開成中学2022年算数を分析｜4題の攻略と復習法

開成中学の入試問題・算数2022年の特徴

この記事では、開成中学2022年算数の出題内容と難しさを整理し、つまずく原因から家庭で実践できる復習方法まで順を追って解説します。

「開成中学 入試問題 算数 2022」と検索する保護者が知りたいのは、問題と答えだけではないでしょう。

どの大問を取るべきだったのか、子どもが解けない原因は何か、過去問を家庭学習にどう役立てればよいのかまで分からなければ、解説を読んでも十分な復習にはなりません。

2022年の開成算数は、極端な難問ばかりではないものの、計算、図形、場合の数、速さを正確に整理する総合力が問われた入試でした。

合格者平均は85点満点中60.7点

2022年度の算数は85点満点で、全体平均は50.7点、合格者平均は60.7点でした。合格者平均の得点率は約71％です。前年2021年度の合格者平均55.8点より上がり、近年の開成算数では標準的な難度に落ち着いた年度といえます。

合格者平均でも約24点を失っています。

そのため、すべての最終設問を完答する必要はありませんでした。大問1の基本問題、大問2の比を使う問題、大問3の前半などを確実に取り、後半から得点を上積みする戦い方が現実的です。

過去問で60点に届かなかった場合も、合計点だけで判断しないでください。取りやすい設問を落としたのか、難問に時間を使いすぎたのかによって、必要な対策は異なります。

大問4題で幅広い力が試された

2022年は、大問1が小問集合、大問2が立体図形、大問3が場合の数、大問4が速さと時計算という4題構成でした。

大問1では、計算の工夫、数の性質、場合の数、平面図形が出題されています。大問2は円すいを組み合わせた立体の体積と表面積、大問3は図形の塗り分け、大問4は正しい時計と5分遅れの時計の針を扱う問題です。

単元は異なりますが、各問題には共通点があります。

それは、数字をそのまま計算するのではなく、比、表、全体から引く考え方などを使って処理を簡単にする必要があることです。

工夫すれば計算量を減らせる問題が多い

2022年の入試問題では、複雑に見える計算を工夫によって減らせる設問が目立ちました。

大問1の計算では2.02と5.05がともに1.01の倍数であることを利用できます。平面図形では円周率をすぐに計算せず、式のまま残すことで比を簡単に求められます。大問2でも、円すいの体積や表面積を一つずつ求めるより、相似比から一覧表を作る方が効率的です。

開成が見ているのは、計算を根性で続ける力だけではありません。

「共通する数でまとめられないか」「実際の値ではなく比だけでよくないか」と考え、作業量を自分で減らせるかが重要です。

開成中学2022年算数を大問別に解説

ここからは、2022年の各大問について、最初に何を考えればよかったのかを整理します。

特殊な解法を暗記するのではなく、別の問題にも使える考え方に注目してください。

大問1は計算・数の性質・図形の小問集合

大問1は4つの小問で構成されています。

（1）は計算の工夫です。小数を分数へ直して複雑な計算を続けるより、2.02と5.05に共通する1.01を先に取り除くと式が簡単になります。

（2）は、1から7までの数字を1回ずつ使った整数について、9で割った余りを考える問題です。どの並べ方でも各桁の和は28なので、9で割った余りは常に1になります。この性質を利用すれば、長い整数を一つずつ作る必要はありません。

（3）は4人がさいころを振った結果の積が4の倍数になる場合の数です。

条件を満たすものを直接数えると、場合分けが増えます。そこで全1296通りから、積に2が一つも含まれない場合と、一つしか含まれない場合を引きます。答えは999通りです。

（4）は、ロープで作られた扇形の面積比と中心角を求める問題です。円周率を早く小数にすると計算が重くなるため、「10×3.14」のように式のまま扱うことがポイントでした。

家庭で復習するときは、答えだけでなく「どの数をまとめたか」「なぜ全体から引いたか」を説明させましょう。

大問2は円すいを組み合わせた立体図形

大問2では、相似な円すいや円すい台を組み合わせた立体について、体積比と表面積比を求めます。

円すいの相似比が1対2であれば、底面積比は1対4、体積比は1対8です。この基本を使い、各部分の体積、底面積、側面積を一覧表にすると整理しやすくなります。

重要なのは、必要な比だけを求めることです。

実際の体積をすべて計算してから比を作ると、円周率を含む計算が何度も発生します。しかし、共通する円周率や高さの基準は、比を取ると消えます。

表面積では、外側に見えている面だけを数えなければなりません。

特に一方の立体は、上から見ると中央に穴があるドーナツ状になります。接して隠れた面を足したり、見えている輪の部分を忘れたりすると誤答につながります。

立体図形が苦手な子には、「全部で何面ある？」ではなく、「上から見える面」「横から見える面」「接して消える面」に分けて確認させましょう。

大問3は塗り分けと規則性の問題

大問3は、長方形のマスを決められた条件で塗り分け、その種類数を数える問題です。

前半は、何か所に分けられるか、どのような塗り方があるかを具体的に調べます。後半では、列の数が増えたときの塗り方を考えます。

難しいのは、列が増えるたびに最初からすべて描くと、作業量が急激に増えることです。

そこで、右端の形をいくつかの型に分類します。新しい列を加えたとき、どの型からどの型へつながるかを表にすると、前の列までの個数から次の個数を求められます。

分析例では、列数が増えると合計が3、7、17、41、99、239、577と変化します。

小学生に難しい名前を教える必要はありません。

「右端がこの形で終わるものは、前のどの形から作れる？」と聞き、つながりを矢印で描かせれば十分です。

場合の数は、すべてを書き出す段階から、前の結果を利用する段階へ進むことで、難関校レベルに対応できるようになります。

大問4は5分遅れの時計を使った時計算

大問4は、正しい時計と、常に正しい時刻より5分遅れている時計を比べる問題です。

ここで最も注意したいのは、「1時間ごとに5分ずつ遅れる時計」ではないことです。

2つの時計は同じ速さで動き続け、表示だけが常に5分ずれています。そのため、2本の長針の角度差は常に30度、2本の短針の角度差は常に2.5度です。

通常の時計算では、長針は1分に6度、短針は1分に0.5度動きます。2本の針が近づく速さは1分に5.5度です。

この基本に、最初から存在する30度や2.5度のずれを加えて考えます。

（1）は一般的な時計算に近い問題ですが、（2）（3）では複数の針の角度を同時に追います。式だけで処理するより、時間を横軸、角度を縦軸とする簡単なグラフを描く方が、角度が増えるのか減るのかを判断しやすくなります。

設定を正しく読めれば進められますが、時計の遅れ方を思い違いすると、最後まで修正しにくい問題です。

開成中学2022年算数でつまずく原因

2022年の算数で点数が伸びなくても、すべてを「難問だから」で片づけてはいけません。

計算の進め方や条件の読み方を変えるだけで、得点できる設問が増える場合があります。

数字をすぐ計算してしまう

大問1や大問2では、円周率や小数をすぐ計算すると数字が大きくなります。

問題を見たら、まず「最後に必要なのは値か比か」を確認しましょう。

比だけを求めるなら、共通する数は途中で消せます。2.02と5.05のように共通因数がある場合も、先にまとめれば計算量を減らせます。

速く計算することより、計算しなくてよい部分を見抜くことが重要です。

場合分けを頭の中だけで進めている

大問1のさいころや大問3の塗り分けでは、条件を頭の中だけで扱うと、重複や数え漏れが起こります。

場合の数では、「何によって分けるのか」を先に決めなければなりません。

さいころなら積に含まれる2の個数、塗り分けなら右端の形というように、分類の基準を一つ決めて表にします。

表を作ることは遠回りではなく、正確に速く数えるための解法です。

問題の設定を思い込みで読んでいる

大問4では、「5分遅れる時計」という言葉から、時間とともに遅れが広がる時計を想像すると解けません。

問題文には「常に5分遅れ」と書かれているため、2つの時計の進む速さは同じです。

見慣れた単元ほど、知っている問題へ当てはめて読んでしまうことがあります。

家庭では「似ている典型問題と、今回違うところは何？」と聞き、条件の違いを本人に言わせましょう。

2022年の入試問題を家庭学習に生かす方法

2022年の開成算数は、難問の解法を覚えるためだけの教材ではありません。

計算を減らす工夫、場合分けの整理、設定を正確に読む姿勢を学べます。

正解より計算を減らした工夫を確認する

正解していても、長い計算を力ずくで進めている場合は改善の余地があります。

解き直しでは、「共通する数はなかった？」「比だけで求められなかった？」と確認してください。

同じ正解でも、計算が10行必要な方法と3行で済む方法では、本番で使う時間とミスの可能性が大きく変わります。

最初から模範解答と同じ発想を求める必要はありません。本人の方法を認めたうえで、より短い方法を一緒に比較しましょう。

場合の数は小さな表から規則を見つける

大問3のような問題では、いきなり7列まで考えず、2列、3列、4列と小さな場合から調べます。

表には、列数、右端の形、塗り方の個数を書きます。

小さな例を並べると、「前の合計が次の特定の型になる」といったつながりが見えてきます。

規則性は突然ひらめくものではありません。比較できる例を自分で作る力が土台です。

解説の翌日に最初の一歩を再現する

解説を読んだ直後は、手順を覚えているため解けたように感じます。

本当に理解できたかどうかは、翌日に問題だけを見て、最初の作業を再現できるかで判断してください。

大問1なら共通因数や全体の1296通り、大問2なら比の一覧表、大問3なら右端の型、大問4なら30度と2.5度の差を書けるかを確認します。

最後まで解けなくても、入口を自力で作れれば学習は前進しています。

学年に合わせて取り組む範囲を変える

小4では、大問1の計算や9の倍数、大問4の基本的な針の動きだけでも十分です。

小5では、大問1の全体から引く場合の数や、大問2の相似比と体積比に取り組めます。

小6では60分の本番形式で解き、取る問題と後回しにする問題を判断させましょう。

過去問は早く全問解かせるほど効果が高いわけではありません。現在の学年と習熟度に合わせ、理解できる範囲を深く復習する方が力になります。

まとめ｜開成中学2022年算数は整理と工夫を学べる

開成中学2022年の入試問題は、小問集合、円すいを使った立体図形、塗り分けの規則性、5分遅れの時計算という大問4題で構成されていました。

全体平均は85点満点中50.7点、合格者平均は60.7点です。極端な難問中心ではありませんが、計算量と作業量が多く、60分の中で処理を工夫する力が求められました。

大問1では共通因数や全体から引く考え方、大問2では相似比を使った一覧表、大問3では前の結果から次を求める整理、大問4では問題設定を正しく読む力が重要です。

家庭学習では、点数だけを見て評価する必要はありません。

余計な計算を減らせたか、場合分けを表にできたか、解説を閉じても最初の一歩を再現できたかを確認しましょう。

2022年の問題から学べるのは、特別な公式ではありません。

複雑に見える問題でも、共通するものをまとめ、条件を分類し、必要な作業だけを選ぶ姿勢です。この力が身につけば、開成だけでなく、計算量の多い難関校の算数にも落ち着いて対応できるようになります。