開成中学2022年算数を解説｜大問別の攻略法

開成中学2022年入試問題・算数の特徴

この記事では、開成中学2022年入試問題の算数について、大問ごとの考え方、得点差が生まれた理由、家庭でできる復習法を順を追って解説します。

開成の算数というと、特別なひらめきがなければ解けない難問ばかりを想像するかもしれません。しかし、2022年は、塾で学ぶ典型的な解法を正しく使えば得点できる設問も多い年度でした。

一方で、マス目の塗り方を丁寧に分類する問題や、2つの時計の針を比べる問題では、条件を整理して考え続ける力が必要です。

過去問を解き直す際は、難問の答えを覚えるのではなく、「取るべき問題を落とさなかったか」「調べた結果を次の設問へ使えたか」を確認しましょう。

合格者平均60.7点の高得点勝負

開成中学2022年の算数は、85点満点、試験時間60分で実施されました。

学校公式サイトが公表している入試結果では、算数の合格者平均は60.7点、受験者全体の平均は50.7点です。得点率に直すと、合格者平均は約71.4％、全体平均は約59.6％でした。両者の差は10点です。

合格者平均が7割を超えているため、難しい設問を一つ解くだけでは十分ではありません。

大問1の計算や整数問題、大問2の相似と体積比など、学習経験のある分野を確実に得点する必要がありました。実際の入試分析でも、2021年と比べて取り組みやすい問題が増え、1問の取りこぼしが差につながりやすかったと評価されています。

家庭で採点するときは、60.7点に届いたかだけを見ないでください。

計算ミスで失点したのか、場合分けが漏れたのか、時計の状況を図にできなかったのかを分けて確認すると、次に行うべき学習が見えてきます。

典型題と調査型問題が組み合わされた

2022年算数は、大問1が小問集合、大問2が円すい、大問3がマス目の塗り分け、大問4が時計算という4題構成でした。

大問1では、逆算、9で割った余り、サイコロの場合の数、円とロープを扱います。大問2では、相似な円すいの体積比や表面積比を求めます。

ここまでは、難関校対策で学ぶ知識を組み合わせれば対応しやすい内容です。

一方、大問3では、条件に合うマス目の塗り方を実際に分類し、列数を増やしたときの規則を見つけます。大問4では、開成君の時計と正しい時計という2つの時計を同時に扱います。

つまり、前半では基本解法の完成度、後半では情報を整理しながら粘り強く考える力が問われました。

難問より取りこぼしが得点差につながった

2022年は、すべての設問が難しかったわけではありません。

大問1の多く、大問2、大問3の前半、大問4の最初の設問は、開成志望者なら得点したい内容だったと分析されています。大問3の後半や大問4の最終設問を落としても、他を正確に取れば7割前後へ到達できる構成でした。

このような年度では、難問を解けないこと以上に、取れる問題を落とすことが大きな失点になります。

家庭での復習でも、最難問ばかりを解き直す必要はありません。まず、正解できるはずだった設問を確実に取れる状態へ変えることが優先です。

開成中学2022年算数を大問別に解説

大問1は計算・整数・場合の数・円の小問集合

大問1は、4つの小問からなる構成です。

最初は分数と小数を含む逆算です。複雑な式でも、空欄に近い部分から逆向きに戻せば解けます。途中式を一行ずつ分け、どの計算を元に戻したのかを明確にすることが大切です。

次は、1234567の数字を順番にずらして作った複数の整数の和を、9で割った余りを求める問題です。

ある整数を9で割った余りは、各位の数字の和を9で割った余りと同じになります。1から7までの和は28で、9で割ると1余ります。5つの整数はどれも各位の和が28なので、それぞれの余りは1です。したがって、合計の余りは5になります。

サイコロの問題では、4人が出した目の積が4の倍数になる場合を数えます。

直接数えるより、「4の倍数にならない場合」を全体から引くほうが簡単です。4人とも奇数の場合は81通り、1人だけが2または6で、残り3人が奇数の場合は216通りです。

全体の6の4乗＝1296通りから引くと、

1296－81－216＝999通り

となります。

家庭では、「求めたい場合を直接数えにくいときは、反対の場合を数えられないか」と問いかけましょう。

大問2は円すいの相似比を体積比へつなげる

大問2は、一つの円すいを高さ方向へ等間隔に切り、4つの立体a、b、c、dに分ける問題です。

元になる4つの円すいの相似比は、

1：2：3：4

です。

体積比は相似比の3乗になるため、

1：8：27：64

となります。

ここから各部分の体積を差で求めると、

a：b：c：d
＝1：（8－1）：（27－8）：（64－27）
＝1：7：19：37

となります。したがって、bとdの体積比は7：37です。

表面積を求めるときは、体積比と混同してはいけません。

円すいの側面積は相似比の2乗に比例します。また、円すい台では上面、下面、側面の3つを足す必要があります。解説では、bとdの表面積比は11：39、立体XとYの体積比は5：11、表面積比は4：7と求められています。

子どもが間違えたら、「今求めているのは長さ、面積、体積のどれ？」と確認してください。

相似比を1乗、2乗、3乗のどれに変えるかを区別できることが、この問題の中心です。

大問3はマス目の塗り方を分類して数える

大問3は、決められたルールに従ってマス目を塗り、暗号のような図を作る問題です。

前半は、条件に合う塗り方を実際に書き出せば対応できます。しかし、後半になると、すべての図を思いつくまま描く方法では漏れが出ます。

重要なのは、最初に何を固定して分類するかです。

たとえば、塗りつぶさない2列を選ぶ問題では、「1列目と2列目を塗らない場合」「1列目と3列目を塗らない場合」のように、塗らない位置を先に決めます。

各組み合わせについて塗り方を2通り、4通り、8通りに分けて合計すると、102種類になります。

列数を増やす問題では、左端の状態を3種類に分け、1列前の結果から次の列の数を求めます。3列では17種類、7列では577種類です。

家庭では、答えだけを書かせず、表の見出しを作らせてください。

「左端の状態」「1列前の数」「次の列へつながる状態」を残すと、数え漏れを防げます。調べた結果を記録する力は、場合の数や規則性全般に役立ちます。

大問4は2つの時計の針を角度で比較する

大問4では、開成君の時計が正しい時計より5分進んでいます。

時計算の基本は、長針が1分で6度、短針が1分で0.5度進むことです。2本の針が近づく速さは、

6－0.5＝5.5度

となります。

設問（1）では、開成君の時計の長針と、正しい時計の短針が重なる時刻を考えます。正しい時刻で1時のとき、2本の針は60度離れているため、

60÷5.5＝10と10／11分

後に重なります。答えは1時10と10／11分です。

後半では、4本の針の間にできる角を比較します。

長針同士の差は30度、短針同士の差は2.5度で、時間がたってもこの差は変わりません。この固定された差を図に書き込み、求める角の関係を式にします。

時計算が苦手な子は、4本の針を一つの文字盤に描いて混乱しがちです。

家庭では、「開成君の長針」「開成君の短針」「正しい長針」「正しい短針」を別の記号で表し、基準時刻と数分後の図を2枚に分けましょう。

開成2022年算数で差がついた3つの力

典型問題を正確に処理する力

2022年は、逆算、余り、相似、体積比など、学習経験のある考え方が多く出題されました。

そのため、知識を知っているだけでなく、短時間で正確に使う必要があります。

大問1や大問2で計算ミスを重ねると、後半へ使える時間も点数も失います。途中式を省かず、比が何を表しているのかを書き添える習慣が重要です。

調べた結果を表に残す力

大問3は、頭の中だけで数えると漏れや重複が起こります。

場合分けの基準を先に決め、調べた結果を表へ残すことで、前の結果を次の設問に利用できます。

家庭学習では、「全部調べて」と指示するだけでなく、「何を固定して調べる？」と問いかけてください。分類の軸を決めることが、正確な数え上げの第一歩です。

同じ基準で複数の動きを比較する力

大問4では、2つの時計にある4本の針を同時に扱います。

混乱を防ぐには、すべての動きを「正しい時刻から何分後か」という同じ基準で表す必要があります。

速さや時計算でも、基準をそろえることが大切です。「どの時刻を0分とするか」「どの針を基準に角度を測るか」を決めてから式を作りましょう。

家庭でできる2022年算数の復習法

失点原因を設問ごとに分ける

丸付け後は、不正解を「知識不足」「条件整理の不足」「場合分けの漏れ」「計算ミス」「時間不足」に分けます。

同じ0点でも、解法を知らなかった問題と、最後の足し算を間違えた問題では対策が異なります。

最優先で復習したいのは、考え方が合っていた問題と、解説を読めば理解できる問題です。短期間で得点へ変わる可能性があります。

解説を見る前に最初の一手を再現する

間違えた問題は、すぐに解説を写させないでください。

大問1なら反対の場合を数える、大問2なら相似比を書く、大問3なら場合分けの表を作る、大問4なら4本の針の位置を描くところまで再挑戦します。

答えに届かなくても、最初の一手を自力で選べれば理解は進んでいます。

数字を変えて同じ考え方を試す

解法が定着したかを確かめるには、条件を少し変えます。

サイコロを3人にする、円すいを3段に分ける、マス目を4列に減らす、時計のずれを10分にするなど、小さな変更で十分です。

数字が変わっても同じ図や表を使えれば、答えではなく考え方を理解できています。

学年に応じて取り組む範囲を変える

小学4年生は、大問1の整数問題や簡単な場合の数から始めます。大問2以降の完答を目指す必要はありません。

小学5年生は、大問1と大問2を時間無制限で解き、相似比・面積比・体積比を区別する練習をします。大問3は、実際に塗り方を書き出すところまでで十分です。

小学6年生は60分で全体を解き、問題を選ぶ練習まで行います。終了後は、「難しくて解けなかった問題」と「時間があれば取れた問題」を分けてください。

まとめ｜開成2022年算数は基本の精度が重要

開成中学2022年入試問題の算数は、小問集合、円すい、マス目の塗り分け、時計算という4題構成でした。

合格者平均は85点中60.7点で、基本から標準レベルの設問を正確に積み上げることが重要な年度です。

大問1では、直接数えるより反対の場合を考える工夫が必要です。大問2では、相似比を面積比や体積比へ正しく変換します。大問3では、場合分けした結果を表へ残し、大問4では複数の針を同じ時間軸で比較します。

家庭で復習するときは、最終的な答えを覚えさせないでください。

最初にどの式を書いたか、何を固定して場合分けしたか、どの時刻を基準にしたかを説明させましょう。

2022年算数から学べるのは、難問を解く特別なひらめきだけではありません。基本問題を落とさない正確さ、調べた結果を整理する力、複数の条件を同じ基準で比べる力です。

この3つを意識して解き直せば、開成だけでなく、他の難関校で出題される思考問題にも対応しやすくなります。