中学受験算数の立体の切断｜切り口の見抜き方

中学受験算数の立体の切断はなぜ難しい？

この記事では、そんな悩みを持つ保護者に向けて、中学受験算数の「立体の切断」について、切り口を描く基本ルールから頻出問題、体積への応用、家庭での教え方まで順を追って解説します。

立体の切断は、中学受験算数の中でも苦手意識を持つ子が多い単元です。

理由は単純で、紙に描かれた立体から「実際には見えない面」を想像しなければならないからです。

しかし、立体の切断は感覚だけで解く問題ではありません。

実は、

同じ面の点を結ぶ
平行な面では切り口も平行になる

という基本ルールを使えば、かなり機械的に切り口を描けるようになります。

「空間認識が苦手だから無理」と決めつけず、まずは線を1本ずつつなぐ練習から始めましょう。

見えない切り口を頭の中で考える必要がある

立体の切断で最初につまずくのは、「切った面がどこを通るのか分からない」という点です。

たとえば立方体の3本の辺上に点A・B・Cがあり、この3点を通る平面で切るとします。

紙に描かれた図では、手前の面は見えても、裏側の面や底面は見えにくくなっています。

そのため子どもは、

「AとBは結べそうだけれど、その次はどこへ線が行くの？」

と止まってしまいます。

ここで大切なのは、切断面全体を一度に想像しようとしないことです。

まず見えている1つの面だけに注目する

と考えると、負担が大きく減ります。

切断面は立体の「面の中」を通ってつながる

切断面は、立体の表面と交わりながら1つの閉じた図形になります。

たとえば同じ正方形の面の2本の辺上に点AとBがあれば、その面で切断面が通る部分は、

AとBを結んだ直線

です。

つまり、

「同じ面に切断面上の点が2つあれば結ぶ」

というのが第一の基本ルールです。

立体全体を頭の中で切るのではなく、

正面
側面
上面

と、面ごとに線を見つけていきます。

この考え方に変えるだけで、立体の切断はかなり整理しやすくなります。

まず立方体・直方体の基本から理解する

切断問題を学び始めるなら、最初は立方体がおすすめです。

立方体は向かい合う面がすべて平行なので、切り口の規則を確認しやすいからです。

いきなり三角柱や複雑な立体へ進む必要はありません。

まず、

・3点を通る基本切断
・辺の中点を通る切断
・切り口が三角形や四角形になる問題

を練習します。

立方体でルールを理解してから直方体や柱体へ進むほうが、立体の構造をつかみやすくなります。

立体の切断で切り口を描く基本ルール

同じ面上にある2点は直線で結ぶ

最も重要なルールです。

たとえば立方体の正面にある2本の辺上に点AとBがあるなら、まずAとBを直線で結びます。

「切断面は平らな面」なので、1つの面との交わりは直線になります。

ここで、

「近そうな点を適当に結ぶ」

のではなく、

同じ面にあるかどうか

を確認することが大切です。

立体の図では、紙の上では近く見えても、実際には別の面にある点があります。

家庭学習では、点を結ぶ前に、

「AとBは同じ正方形の面にある？」

と確認させるだけでもミスが減ります。

平行な面では切り口の線も平行になる

立体の切断で特に重要なのが平行線の性質です。

立方体では、

上面と底面
前面と後面
左面と右面

がそれぞれ平行です。

1つの平面が2つの平行な面を横切ると、その面上にできる切り口の線は平行になります。

たとえば上面に切り口の線が1本分かったとします。

その切断面が底面まで続いているなら、底面にできる切り口は上面の線と平行になります。

これを使うことで、直接見つけにくい次の点を探せます。

中学受験では非常によく使うルールなので、

「向かい合う面なら、切り口も平行」

と覚えておくとよいでしょう。

切断面が通る次の辺を順番に探す

切り口を描くときは、

1本描く
↓
その線がどの辺へ到達するか見る
↓
次の面へ移る
↓
また線を描く

という順番で進めます。

たとえば正面でAとBを結んだ線が、右側の辺に到達したとします。

その点は、今度は右側面上の切断面の点になります。

そこから右側面にある別の点へ線をつないでいきます。

迷ったときは、

「今いる点を含む面はどこか」

を考えると次の線が見つけやすくなります。

切り口全体を予想するのではなく、1面ずつ移動するイメージです。

切り口は最後につながって閉じた図形になる

立体を1枚の平面で切ると、切り口は基本的に閉じた多角形になります。

三角形なら3本、四角形なら4本、六角形なら6本の辺で囲まれます。

途中まで線を描いて、

「どこへつなげればいいか分からない」

となったら、最初の点へ戻れるかを考えてみましょう。

切り口が開いたまま終わることはありません。

この「最後は閉じる」という確認を習慣にすると、線の描き忘れにも気づきやすくなります。

中学受験でよく出る立体の切断問題

3点を通る平面で立方体を切る問題

立体の切断で最も基本的なのが、

「3点A・B・Cを通る平面で立方体を切断する」

という問題です。

平面は、一直線上にない3点が決まれば1つに決まります。

ただし、小学生にこの言葉を難しく覚えさせる必要はありません。

問題では、まずAとB、BとCなど、同じ面上にある点を探します。

同じ面上なら結ぶ。

次に、平行な面を使って線を延ばす。

この繰り返しで切り口を完成させます。

最初から断面の形を当てようとしないことがポイントです。

三角形・四角形・六角形の切り口を見分ける

立方体を切ると、さまざまな多角形が現れます。

切断面が3本の辺と交われば三角形、4本なら四角形です。

さらに切り方によっては、6つの面すべてを通る六角形になることもあります。

ここで大切なのは、

「三角形になる公式」
「六角形になる公式」

を暗記することではありません。

切断面が、

立体の何本の辺と交わったか

を数えれば切り口の頂点数が分かります。

たとえば6本の辺と交わっているなら、切り口は六角形です。

作図後の確認方法としても使えます。

辺の中点を通る切断は対称性を利用する

入試では、

「辺ABの中点P」

のように中点が条件として与えられることがあります。

中点が複数登場する問題では、立方体の対称性が利用できることがあります。

たとえば対称な位置にある辺の中点を通る切断では、切り口にも対称な形が現れやすくなります。

その結果、

同じ長さの辺
平行な辺
合同な三角形

などを見つけやすくなります。

切断線を描いたあと、

「この図は左右対称になっていないか」

と確認する習慣をつけておくと、長さや面積を求める問題へもつなげやすくなります。

切断後の体積は比を使うと簡単になる

立体の切断では、切り口を描いて終わりではありません。

「切断してできた2つの立体の体積比を求めなさい」

という問題も頻出です。

たとえば立方体の1つの頂点付近を、3本の辺の中点を通る平面で切り落とした場合を考えます。

切り落とされる立体が三角すいなら、

三角すいの体積＝底面積×高さ÷3

を使えます。

ただし、実際の長さを全部計算するより、辺の比から体積比を求めたほうが簡単な場合もあります。

相似な立体では、

辺の比が1：2なら
面積比は1：4
体積比は1：8

です。

切断問題では、切り口の作図と比・体積がセットになることを意識しておきましょう。

立体の切断が苦手な子の家庭学習法

実物を切って断面を確認する

立体の切断がどうしても想像できない子には、実物を使う方法が効果的です。

おすすめなのは、

・発泡スチロール
・粘土
・豆腐
・消しゴム程度の柔らかい素材

などです。

立方体に近い形を作り、実際に斜めに切ると、

「外から見えなかった場所にこんな面ができるんだ」

と理解できます。

特に粘土なら、切った後にもう一度形を作れるため繰り返し練習できます。

紙の図だけで理解できない場合は、能力不足ではなく、まだ立体と平面図が結びついていないだけということも多いです。

見える面から1本ずつ線をつなぐ

家庭で教えるときは、

「切り口は何角形？」

と最初から聞く必要はありません。

まず、

「同じ面にある点はどれ？」

と聞きます。

見つかったら1本結びます。

次に、

「この線が着いた点は、どの面にもある？」

と確認します。

こうして1本ずつ進めると、空間認識が苦手な子でも処理しやすくなります。

立体の切断では、ひらめきよりも手順を守ることが重要です。

補助線を消さずに残して考える

切断問題では、途中で描いた補助線をすぐ消さないようにしましょう。

特に、

・平行を確認するための線
・見えない面に描いた線
・辺を延長した線

は、考えた過程を残す重要な情報です。

図が多少書き込みだらけになっても構いません。

中学受験算数では、きれいな図を作ることより、

自分が判断するための情報を図に残すこと

のほうが大切です。

家庭で丸付けをするときも、答えだけでなく「どんな線を書いて考えたか」を確認してください。

切り口作図と体積計算を分けて練習する

立体の切断が苦手な子に、いきなり

「切り口を描いて、その面積を求め、さらに体積比まで出す」

という問題を続けると負担が大きくなります。

まずは、

1段階目：切り口だけ描く
2段階目：何角形か答える
3段階目：辺の長さや面積を求める
4段階目：切断後の体積を求める

という順番がおすすめです。

1日3問程度でも構いません。

作図が安定してから計算へ進むと、「立体の切断そのものが分からない」のか「体積計算が苦手なのか」も区別できます。

まとめ｜立体の切断は「面ごとにつなぐ」と攻略しやすい

中学受験算数の立体の切断は、最初は難しく感じやすい単元です。

しかし、切り口全体を頭の中だけで想像する必要はありません。

基本となるのは、

同じ面上の2点を結ぶ
平行な面では切り口の線も平行になる
次の面へ1本ずつつないでいく

という3つの考え方です。

この手順を繰り返せば、最後に切り口が閉じた多角形として完成します。

また、切断問題は作図だけではなく、面積、相似、比、体積へ発展する重要なテーマです。

そのため、切り口の形を丸暗記するより、

「なぜこの2点を結べるのか」
「なぜこの2本が平行になるのか」

を説明できる状態を目指しましょう。

立体を見る力が弱い場合は、粘土や箱などの実物を使って断面を確認するのも有効です。

そして家庭学習では、最初から難問へ進まず、

「切り口を描く」
「形を判断する」
「長さ・面積を求める」
「体積まで考える」

と段階的にレベルを上げていきます。

立体の切断は、ルールが分かると安定して得点しやすくなる単元です。まずは立方体の基本問題から、面ごとに1本ずつ線をつなぐ習慣を身につけていきましょう。