＼【中学受験】立体図形が “伸び悩みの壁” になっていませんか？／
中学受験の算数で、最も「家庭では教えにくい」と言われるのが立体図形です。
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- 切断・回転・展開図が頭に入らない
- 問題文と図が一致しない
- 点数が安定しない
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中学受験の平均算は「平均＝合計÷個数」だけでは解けない
平均の公式は覚えているのに、うちの子は平均算の文章題になると急に解けなくて不安です
この記事では、そんな悩みに対して、中学受験の平均算で何を考えればよいのか、基本の解き方から面積図の使い方、家庭での教え方まで順を追って解説します。
平均算は、一見すると「平均＝合計÷個数」という簡単な公式だけで解けそうに見えます。
ところが中学受験では、平均そのものを求めるだけではありません。
「全体の平均から一部の平均を求める」「途中から人が増えたときの平均を考える」「平均点を上げるためにあと何点必要か求める」など、合計量を逆算する問題が多く出題されます。
そのため、公式を暗記するだけでは応用問題に対応しにくいのです。
平均算を得点源にするポイントは、平均・個数・合計の3つを自由に行き来できるようにすることです。
まず押さえたい平均算の基本
平均算の出発点は、次の3つの関係です。
平均＝合計÷個数
そして、この式を変形すると、
合計＝平均×個数
となります。
中学受験では、むしろこちらの「平均×個数＝合計」を使う場面が非常に多くあります。
たとえば、5人のテストの平均点が72点なら、
72×5＝360
となり、5人の合計点は360点です。
平均算が苦手な子は、「平均を求める問題」と思った瞬間に割り算をしようとすることがあります。
しかし実際には、最初に合計を求めるために掛け算をする問題も少なくありません。
中学受験では「合計」を考える問題が多い
平均算で大切なのは、「平均」という数字だけを見ないことです。
たとえば、
「男子6人の平均点は70点、女子4人の平均点は80点です。10人全体の平均点は何点ですか」
という問題を考えてみましょう。
70点と80点の平均だから、
（70＋80）÷2＝75点
としてしまう子がいます。
しかし、男子と女子では人数が違います。
男子の合計点は、
70×6＝420点
女子の合計点は、
80×4＝320点
です。
したがって10人の合計は、
420＋320＝740点
全体の平均は、
740÷10＝74点
となります。
平均算では、平均点そのものではなく、その平均が何人分の合計を表しているのかを見ることが重要です。
平均算でつまずく子に多い3つの原因
平均算が苦手な子には、よく似たつまずきがあります。
1つ目は、平均の数字同士をすぐに足したり割ったりしてしまうことです。
2つ目は、「平均×人数＝合計」という考え方が定着していないことです。
3つ目は、文章中の「誰が何人いるのか」を整理しないまま式を作ることです。
特に人数が途中で増減する問題では、頭の中だけで処理すると混乱しやすくなります。
算数が苦手な子ほど、数字を書き出し、
「平均」
「人数」
「合計」
の3項目に整理するだけでも正答率が上がりやすくなります。
中学受験の平均算を解く基本手順
基本例題で平均算の考え方を確認する
次の問題を考えてみましょう。
「4回のテストの平均点が75点でした。5回目に85点を取ったとき、5回の平均点は何点ですか」
まず4回分の合計を求めます。
75×4＝300点
5回目の85点を加えると、
300＋85＝385点
したがって5回の平均は、
385÷5＝77点
です。
ここで重要なのは、
平均→合計→新しい合計→新しい平均
という流れです。
平均算では、この順番を意識するだけで、多くの問題を整理しやすくなります。
人数が違う2グループの平均は単純平均しない
平均算で非常によくあるミスが、「2つの平均の平均」を求めてしまうことです。
たとえば、
A組20人の平均点が60点、B組30人の平均点が70点だったとします。
（60＋70）÷2＝65点
とはなりません。
A組の合計は、
60×20＝1200点
B組の合計は、
70×30＝2100点
合計は3300点です。
人数は50人なので、
3300÷50＝66点
となります。
人数が同じなら平均同士の平均を取っても構いません。
しかし、人数が違う場合は必ず一度「合計」に戻す必要があります。
家庭で教えるときは、
「その60点は何人分の平均？」
と聞いてあげると、単純平均の間違いに気づきやすくなります。
「あと何点必要？」は不足分を考える
中学受験では、目標平均を使った問題も頻出です。
たとえば、
「4回のテストの平均が68点です。5回の平均を72点にするには、5回目に何点取ればよいですか」
まず現在の合計は、
68×4＝272点
5回平均72点にするために必要な合計は、
72×5＝360点
です。
したがって必要な点数は、
360－272＝88点
となります。
このタイプでは、
目標の合計－現在の合計＝必要な点数
と考えます。
「何点取れば平均が○点になるか」という問題を見たら、まず目標となる合計を求める習慣をつけましょう。
平均算は面積図を使うとわかりやすい
面積図では「人数×平均＝合計」と考える
平均算では、面積図が非常に役立ちます。
面積図では、
- 横の長さ＝人数
- 縦の長さ＝平均
- 長方形の面積＝合計
と考えます。
たとえば、10人の平均が70点なら、横10、縦70の長方形をイメージします。
面積は、
10×70＝700
なので、700点が合計点です。
平均算で図を書く目的は、きれいな図を作ることではありません。
平均と人数を掛けると合計になることを目で確認するためです。
つるかめ算に近い発想で差を見る
少し難しい平均算になると、「基準との差」を利用すると簡単に解けることがあります。
たとえば、
「あるクラスの平均点は70点です。80点の生徒が3人、残りの生徒の平均が68点のとき、クラスは何人ですか」
といった問題です。
全体平均70点を基準にすると、80点の3人は1人あたり10点高いので、
10×3＝30点
合計で30点分、平均より上です。
一方、残りの生徒は平均68点なので、1人あたり2点ずつ平均より下です。
30点分を2点ずつ埋め合わせるには、
30÷2＝15人
必要です。
したがって、
3＋15＝18人
となります。
これは面積図で見ると、平均より上に飛び出した部分と、平均より下に足りない部分の面積が等しいことを利用しています。
この「差×人数」の考え方は、つるかめ算にも通じる重要な発想です。
面積図を書くべき問題・書かなくてもよい問題
すべての平均算で面積図を書く必要はありません。
「5回の平均が60点なら合計は何点か」といった基本問題なら、式だけで十分です。
一方、
- 2つ以上のグループが登場する
- 人数がわからない
- 平均より何点高い・低いという条件がある
- 人数が途中で増えたり減ったりする
といった問題では、面積図を使うと関係が見えやすくなります。
算数が苦手な子の場合、最初から「図なしで速く解く」ことを目指す必要はありません。
図を書いて意味を理解し、その後に式だけでも解ける状態を目指すほうが安定します。
平均算が苦手な子を家庭で伸ばす勉強法
公式を覚えさせるより3つの量を意識させる
家庭学習では、
「平均の公式は？」
と繰り返し聞くより、
「人数はいくつ？」
「平均はいくつ？」
「合計はいくつ？」
と3つの量を確認するほうが効果的です。
平均算は公式暗記の単元というより、3つの数量関係を理解する単元だからです。
おすすめなのは、ノートの端に毎回、
平均
人数
合計
と書かせることです。
慣れてくれば、問題文を読んだ段階で「今回は合計がわからない」「今回は人数を求める」と判断できるようになります。
間違えた問題は数字を変えて解き直す
同じ問題を答えまで丸暗記してしまうと、本当に理解できたのか判断しにくくなります。
そこで家庭では、数字を少し変えた類題を作る方法がおすすめです。
たとえば、
「4人の平均が70点」
という問題を解いた後に、
「6人の平均が75点なら合計は？」
と変えてみます。
さらに、
「合計450点、6人なら平均は？」
と逆向きにも聞いてみます。
こうすると、
平均＝合計÷人数
合計＝平均×人数
の関係がつながります。
1問を何度も丸暗記するより、数字や求めるものを少し変えるほうが理解の確認になります。
親は答えより「何の合計？」と質問する
家庭で教えるとき、親がすぐに式を教えてしまうと、子どもはその場では解けても、次の問題で再び止まりやすくなります。
平均算で詰まったときは、
「まず何がわかっている？」
「この平均は何人分？」
「合計にするといくつ？」
「最後に何を求めたい？」
と質問してみてください。
特に有効なのが、
「これは何の合計？」
という問いです。
平均算の文章題では、テストの合計点、人数全体の得点、何日分かの合計など、必ず背景に「全体量」があります。
そこに子ども自身が気づけるようになると、初見問題にも対応しやすくなります。
まとめ｜平均算は「合計」を意識すると得点源になる
中学受験の平均算では、「平均＝合計÷個数」という公式を覚えるだけでは十分ではありません。
大切なのは、
平均×個数＝合計
をすぐに使えるようにすることです。
平均算で迷ったら、
- 平均はいくつか
- 人数・個数はいくつか
- 合計はいくつか
の3つを整理してください。
人数の異なるグループを比べる問題や、目標平均を求める問題では、一度合計に戻すことで解きやすくなります。
また、人数が未知数だったり、平均との差を利用したりする問題では、面積図が強力な助けになります。
家庭学習では、公式を何度も暗唱させるより、「この平均は何人分？」「合計はいくつ？」と問いかけることが大切です。
平均算は、一度「平均・人数・合計」の関係がつながれば、問題の形が変わっても同じ考え方で解ける単元です。
焦って難問を増やすより、まず基本問題で合計に戻す習慣を身につけ、少しずつ面積図を使った応用問題へ進めていきましょう。
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