中学受験算数の線分図｜解き方を基本から解説

中学受験算数で線分図を使う理由

この記事では、中学受験算数における線分図の基本的な書き方と解き方を、家庭で実践できる具体例とともに順を追って解説します。

中学受験算数では、問題文に書かれた数字をそのまま計算するだけでは解けない問題が多く出題されます。

特に、割合、比、年齢算、和差算、過不足算などでは、「どの数量とどの数量を比べているのか」を正しく整理しなければなりません。その整理に役立つのが線分図です。

線分図とは、数量を横線の長さで表した図です。難しい絵を描く必要はなく、線と数字を使って数量の関係を見える形にします。

文章だけでは見えない数量関係を整理できる

例えば、次のような問題を考えてみましょう。

「兄と弟の持っているお金の合計は1,200円で、兄は弟より300円多く持っています。それぞれ何円持っていますか」

文章だけで考えると、「1,200円」と「300円」を足すのか引くのか迷う子がいます。

そこで、兄と弟を二本の線で表します。

兄　――――――――＋300円
弟　――――――――

二本の線を並べると、兄の線から300円分を取り除けば、兄と弟が同じ長さになることが分かります。

合計1,200円から300円を引いた900円が、同じ長さ二本分です。

900÷2＝450円が弟、450＋300＝750円が兄となります。

線分図を使うと、式を暗記するのではなく、なぜ引いてから2で割るのかを理解できます。

線分図が向いている問題を見分ける

線分図は、すべての問題に使うものではありません。単純な計算問題や、位置・移動を考える問題では、別の図や表のほうが適している場合もあります。

線分図が特に役立つのは、次のような言葉が出てくる問題です。

• 合わせて、全部で
• どちらがいくつ多い
• 何倍、何分の一
• 全体の何％
• 残り、使った分
• 増えた、減った
• 同じ数ずつ分ける

問題文を読んで、全体と部分、二つの数量の差、数量同士の比を考える必要があるときは、線分図を候補にします。

一方、「A地点からB地点まで進む」「途中で追いつく」といった速さの問題では、道のりを示す進行図のほうが分かりやすいことがあります。

大切なのは、どんな問題にも線分図を書くことではなく、数量の関係を整理したいときに使うことです。

正確な長さより関係が伝わることが大切

線分図を苦手とする子の中には、線を正確な長さで書こうとして手が止まる子がいます。

しかし、50円と100円を表すとき、100円の線を厳密に2倍の長さにする必要はありません。どちらが大きいか、差がどこにあるかが分かれば十分です。

ただし、大小関係を反対に書いてはいけません。「兄は弟より300円多い」と書かれているなら、兄の線を弟より長くします。

家庭では、線の美しさではなく、次の点を確認してください。

• 大きい数量が長い線になっているか
• 全体と部分が区別されているか
• 差や残りの位置が分かるか
• 数字に単位が付いているか

線分図は作品ではなく、考えるためのメモです。多少曲がっていても、式を立てる助けになれば役割を果たしています。

線分図の基本的な書き方と解き方

線分図を書くときは、問題文を読んですぐ線を引くのではなく、順番を決めて情報を整理します。

基本的な手順は、「求めるものを確認する」「基準となる線を書く」「数字を入れる」「図から式を作る」の四段階です。

求めるものと分かっているものを確認する

最初に、問題文の最後を読んで、何を求めるのか確認します。

例えば、「残った水は何Lですか」と聞かれているなら、求めるものは残った量です。「初めにあった水は何Lですか」と聞かれているなら、求めるものは全体量です。

同じ数字が書かれた問題でも、何を求めるかによって線分図の見方が変わります。

問題文を読んだら、次のように印を付けると整理しやすくなります。

• 求めるものには波線
• 分かっている数字には丸
• 「何倍」「何％」「何円多い」などの関係を表す言葉には下線

線分図を書く前に情報を分類することで、必要な数字だけを図に移せます。

基準となる数量を一本の線で表す

次に、問題の中心となる数量を一本の横線で表します。

例えば、「本を全体の5分の2まで読み、残りが90ページでした。全部で何ページありますか」という問題なら、本全体を一本の線にします。

全体　｜――｜――｜――｜――｜――｜

全体を5等分し、読んだ部分が2つ、残りが3つと考えます。残り3つ分が90ページなので、1つ分は次の式です。

90÷3＝30ページ

全体は5つ分なので、

30×5＝150ページ

となります。

ここで重要なのは、「5分の2」という数字だけを見て、90×5÷2と計算しないことです。90ページは読んだ部分ではなく、残りの5分の3に当たります。

線分図を書けば、90ページがどの部分を表しているかを確認できます。

数字と単位を図に書き込んで式を作る

線分図には、分かっている数字を必ず書き込みます。その際、「円」「人」「個」「ページ」などの単位も付けましょう。

単位がないと、同じ図の中に人数と金額など異なる種類の数量が混ざったとき、何を表す数字なのか分からなくなるからです。

図を書いた後は、すぐに計算するのではなく、図を指しながら次のように考えます。

「この90ページは3つ分」

「1つ分を求めるには3で割る」

「全体は5つ分なので5を掛ける」

このように、図の一部分と式を対応させることが大切です。

線分図を書いても式が出ない子は、図を書いたことで安心し、図を読み取る段階が抜けている場合があります。図を見ながら「今からどの部分を求めるのか」を言葉にさせると、式につながりやすくなります。

線分図で解ける中学受験算数の典型問題

線分図の基本を覚えたら、問題の種類ごとの書き方を練習します。

すべてを別々の解法として暗記するのではなく、「そろえる」「区切る」「変化を書く」という三つの見方を身につけると応用しやすくなります。

和と差の問題は二本の線をそろえる

和差算では、二つの数量を上下に並べます。

「赤い玉と白い玉が合わせて84個あり、赤い玉は白い玉より12個多い」という問題なら、次のように表します。

赤　――――――――＋12個
白　――――――――

多いほうの余分な12個を取り除くと、二本の線が同じ長さになります。

84－12＝72個
72÷2＝36個

白い玉は36個、赤い玉は48個です。

子どもが84÷2をしてしまう場合は、「二本は同じ長さかな」と聞きます。差の12個をそのままにして二等分できないことに気づけば、最初に差を引く理由が理解できます。

割合と比の問題は同じ大きさで区切る

割合や比では、線を同じ大きさに区切ることが重要です。

「男子と女子の人数の比が3対5で、全体が32人」という問題では、男子を3つ分、女子を5つ分として表します。

男子　｜――｜――｜――｜
女子　｜――｜――｜――｜――｜――｜

全部で8つ分が32人なので、

32÷8＝4人

男子は4×3＝12人、女子は4×5＝20人です。

比の問題でつまずく子は、3と5を人数だと思い込むことがあります。線分図では、3と5は実際の人数ではなく、同じ大きさのまとまりがいくつあるかを示します。

「1つ分はいくつか」を先に求める習慣をつけると、比の合計や差を使う問題にも対応しやすくなります。

年齢算や過不足算では前後の変化を書く

年齢算では、現在と何年後かを分けて書きます。

例えば、「現在、父は40歳、子は10歳です。父の年齢が子の年齢の3倍になるのは何年後ですか」という問題では、何年後かを□年後とします。

父　40＋□
子　10＋□

年齢は二人とも同じ年数だけ増えます。この「同じだけ増える」という関係を図や式に表すことが大切です。

5年後なら父45歳、子15歳となり、45÷15＝3です。答えは5年後です。

過不足算では、「一人に何個ずつ配るか」によって余りや不足が変わります。それぞれの配り方を二本の線にし、全体量が同じであることを確認します。

線分図は、異なる場面の中にある「変わらない数量」を見つけるためにも役立ちます。

線分図が書けない子への家庭での教え方

線分図が書けない子に、完成図を見せて「このように書けばいい」と説明するだけでは、自力で書けるようにならないことがあります。

家庭学習では、線分図の正解を覚えさせるより、問題文を線に変換する過程を練習することが重要です。

完成した図を最初から見せすぎない

保護者がきれいな線分図をすぐに書くと、子どもは見れば理解できても、白紙から何を書けばよいか判断できません。

最初は、次のような小さな質問を一つずつ行います。

「この問題には何人出てくる？」

「どちらのほうが多い？」

「全部を一本の線にするなら、どの数量かな？」

「この数字は線全体かな、一部分かな？」

答えを教えるのではなく、一本目の線を決めるところまで子どもに考えさせます。

どうしても書けない場合は、保護者が線だけを書き、数字を入れる場所を子どもに選ばせても構いません。少しずつ任せる範囲を増やします。

問題文と線分図を一文ずつ対応させる

長い問題文を一度に図にしようとすると、情報が多すぎて混乱します。

そこで、文を一つ読むごとに図へ書き加えます。

「Aさんは600円持っています」

まずAさんの線を書き、600円と記入します。

「BさんはAさんの3分の2を持っています」

次にBさんの線を書き、Aさんの線を3等分したうちの2つ分として表します。

この方法なら、どの文章が図のどの部分に対応しているかが明確です。

完成後には、「この600円はどの線を表している？」「3分の2はどの部分？」と確認します。子どもが自分の言葉で説明できれば、図の意味を理解していると判断できます。

短時間の書き直しで自力再現を確認する

一度解けた問題でも、翌日に線分図を書けなければ定着しているとはいえません。

おすすめは、同じ問題を三段階で練習する方法です。

1回目は、解説を見ながら図の意味を理解します。2回目は、その日の学習の最後に、問題文だけを見て線分図を書きます。3回目は翌日または数日後に、何も見ずに解き直します。

1問あたり5〜10分程度で十分です。

家庭学習では正解数だけでなく、次の三点を記録すると成長が見えやすくなります。

• 何を線にするか自分で決められた
• 数字を正しい場所に書けた
• 図を見て式を説明できた

計算を間違えても、線分図と式の考え方が合っていれば、理解は前進しています。反対に、答えが合っていても図を説明できない場合は、偶然や暗記に頼っている可能性があります。

まとめ

中学受験算数の線分図は、数量を横線で表し、全体と部分、二つの数量の差、割合や比を見える形にするための道具です。

線分図の解き方で大切なのは、最初からきれいな図を完成させることではありません。まず何を求めるのかを確認し、基準となる数量を一本の線にして、問題文の数字を正しい場所に書き込みます。その後、図を見ながら「何個分か」「どこが差か」を考えて式を作ります。

和差算では二本の線をそろえ、割合や比では同じ大きさに区切り、年齢算では前後の変化を表すことが基本です。

家庭では「線分図を書きなさい」と指示するだけでなく、「どちらが多い？」「この数字は全体？一部分？」と具体的に問いかけてください。

一度理解した問題は、時間を空けてもう一度線分図から書かせます。自力で図を再現し、その図を使って式の意味を説明できるようになれば、初めて見る問題にも線分図を応用できる力が育っていきます。