中学受験算数の和差算｜基本の解き方とコツ

中学受験算数の和差算とは？まず基本を理解しよう

この記事では、中学受験算数の和差算について、基本の考え方から線分図を使った解き方、応用問題への対応、家庭での教え方まで順を追って解説します。

和差算は、中学受験算数で学ぶ代表的な特殊算の一つです。

公式だけを見ると、

「大きい数＝（和＋差）÷2」
「小さい数＝（和－差）÷2」

と覚えればよいように思えます。

ところが、実際の入試問題では「和」と「差」がそのまま書かれているとは限りません。文章の中から必要な条件を探し、自分で整理する力が求められます。

そのため、和差算を得意にするには、公式の暗記よりも「なぜこの計算になるのか」を理解することが大切です。

和差算は「合計」と「差」から2つの数を求める

和差算とは、2つの数の「和」と「差」が分かっているときに、それぞれの数を求める問題です。

たとえば、

「兄と弟が持っているお金は合わせて1,000円です。兄は弟より200円多く持っています。それぞれ何円持っていますか」

という問題を考えます。

この場合、

2人の合計＝1,000円
兄と弟の差＝200円

です。

答えは、

兄＝600円
弟＝400円

となります。

これが和差算の最も基本的な形です。

中学受験では、お金だけでなく、人数、長さ、得点、個数などさまざまな題材で出題されます。

なぜ「和＋差」を2で割るのか

大きい数を求める公式は、

（和＋差）÷2

です。

先ほどの問題なら、

（1,000＋200）÷2
＝1,200÷2
＝600

となります。

なぜ合計に差を足すのでしょうか。

兄600円、弟400円をイメージしてみてください。

弟の400円に、兄との差である200円を足せば600円になります。

つまり合計1,000円に差200円を加えると、

600円＋600円＝1,200円

と、大きい方が2つ分そろいます。

だから2で割れば、大きい数600円が求められるのです。

この仕組みが理解できると、公式を忘れても自分で復元できます。

線分図を書くと仕組みが見える

和差算が苦手な子には、線分図が特に有効です。

兄と弟のお金を線で表すと、

兄　────────────
弟　────────
　　　　←200円→

のように、兄の方だけ200円長くなります。

この余分な200円を一度取り除くと、兄と弟の長さが同じになります。

1,000－200＝800

800円を2人で同じように分けるので、

800÷2＝400

これが弟のお金です。

そこに差の200円を加えれば、

400＋200＝600

で兄のお金も求められます。

つまり和差算は、2つの量を同じ長さにそろえて考える問題なのです。

和差算の基本的な解き方を例題で確認

大きい数を求める公式

例題を一つ見てみましょう。

「2つの数の和は84、差は18です。大きい数を求めなさい」

大きい数は、

（84＋18）÷2

で求めます。

84＋18＝102
102÷2＝51

したがって、大きい数は51です。

確認すると、

小さい数は84－51＝33

51－33＝18

となり、条件と一致します。

小さい数を求める公式

同じ問題で小さい数を直接求めるなら、

（和－差）÷2

を使います。

（84－18）÷2
＝66÷2
＝33

です。

なぜ差を引くのでしょうか。

大きい数51から差18を引くと33になります。

つまり、

51＋33－18

と考えると、

33＋33＝66

となり、小さい数が2つ分そろいます。

そのため2で割れば33になるのです。

公式を忘れても線分図から解ける

中学受験では、緊張すると覚えていた公式が出てこないことがあります。

そのため、

「公式を忘れたら終わり」

という状態にはしないことが重要です。

たとえば和84、差18なら、

大　──────────
小　───────
　　　←18→

と簡単な線分図を書きます。

差18を大きい方から取り除けば、

84－18＝66

となり、同じ長さが2本できます。

66÷2＝33

これが小さい数です。

さらに、

33＋18＝51

で大きい数も求められます。

この方法なら、公式を暗記していなくても解けます。

家庭学習でも「公式を書きなさい」より、「線分図で説明してみて」と声をかける方が、理解度を確認しやすいでしょう。

中学受験でよく出る和差算の応用問題

差が直接書かれていない問題

中学受験では、

「差は20です」

と親切に書かれていないことがあります。

たとえば、

「姉は妹より120円多く持っています。2人合わせて1,080円です」

という問題です。

ここでは、

「姉は妹より120円多い」

が差を表しています。

つまり、

和＝1,080円
差＝120円

です。

姉は、

（1,080＋120）÷2
＝1,200÷2
＝600円

妹は480円となります。

文章題では、「多い」「少ない」「長い」「短い」といった表現に注目すると差を見つけやすくなります。

3つの数を求める和差算

難関校や塾の応用問題では、3つの数が登場することもあります。

たとえば、

「A、B、Cの合計は150です。AはBより10大きく、BはCより20大きい。それぞれを求めなさい」

という問題です。

Cを基準にすると、

C
B＝C＋20
A＝C＋30

となります。

AとCの差は、

10＋20＝30

です。

線分図では、

A　Cの長さ＋30
B　Cの長さ＋20
C　Cの長さ

と整理できます。

余分な部分の合計は、

30＋20＝50

です。

全体150から余分な50を引くと、

150－50＝100

これはCが3つ分なので、

100÷3

となります。

この例では割り切れないため、実際の入試では数値設定が調整されることが一般的ですが、考え方として重要なのは、一番小さい量にそろえることです。

3つ以上の和差算でも、「余分な差を取り除いて同じ量にそろえる」という基本は変わりません。

文章題では「和」と「差」を探す

和差算を習った直後は解けるのに、テストになるとできない子がいます。

原因の一つは、

「これは和差算です」

と書かれていないと気づけないことです。

文章を読んだら、まず、

「全部でいくつ？」
「どちらがどれだけ多い？」

という2点を探してください。

たとえば、

「男子と女子が合わせて42人。男子は女子より6人多い」

なら、

和＝42
差＝6

です。

「2冊の本のページ数の合計は520ページ。厚い方は薄い方より80ページ多い」

なら、

和＝520
差＝80

です。

題材が変わっても構造は同じです。

和差算が苦手な子への家庭での教え方

いきなり公式を暗記させない

和差算でありがちな失敗は、

（和＋差）÷2
（和－差）÷2

だけを覚えさせることです。

この方法でも基本問題は解けますが、少し表現が変わると、

「どっちに足すの？」

と迷いやすくなります。

まずは具体的な数字を使って、

「2人合わせて100円。兄が20円多いなら、どうすれば同じ金額になる？」

と考えさせてみてください。

差を取る、または差を足してそろえる経験を重ねることで、公式が意味のあるものになります。

線分図は長さの違いを意識する

線分図をきれいに書くことが目的ではありません。

重要なのは、

「どちらが大きいか」
「どれだけ違うか」

が見えることです。

兄が弟より20多いなら、兄の線を少し長く書き、その余った部分に「20」と書くだけで十分です。

線分図が苦手な子に定規を使わせ、細かく整えさせる必要はありません。

むしろ数秒で書ける簡単な図を習慣にした方が、入試でも使いやすくなります。

間違えた問題は数字を変えて解き直す

一度解説を読んで理解しただけでは、定着していないことがあります。

たとえば、

「和80、差20」

の問題を間違えたら、

翌日は、

「和100、差30」

のように数字を変えた問題を解いてみます。

答えを覚えているだけでは通用しないため、本当に考え方を理解しているか確認できます。

また、解き終わったら、

「どうして2で割ったの？」

と聞いてみてください。

「同じ数が2つできたから」

と説明できれば、かなり理解できています。

反対に、

「公式だから」

としか答えられない場合は、線分図に戻って確認した方がよいでしょう。

和差算では、答えを出すことより、なぜその計算になるのかを言葉にできることが応用力につながります。

まとめ｜和差算は「差をそろえる」と理解しやすい

中学受験算数の和差算は、2つの数の和と差から、それぞれの数を求める問題です。

基本公式は、

大きい数＝（和＋差）÷2
小さい数＝（和－差）÷2

ですが、公式だけを暗記する必要はありません。

和差算の本質は、差の部分を足したり引いたりして、2つの量を同じにそろえることです。

線分図を使えば、

「なぜ差を足すのか」
「なぜ差を引くのか」
「なぜ最後に2で割るのか」

が見えやすくなります。

家庭学習では、まず簡単な問題で、

「全部でいくつ？」
「どちらがどれだけ多い？」
「どうすれば同じ長さになる？」

と問いかけてみてください。

この3点を自分で整理できるようになると、文章の表現が変わっても和差算だと気づきやすくなります。

和差算は単独の特殊算として終わるものではありません。線分図で数量関係を整理する習慣は、差集め算、倍数算、年齢算、割合など、その後の中学受験算数でも役立ちます。

焦って難問へ進むより、まずは「差をなくして同じ量にそろえる」という基本を確実に身につけることが、応用問題への近道です。