中学受験算数の扇形を攻略｜面積と弧の長さを解説

中学受験算数の扇形で最初に押さえたい基本

この記事では、中学受験算数の扇形について、面積・弧の長さ・中心角の基本から、入試でよく出る応用問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

扇形は、中学受験算数の図形分野で頻出するテーマの一つです。

基本問題では公式に当てはめるだけで解けますが、入試になると、

「正方形の中に扇形がある」
「複数の扇形が重なっている」
「斜線部分だけを求める」

など、少し見た目が複雑になります。

そこで公式だけを暗記していると、

「どの部分が扇形？」
「360で割るのは面積？弧の長さ？」

と混乱しやすくなります。

扇形で最も大切なのは、

扇形は円の一部分である

と理解することです。

この基本に戻れば、面積も弧の長さも同じ考え方で整理できます。

扇形は「円の何分のいくつか」で考える

扇形は、2本の半径とその間の弧で囲まれた図形です。

ピザを切り分けた1切れをイメージすると分かりやすいでしょう。

たとえば中心角が90度なら、

360度のうち90度

なので、

90÷360＝1/4

です。

つまり90度の扇形は、円全体の4分の1です。

中心角が120度なら、

120÷360＝1/3

なので、円全体の3分の1。

180度なら半円なので、

180÷360＝1/2

です。

この考え方が分かれば、面積も弧の長さも「円全体の何分のいくつか」として求められます。

扇形の面積は円の面積×中心角÷360

円の面積は、

半径×半径×3.14

です。

扇形は円の一部分なので、

扇形の面積＝半径×半径×3.14×中心角÷360

となります。

たとえば半径6cm、中心角120度の扇形なら、

6×6×3.14×120÷360

です。

120÷360＝1/3なので、

36×3.14÷3
＝12×3.14
＝37.68

したがって面積は37.68㎠です。

ただし、家庭では公式をそのまま暗記させるより、

「120度は360度の何分のいくつ？」

と先に聞いてみてください。

「3分の1」

と答えられれば、

円の面積の3分の1

と自然に考えられます。

弧の長さは円周×中心角÷360

弧の長さも考え方は同じです。

円周は、

直径×3.14

または、

半径×2×3.14

で求めます。

したがって、

弧の長さ＝半径×2×3.14×中心角÷360

です。

先ほどと同じく、半径6cm、中心角120度なら、

6×2×3.14×120÷360

となります。

120度は1/3なので、

12×3.14÷3
＝4×3.14
＝12.56

弧の長さは12.56cmです。

面積との違いは、

面積→円の面積をもとにする
弧の長さ→円周をもとにする

という一点です。

ここを整理すると公式の混同が減ります。

扇形の典型問題を例題で解いてみよう

中心角が分かっている扇形の面積

次の問題を考えます。

半径10cm、中心角72度の扇形の面積を求めます。

まず、

72÷360＝1/5

なので、この扇形は円の5分の1です。

円全体の面積は、

10×10×3.14＝314㎠

したがって、

314÷5＝62.8㎠

です。

公式にそのまま代入してもよいですが、

中心角を先に簡単な分数へ直す

と計算しやすくなります。

72度→1/5
90度→1/4
120度→1/3
144度→2/5
180度→1/2

など、よく出る角度はすぐ割合に直せると計算時間を短縮できます。

半径と中心角から弧の長さを求める

半径8cm、中心角135度の扇形の弧の長さを求めてみましょう。

まず円周は、

8×2×3.14＝50.24cm

です。

135度は、

135÷360＝3/8

なので、

50.24×3/8

を計算します。

50.24÷8＝6.28

6.28×3＝18.84

したがって弧の長さは18.84cmです。

計算では、

50.24×135÷360

としても正解ですが、先に135/360＝3/8と約分したほうが楽です。

中学受験算数では、公式を知っていることだけでなく、途中の計算を軽くする工夫も重要です。

面積や弧の長さから中心角を逆算する

入試では、中心角が最初から書かれていないこともあります。

たとえば半径10cmの円で、扇形の面積が78.5㎠だったとします。

円全体の面積は、

10×10×3.14＝314㎠

です。

扇形は、

78.5÷314＝1/4

なので、円全体の4分の1です。

したがって中心角も、

360×1/4＝90度

となります。

ここで重要なのは、

面積の割合＝中心角の割合

ということです。

同じ半径なら、

面積が半分→中心角も半分
面積が1/3→中心角も1/3

になります。

公式を逆算するより、「円全体との割合」を見るほうが簡単な問題も多くあります。

中学受験の扇形で差がつく応用パターン

正方形や三角形と組み合わせた面積問題

中学入試では、扇形だけが単独で出るより、ほかの図形と組み合わされることがあります。

たとえば一辺10cmの正方形の中に、半径10cm・中心角90度の扇形が描かれているとします。

90度の扇形は円の4分の1なので、

10×10×3.14÷4
＝78.5㎠

です。

正方形の面積は、

10×10＝100㎠

したがって、正方形から扇形を除いた部分なら、

100－78.5＝21.5㎠

となります。

ここでのポイントは、斜線部分を直接求めようとしないことです。

全体－扇形

のように、知っている図形の面積を組み合わせると簡単になります。

複数の扇形を足す・引く問題

扇形が2つ、3つと出てくると難しく見えます。

しかし、半径が同じなら中心角をまとめられる場合があります。

たとえば同じ半径の60度と120度の扇形があれば、

60＋120＝180度

です。

面積の合計は、同じ半径の180度の扇形、つまり半円と同じになります。

そのため、

半径×半径×3.14÷2

と一度に計算できます。

中学受験算数では、複数の図形を一つずつ計算するより、

「この2つを合わせたら何度？」

と考えることで計算を減らせることがあります。

特に中心角の合計が90度、180度、360度になる問題では要注意です。

おうぎ形を移動させて考える問題

難関校の図形問題では、扇形の一部を移動して考えるタイプもあります。

たとえば2つの扇形が重なっていて、複雑な斜線部分の面積を求める問題です。

このとき、

重なっている部分を移す
同じ面積の部分を入れ替える

と、長方形や三角形などの分かりやすい図形へ変わることがあります。

図形問題が得意な子は、必ずしも複雑な計算をしているわけではありません。

むしろ、

「ここを移したら簡単な形にならない？」

と考えています。

家庭でも、

「この部分と同じ形はほかにない？」

と声をかけると、移動の発想につながります。

扇形が苦手な子への家庭での教え方

公式より「円の何分のいくつ？」から考える

扇形が苦手な子に、最初から2つの公式を暗記させる必要はありません。

まず、

「この扇形は円全体の何分のいくつ？」

と聞きます。

90度なら1/4。

120度なら1/3。

180度なら1/2。

ここまで分かれば、

面積なら円の面積の1/4
弧なら円周の1/4

と考えられます。

公式を忘れてしまっても、意味を理解していれば自分で式を作れます。

特に算数が苦手な子ほど、

中心角÷360

という意味を理解させることが大切です。

中心角・半径・弧を図に書き込ませる

扇形問題で間違える子の中には、どの数字が半径なのか分からないまま計算しているケースがあります。

問題を読んだら、

半径→「半径」と書く
中心角→角度を書き込む
求める弧→色や印をつける

と整理します。

たとえば直径が12cmと書いてあるのに、12をそのまま半径として使ってしまうミスはよくあります。

直径12cmなら、

半径は6cm

です。

計算する前に図へ数字を書き込むだけでも、こうした失点を減らせます。

複雑な図形は「全体－不要な部分」で整理する

斜線部分が複雑に見えると、子どもはその部分を直接求めようとします。

しかし図形問題では、

全体－白い部分

と考えたほうが簡単なことが多くあります。

たとえば、

正方形－扇形
半円－三角形
大きな扇形－小さな扇形

などです。

家庭では、

「斜線を直接求める以外の方法はある？」

と聞いてみてください。

そして、

「全体なら求められる？」

と続けます。

扇形に限らず、中学受験図形では「直接無理なら、足す・引く・補う」という発想が非常に重要です。

まとめ｜扇形は「円の一部分」と考えれば難しくない

中学受験算数の扇形で最も大切なのは、公式を丸暗記することではありません。

まず、

扇形は円全体の何分のいくつか

と考えます。

中心角が90度なら1/4。

120度なら1/3。

180度なら1/2です。

そのうえで、

面積なら、

円の面積×中心角÷360

弧の長さなら、

円周×中心角÷360

と考えます。

つまり、2つの公式は別々のものではありません。

どちらも、

円全体の量×扇形の割合

という同じ仕組みです。

さらに中学入試では、

正方形や三角形との組み合わせ
複数の扇形
図形の移動
全体から一部を引く問題

などへ発展します。

こうした問題でも、

「どこが扇形？」
「円全体なら何になる？」
「中心角は円の何分のいくつ？」
「直接ではなく引き算で求められない？」

と一つずつ整理すれば、見た目ほど複雑ではありません。

家庭でお子さんが公式を間違えたときも、

「公式を覚え直して」

だけで終わらせず、

「90度なら円の何分のいくつ？」

と聞いてみてください。

意味に戻って考えられるようになると、忘れにくくなります。

中学受験算数の扇形は、単独の公式問題として覚えるのではなく、円の一部分を割合で考える問題として理解することが、応用問題まで対応できる近道です。