開成中学2021年算数を解説｜3題の攻略と復習法

開成中学2021年入試問題・算数の特徴

この記事では、開成中学2021年入試問題の算数について、大問ごとの考え方、つまずきやすい理由、家庭でできる復習法を順を追って解説します。

開成の過去問を解かせて点数が伸びないと、「もっと難問演習を増やすべきでは」と焦る保護者は少なくありません。

しかし、2021年の算数は、すべての設問を正面から解き切ろうとすると時間が足りなくなりやすい構成です。基本的な設問を確実に得点する力に加え、難しい設問を一度飛ばす判断、立体を単純な形へ置き換える力、初めて見るルールを具体例から理解する力が必要でした。

過去問の答えを覚えるのではなく、「どこまで取るべきだったか」「最初に何を書けばよかったか」を確認することが重要です。

合格者平均55.8点で得点差は10点

開成中学2021年の算数は、85点満点、試験時間60分で実施されました。

学校公式サイトに掲載された結果では、算数の合格者平均は55.8点、受験者全体の平均は45.8点です。得点率に直すと、合格者平均は約65.6％、全体平均は約53.9％でした。両者の差は10点です。

合格者でも平均点は85点中55.8点です。全問完答が前提ではなく、取れる設問を確実に積み上げる試験だったと分かります。

この年度を家庭で解いたとき、50点に届かなかったとしても、すぐに実力不足と判断する必要はありません。

大問1の基本設問を落としたのか、大問2の立体を捉えられなかったのか、大問3のルールを理解するまでに時間を使ったのかで、必要な対策は変わります。

大問3題に高密度の思考問題が並んだ

2021年算数は、大問1が小問集合、大問2が立体図形、大問3がカードを使った条件整理・場合の数という3題構成でした。

大問が3題しかないため、一見すると問題数は少なく見えます。しかし、大問1には暦、規則性、平面図形、小数の並びなど異なる分野の設問が含まれています。

大問2では、立方体の辺上に置かれた点を頂点とする三角錐の体積を求めます。大問3では、0と1が書かれたカードをルールに従って動かし、最終的な結果を考えます。

一つの大問に複数の考え方が詰め込まれているため、単元名を覚えているだけでは対応できません。問題の条件を読み、使いやすい図や数へ変える必要があります。

設問ごとの難度差を見極める必要があった

2021年は、比較的取り組みやすい設問と、短時間では処理しにくい設問の差が大きい年度でした。

特に大問1の後半では、小数のかなり先の位を求めるために、2の累乗と繰り上がりの仕組みを丁寧に追う必要があります。入試分析でも、途中の位までは規則を利用できる一方、小数第96位まで求める処理には時間がかかり、飛ばす判断も重要だったとされています。

難しい設問に長時間を使い、大問2や大問3の前半へ進めない状態は避けなければなりません。

過去問演習では、「解けたか」だけでなく、「何分考えて飛ばしたか」も記録してください。問題を選ぶ力も、開成算数で得点するための実力です。

開成中学2021年算数を大問別に解説

大問1は基本問題と高難度の規則性

大問1は、小問が複数並ぶ構成です。

前半には、2121年2月1日の曜日を求める暦の問題、数や図形の規則、六角形を利用する平面図形などが出題されました。後半には、割り算によって現れる小数の特定の位を求める問題があります。

暦の問題では、平年が365日であることから、

365÷7＝52余り1

と考えます。平年が1回過ぎると曜日は1日ずれ、うるう年では2日ずれます。2121年までに含まれる平年とうるう年を整理し、ずれた日数を7で割った余りを調べるのが基本です。

後半の小数問題では、ひたすら割り算を続けるのではなく、現れる数が2倍ずつ変化する点に注目します。

ただし、数が大きくなると桁上がりが発生するため、「同じ数字が単純に繰り返される」と考えると間違えます。小数第48位や第56位までは規則を整理し、第96位については残り時間を見て取り組む判断が必要です。

家庭で復習するときは、最終的な数字だけを覚えさせないでください。

「何個の数字を一区切りにしたのか」「2倍した結果のどの桁が次へ繰り上がるのか」を、4桁程度の小さな例で説明させると理解が深まります。

大問2は三角錐の体積を変形して求める

大問2は、1辺6cmの立方体の辺上にある点を結び、できた三角錐の体積を求める問題です。

設問（1）は、底面を直角二等辺三角形として捉えれば、

底面積×高さ÷3

で求められます。実際には、

6×6÷2×6÷3＝36

となり、体積は36立方センチメートルです。

難しくなるのは設問（2）以降です。底面に対する頂点の位置が分かりにくく、そのままでは高さを求められません。

ここでは、三角錐の頂点を底面と平行な方向へ動かしても、底面積と高さが変わらなければ体積も変わらないという考え方を使います。これを利用して、頂点を高さが読み取りやすい位置へ移します。

設問（2）の体積は60立方センチメートル、設問（3）は42立方センチメートルです。

立体図形が苦手な子に対して、いきなり完成した補助線を見せると、解法の丸暗記になりやすくなります。

家庭では、まず次の3点を確認してください。

底面として見る三角形はどれか、残りの頂点はどれか、底面に対する高さはどの方向か、という3点です。

また、立方体全体から複数の立体を引く方法や、斜めに切った三角柱を高さの平均で考える方法もあります。解法を一つに固定せず、子どもが形を捉えやすい方法を選ぶことが大切です。

大問3はカード操作の仕組みを数へ置き換える

大問3は、A君とB君が0と1のカードを持ち、決められたルールに従ってカードを移動させる問題です。

前半では、指定された手札から操作を一つずつ進めれば答えを求められます。しかし、後半ではすべての操作を書き続けると時間がかかります。

重要なのは、カードの並びを単なる模様として見ないことです。

一番右のカードを1、次を2、その次を4、さらに次を8のように考えると、0と1の並びが一つの整数を表していると捉えられます。大問3の仕組みは、A君とB君の手札が表す数を足す操作と対応していると分析されています。

ただし、最初から「これは2進法だ」と教えるだけでは、子どもは自力で気づけるようになりません。

家庭では、まずカードが2枚だけの場合を試してください。

たとえば、右端のカードが1なら1点、左側のカードが1なら2点として、00、01、10、11がそれぞれ0、1、2、3になることを確認します。

次に、A君とB君の数を足した結果と、カード操作後のスコアを比べます。同じ結果になると分かれば、長い操作を毎回再現せずに考えられます。

初見問題で大切なのは、知識を先に当てはめることではありません。小さな例を実際に動かし、変わらない仕組みを探すことです。

開成2021年算数で差がついた3つの力

難しい設問を一度飛ばす判断力

大問1の最終設問のように、方針が分かっても計算に時間がかかる問題があります。

このような設問を最後まで続けるか、一度飛ばすかを短時間で決めなければなりません。

目安は、3分から5分考えた時点で、得点へ近づく作業ができているかです。規則が見つかり、あと数回計算すれば答えが出るなら続けます。何を調べればよいか分からない場合は、印を付けて次へ進みます。

過去問演習では、飛ばしたことを失敗と考えないでください。後で戻り、合計点を最大にできれば正しい判断です。

立体を単純な形に置き換える力

大問2の三角錐は、見たままでは高さをつかみにくい立体です。

そこで、頂点を移動して分かりやすい三角錐にする、立方体全体から不要な部分を引くなど、知っている形へ置き換えます。

算数が苦手な子は、複雑な図をそのまま解こうとする傾向があります。

「この立体を移動できないか」「大きな立体から引けないか」と問いかけることで、形を単純化する視点が育ちます。

具体例から変わらない規則を見つける力

大問3では、ルールを読んだだけで全体の仕組みに気づくのは簡単ではありません。

まずカードの枚数を減らし、数回だけ操作します。その結果を表に並べることで、手札が表す数の足し算になっていると気づけます。

家庭学習でも、難しい場合をいきなり考えさせず、「カードが2枚なら」「0と1だけなら」と条件を小さくしてください。

小さく試すことは、答えを当てるためではありません。大きな問題にも共通する規則を発見するための方法です。

家庭でできる2021年算数の復習法

点数ではなく設問別に結果を見る

2021年は、設問ごとの難度差が大きい年度です。

そのため、合計点だけで評価せず、各設問を「自力で正解」「方針は正しい」「解説を読めば理解」「解説を読んでも難しい」の4段階に分けます。

優先して復習するのは、「方針は正しい」と「解説を読めば理解」の問題です。

ここは短期間で得点に変わる可能性があります。最難問を何度も解くより、あと一歩だった設問を確実にするほうが得点は安定します。

解説を閉じて最初の一手を再現する

解説を読んだ直後は、理解したように感じやすいものです。

翌日に解説を閉じ、大問1なら周期を書き出す、大問2なら底面と頂点を決める、大問3なら小さな手札を数に直すところまで再現させます。

答えまで出せなくても、最初の一手を自力で選べれば理解は進んでいます。

反対に、最初から手が動かない場合は、解答手順を覚えただけで、問題の特徴を見抜けていません。

解き方を短い言葉で説明させる

復習後は、「なぜその方法を使ったの」と聞いてください。

「曜日は7日ごとに戻るから」「頂点を平行に動かしても高さが変わらないから」「カードの位置が1、2、4、8を表すから」と説明できれば、考え方を理解しています。

親が詳しい解説をできなくても問題ありません。

「その6cmはどこの長さ？」「なぜ2倍ずつになるの？」と問い返すだけで、子どもの曖昧な理解を見つけられます。

学年に合わせて取り組む範囲を変える

小学4年生は、大問1の暦や簡単な規則性を中心に取り組みます。大問2や大問3を完答させる必要はありません。

小学5年生は、大問1の前半と大問2の設問（1）を解き、三角錐の底面と高さを見つける練習をします。大問3は、ルール通りにカードを動かせれば十分です。

小学6年生は60分で全体に挑戦し、どの設問を飛ばしたかまで振り返ります。「時間があれば解けた問題」と「方針自体が分からなかった問題」を分けてください。

開成志望でない子にとっても、2021年算数は、規則性、立体の体積、初見ルールへの対応をまとめて学べる教材です。

まとめ｜開成2021年算数は問題を選ぶ力も重要

開成中学2021年入試問題の算数は、小問集合、立体図形、カードを使った条件整理の3題で構成されていました。

算数の合格者平均は55.8点、受験者平均は45.8点で、全問完答よりも、取れる設問を確実に積み上げることが重要な試験でした。

大問1では、基本的な設問を落とさず、計算量の多い後半を適切に判断する必要があります。大問2では、複雑な三角錐を分かりやすい形へ置き換えます。大問3では、カードを小さな例で動かし、数の仕組みへ変換します。

家庭での復習では、完成した解答を写させるだけでは不十分です。

難しい設問を飛ばせたか、立体の底面と高さを決められたか、カードの小さな例を試せたかを確認しましょう。

2021年算数から学べるのは、難問を長く考え続ける力だけではありません。得点すべき問題を見極め、複雑な設定を単純な形へ変え、自分で規則を発見する力です。

この3つを意識して解き直せば、開成だけでなく、他の難関校で出題される初見の思考問題にも対応しやすくなります。