられています。

前から見た図では、外側の長方形から不要な三角形を引きます。上から見た図でも同じように、長方形や台形、三角形へ分けて面積を整理します。

立体図形が苦手な子ほど、頭の中で立体を回そうとします。しかし、家庭学習では正面図、上面図、側面図を別々に描けば十分です。

「どの辺が正面から見ても同じ長さか」を一つずつ確認させましょう。

大問3は経路を動作の並べ方へ変換する

大問3では、立体または平面上の道を進み、点Aから点Bまで移動する経路が何通りあるかを考えます。

問題文では、複数の立方体を組み合わせた立体や、それを平面上に表した道が示されています。

図を見ながら経路を一本ずつ数えると、漏れや重複が起きます。

そこで、移動を「右」「上」「奥」といった動作へ置き換えます。

たとえば、右へ4回、上へ1回、奥へ1回進む場合は、合計6回の動作の並べ方として考えられます。ただし、どこでも奥へ移動できるわけではないため、道の条件を加えて数えます。

場合の数が苦手な子には、最初から組み合わせの計算を教えないほうがよいでしょう。

まずは、「右・右・上」のような3回の移動を実際に書き出します。

右・右・上
右・上・右
上・右・右

このように小さな例を確認してから、「同じ動作を並べ替える問題」と説明すると理解しやすくなります。

大きな問題を小さくして試すことは、遠回りではありません。初見問題の規則を見つけるための基本的な方法です。

大問4はカードを実際に動かして規則を探す

大問4は、AからEまでの5人にカードを2枚ずつ配り、決められた操作を繰り返すゲームです。

カードには1から9とTが書かれており、カードの大小や偶数・奇数の組み合わせによって、カードが移動したり、ゲームから外れる人が決まったりします。問題文には具体的なゲームの進行例も示されています。

文章だけですべてのルールを理解しようとすると、途中で分からなくなります。

まずは設問に示されたカードを、ルール通りに1回だけ動かしてください。

ノートには次の4項目を書きます。

• 誰がどのカードを持っているか
• どのカードが移動するか
• どのカードが除かれるか
• 誰がゲームに残るか

1回目の結果が分かったら、2回目へ進みます。

後半では、ゲームの結果から最初のカード配置を逆算します。このときも、10枚のカードの組み合わせを最初からすべて調べる必要はありません。

1回目で全員が残るための条件などを使えば、可能性を絞れます。

家庭での声かけは、「規則が分かった？」ではなく、「まずAさんのカードだけ動かしてみよう」が適切です。手を動かすことで、長い文章が具体的な操作へ変わります。

2019年算数で得点差を生んだ3つの力

問題に合う図を短時間で描く力

大問1では移動図、大問2では正面図と上面図、大問3では経路を表す図が必要です。

図は、きれいに描くことが目的ではありません。頭の中の情報を紙へ移し、考える量を減らすために使います。

過去問演習では、答えを出す練習だけでなく、問題を読んで2分以内に必要な図を描く練習も取り入れてください。

典型問題の図を短時間で作れれば、後半の初見問題へ考える時間を残せます。

小さな例から規則を見つける力

大問3と大問4は、公式を思い出すだけでは解けません。

経路なら短い道、カードなら最初の1回だけを実際に試します。その中から変わらない規則を見つけ、大きな場合へ広げます。

算数が苦手な子は、「正しい解法が思いつくまで何もしない」状態になりがちです。

しかし、難関校の初見問題では、試しながら考える姿勢が必要です。「小さい数ならどうなる？」という問いかけを普段から使いましょう。

難問に時間を使いすぎない判断力

2019年は合格者平均が高く、前半の取りこぼしが響きやすい年度でした。

大問4の後半に長時間を使い、大問1や大問2の見直しができない状態は避けなければなりません。

過去問では、問題ごとに使った時間を記録してください。

3分から5分考えても図や式が一つも書けない場合は、いったん次へ進みます。一方、方針が見えていて計算だけが残っている問題は、最後まで解き切ります。

「難しいから飛ばす」のではなく、「今の自分に得点へつながる作業ができるか」で判断します。

家庭でできる開成算数の解き直し

不正解を4つの原因に分類する

丸付け後は、不正解を次の4種類に分けます。

「知識不足」は解法を知らなかった問題、「整理不足」は図や表を作れなかった問題、「計算ミス」は方針が正しかった問題、「時間不足」は解ける力があるのに到達できなかった問題です。

同じ0点でも、必要な対策は異なります。

計算ミスなら途中式の書き方を直し、整理不足なら図だけを描き直します。時間不足なら、解く順番や見切る時間を見直しましょう。

解説を読む前に条件整理をやり直す

間違えた直後に解説を読むと、完成された式だけを覚えてしまいます。

先に、問題文から条件を抜き出す作業をやり直してください。

大問1なら同じ距離、大問2なら正面と上から見える辺、大問3なら移動回数、大問4なら1回目のカード操作です。

答えまで出せなくても、条件を正しく整理できた部分は評価しましょう。算数が苦手な子にとって、「途中までできた」と実感することは再挑戦につながります。

翌日に最初の一手を再現する

解説を読んだ当日は、理解したように感じます。

本当に定着しているかは、翌日に答えを隠して確かめます。

大問1なら移動図、大問2なら切断面、大問3なら動作の記号化、大問4なら最初のカード移動を再現させます。

最初の一手を自力で選べれば、解法を丸暗記したのではなく、問題の特徴を理解し始めています。

学年別に過去問の目標を変える

小学4年生は、完答を目指す必要はありません。大問1の移動を線で描く、大問3の短い経路を書き出すところまでで十分です。

小学5年生は、大問1と大問2を時間無制限で解きます。正解よりも、速さの図や投影図を自力で作れることを目標にしましょう。

小学6年生は、60分で全体に挑戦します。採点後は、「解けなかった問題」と「時間があれば解けた問題」を分けてください。

開成志望でない子にとっても、2019年算数は、典型問題の処理力と初見問題への対応力を同時に鍛えられる教材です。

まとめ｜開成中学2019年算数は基本の完成度が重要

開成中学2019年入試問題の算数は、速さ、立体切断、経路の場合の数、カードゲームという4題で構成されていました。

特徴は、前半に典型分野、後半に初めて見る設定が置かれていることです。

合格へ近づくには、難問だけを解けるようにするのではなく、速さや立体図形を短時間で正確に処理する必要があります。そのうえで、経路やカード問題では、小さな例を実際に試し、規則を探します。

家庭で復習するときは、答えを暗記させないでください。

同じ距離を見つけたか、立体を正面と上から見られたか、移動を記号へ置き換えたか、カードを一手ずつ動かしたかを確認します。

開成の過去問は、単なる合否判定の道具ではありません。「最初に何をするか」を身につける教材です。

2019年算数を通じて、典型問題を落とさない正確さと、知らない問題でも手を動かす粘り強さを育てていきましょう。