中学受験算数の道順問題を攻略｜解き方とコツ

中学受験算数の「道順」とは？まず基本を理解しよう

この記事では、そんな悩みを持つ保護者に向けて、中学受験算数で頻出の「道順問題」について、基本の考え方から応用問題の解き方、家庭での教え方まで順を追って分かりやすく解説します。

道順問題は、中学受験算数の「場合の数」でよく出題されるテーマです。

一見すると複雑な迷路のように見えるため、算数が苦手な子ほど「全部書かなければいけない」と考えて混乱しがちです。

しかし、道順問題には明確な数え方があります。

基本を理解すると、複雑に見える問題でも機械的に整理できるようになります。

道順問題は場合の数の代表問題

中学受験算数の道順問題では、一般的にマス目状の道路が示され、

「A地点からB地点まで最短で進む道順は何通りありますか」

と問われます。

たとえば、横に3区画、縦に2区画ある道路で、左下のA地点から右上のB地点へ最短で進むとします。

右に3回、上に2回進めばゴールできます。

ここで重要なのは、最短で進む限り、

右へ3回、上へ2回進むこと自体は変わらない

という点です。

変わるのは、その順番だけです。

道順問題を「地図の問題」と思うと難しく感じますが、実際には「右と上をどんな順番に並べるか」という場合の数の問題なのです。

「右」と「上」の並べ方として考える

先ほどの例なら、

右・右・右・上・上

という5回の移動を並べ替えます。

たとえば、

右→右→右→上→上
右→上→右→上→右
上→右→上→右→右

などがあります。

つまり、5個の場所のうち「上」を入れる2か所を選べばよいので、

5個から2個を選ぶ組み合わせ

として計算できます。

答えは10通りです。

この考え方を理解すると、道順問題と組み合わせがつながります。

ただし、初めて道順を学習する子に、いきなり組み合わせの計算だけを教えるのはおすすめしません。

まずは実際の道をたどりながら、「何を数えているのか」を理解することが大切です。

樹形図ですべて書く方法には限界がある

場合の数を習い始めた子は、樹形図ですべての道順を書こうとすることがあります。

小さな問題なら、それでも答えを出せます。

しかしマス目が大きくなると、枝分かれが急激に増えます。

途中で同じ道順を二重に数えたり、反対に数え漏らしたりする原因にもなります。

中学受験では、「全部書く」のではなく、規則を使って数える力が必要です。

そこで身につけたいのが、交点に数字を書き込む方法です。

中学受験の道順問題の基本的な解き方

交点に数字を書き込む方法が最も分かりやすい

算数が苦手な子に道順を教えるなら、最初は「交点に数字を書く方法」がおすすめです。

スタート地点を1とします。

そして、そこから到達できる交点に、「その地点まで何通りの道順があるか」を順番に書いていきます。

たとえば一番下の横道しか通れない地点なら、そこへ行く方法は1通りしかありません。

同じように一番左側を上に進む地点も1通りです。

ところが、途中の交点には「左から来る方法」と「下から来る方法」の2種類があります。

ここに道順問題の重要なルールがあります。

数字は「左＋下」で求める

ある交点へ最短で到達するには、

・左側の交点から右へ進む
・下側の交点から上へ進む

のどちらかです。

したがって、その交点に到達する道順の数は、

左の数字＋下の数字

で求められます。

たとえば、左の交点まで3通り、下の交点まで2通りあるなら、

3＋2＝5通り

です。

その交点へ来る方法は5通りとなります。

同じ計算をゴールまで繰り返していけば、最終的な道順の数が求められます。

家庭で教えるときは、

「この場所に来る直前は、どこにいた？」

と聞いてみてください。

「左か下」と答えられれば、なぜ足し算になるのか理解しやすくなります。

単に「左と下を足す」と暗記させるより、理由を言葉にできることが大切です。

組み合わせを使えば短時間で求められる

基本が理解できたら、組み合わせを使った方法も身につけておきましょう。

横4区画、縦3区画なら、最短経路では、

右へ4回
上へ3回

の合計7回移動します。

したがって、

7回の移動のうち、上へ進む3回を選ぶ

と考えれば求められます。

計算すると35通りです。

マス目が大きい問題では、交点に数字を一つずつ書くより速く解けます。

ただし、通れない道や必ず通る地点などの条件が加わると、単純な組み合わせだけでは処理できない場合があります。

そのため、数字を書き込む方法と組み合わせの両方を使えるようにしておくのが理想です。

道順問題でよく出る応用パターン

特定の地点を通る道順

中学受験では、

「AからBまで最短で進み、途中でP地点を通る道順は何通りですか」

という問題がよく出ます。

この場合は、

A→P
P→B

の2つに分けて考えます。

たとえば、AからPまで6通り、PからBまで4通りなら、

6×4＝24通り

です。

ここで足し算ではなく掛け算になる点が重要です。

AからPへ行く方法それぞれに対して、PからBへ行く4通りを組み合わせられるからです。

「前半と後半をセットにするから掛け算」と説明すると理解しやすくなります。

通れない道がある問題

道路の一部が工事中などで通れない問題も頻出です。

この場合、交点に数字を書き込む方法が非常に有効です。

通常なら「左＋下」で数字を書きますが、下から来る道路が通行止めなら、下から来る方法は使えません。

したがって左側の数字だけを書きます。

大切なのは、通れない道路を見つけた瞬間に全体を複雑に考えないことです。

通れない方向から来る数を足さない

と考えるだけで処理できます。

特定の地点を通らない道順

「P地点を通らない道順」を直接数えると、場合分けが増えて難しくなることがあります。

このような問題では、

すべての道順－Pを通る道順

と考えると簡単です。

たとえば全体が35通り、Pを通る道順が12通りなら、

35－12＝23通り

です。

中学受験算数では、この「直接数えにくいなら全体から引く」という発想が非常に重要です。

道順だけでなく、場合の数全般で使えます。

最短経路ではない問題に注意する

道順問題を見ると、無意識に「右と上だけで進む」と考える子がいます。

しかし問題文に「最短で」と書かれているかは必ず確認してください。

最短経路だからこそ、戻ったり遠回りしたりしないと判断できます。

「AからBへの行き方」とだけ書かれていて、移動条件が別に指定されている場合は、同じ方法が使えないことがあります。

算数が得意な子でも、条件の読み落としで失点しやすいところです。

問題を解く前に、

最短なのか・進める方向はどこか・通れない場所はあるか

の3点を確認する習慣をつけてください。

道順が苦手な子に家庭で教えるコツ

いきなり公式を覚えさせない

道順問題が苦手な子に、

「右3回、上2回だから5C2」

と最初から教えてしまうと、数字が変わっただけで分からなくなることがあります。

まず実際に2×2程度の小さなマス目を書き、指や鉛筆で道をたどらせましょう。

「ここへ来る方法は何通り？」

と一つずつ確認します。

自分で数えた結果と、交点に書いた数字が一致すると、「左と下を足す理由」が実感できます。

理解したあとで計算方法を整理したほうが、応用問題にも対応しやすくなります。

小さなマス目から数字を書かせる

いきなり5×5のような大きな問題に取り組む必要はありません。

最初は、

1×2
2×2
2×3

程度から始めます。

たとえば2×2なら答えは6通りです。

自分で道をすべて書いて6通りになることを確認してから、交点の数字でも6になることを確かめます。

この「実際に数える→規則で数える」という順序が効果的です。

間違えた原因を3種類に分ける

道順問題で間違えたら、単に解き直すだけでなく原因を確認しましょう。

代表的なミスは、

・数字の足し算を間違えた
・通行止めなどの条件を見落とした
・足し算と掛け算の使い分けを間違えた

の3つです。

たとえば毎回「左＋下」の計算を間違えるなら、道順そのものではなく計算力が原因かもしれません。

特定地点を通る問題だけ間違えるなら、「前半×後半」という考え方が定着していない可能性があります。

原因が違えば、必要な復習も変わります。

場合の数の他単元につなげる

道順を学ぶ目的は、その問題だけを解けるようにすることではありません。

道順で身につく、

「順序よく数える」
「全体から不要な場合を引く」
「前半と後半を掛け合わせる」

という考え方は、場合の数全体につながります。

たとえば、カードの並べ方、色の塗り分け、整数の作り方などでも同じ考え方が使われます。

道順問題をきっかけに「場合の数は整理して数える単元なんだ」と理解できれば、算数全体の得点力につながっていきます。

まとめ｜中学受験算数の道順は「数え方」を理解すれば得点源になる

中学受験算数の道順問題は、一見すると複雑ですが、基本となる考え方はシンプルです。

まず覚えておきたいのは、

ある交点までの道順＝左から来る道順＋下から来る道順

という考え方です。

さらに、

特定地点を通るなら「前半×後半」
特定地点を通らないなら「全体－通る場合」
通れない道があれば「その方向から来る数を足さない」

と整理すると、多くの応用問題に対応できます。

家庭で教える場合は、公式を先に覚えさせるのではなく、小さなマス目で実際に道順を数えさせてください。

「なぜ足すのか」「なぜ掛けるのか」を子ども自身が説明できるようになると、条件が変わっても対応できるようになります。

道順は、場合の数の考え方を身につける絶好のテーマです。

最初は2×2程度の簡単な問題から始め、数字を書き込む方法、特定地点を通る問題、通れない道がある問題へと段階的に進めていきましょう。