中学受験算数の方陣算｜解き方と公式をやさしく解説

中学受験算数の方陣算とは？まず基本を理解しよう

この記事では、そんな悩みを持つ保護者に向けて、中学受験算数の方陣算とは何か、中実方陣・中空方陣の違い、基本的な解き方から家庭での教え方まで順を追って解説します。

方陣算は、人や碁石などを正方形の形に並べたときの個数を考える特殊算です。

見た目は図形問題のようですが、実際には、

「1辺に何個並ぶのか」
「角を何回数えているのか」
「何重に並んでいるのか」

を整理する問題です。

算数が苦手な子ほど公式だけを覚えようとして混乱しやすいため、最初は小さな正方形を書きながら仕組みを理解することが大切です。

方陣算は、中学受験算数で昔から扱われる代表的な特殊算の一つです。

まずは問題の形を理解しておきましょう。

方陣算は人や物を正方形に並べる問題

例えば、36人の子どもを正方形になるように並べるとします。

縦に6人、横に6人並べれば、

6×6＝36人

になります。

このように、正方形の内部まで全部埋めて並べる形を「中実方陣」と呼びます。

一方、

○ ○ ○ ○
○　　　○
○　　　○
○ ○ ○ ○

のように、外側だけを囲むように並べる問題もあります。

こちらが「中空方陣」です。

方陣算で最初に確認したいのは、

中まで埋まっているのか、外側だけなのか

という点です。

ここを読み違えると、その後の計算がすべてずれてしまいます。

中実方陣と中空方陣の違い

中実方陣は、正方形の中まで全部人や物が並んでいます。

例えば1辺に5人ずつ並んでいれば、

5×5＝25人

です。

とてもシンプルです。

一方、中空方陣では外周だけに並びます。

1辺に5人ずついる場合、

5×4＝20人

としたくなりますが、これでは四隅の人を2回ずつ数えています。

正しくは、

5×4－4＝16人

です。

または、

（5－1）×4＝16人

と考えても構いません。

なぜ「4を引く」のかを理解することが、方陣算攻略の第一歩です。

公式より「1辺に何人いるか」を見る

方陣算には、

中実方陣
1辺の人数×1辺の人数

中空方陣
（1辺の人数－1）×4

などの公式があります。

しかし、中学受験では公式をそのまま使える問題ばかりではありません。

例えば、

「正方形の形に子どもを並べると、いちばん外側に24人必要でした」

と聞かれたら、

24÷4＝6

として終わりではありません。

（1辺－1）×4＝24

なので、

1辺－1＝6
1辺＝7人

となります。

公式を覚えるだけでは、この「＋1」を忘れやすくなります。

だからこそ、最初は必ず簡単な図を書き、

「角は隣の辺と共有している」

と確認することが大切です。

方陣算の基本的な解き方を例題で確認

ここからは、中学受験でよく出る方陣算を具体的に見ていきましょう。

中実方陣は「1辺×1辺」で求める

例題です。

「81人の子どもを、縦と横の人数が同じになるよう正方形に並べました。1辺には何人並んでいますか。」

中実方陣では、

1辺×1辺＝全部の人数

です。

81になる同じ数の掛け算を考えると、

9×9＝81

なので、

答えは9人です。

反対に、

「1辺に12人ずつ並んだ中実方陣では、全部で何人いますか」

なら、

12×12＝144人

です。

中実方陣は比較的簡単ですが、「平方数」に慣れていない子は計算に時間がかかることがあります。

4×4＝16
5×5＝25
6×6＝36
7×7＝49
8×8＝64
9×9＝81
10×10＝100

程度は、すぐ思い浮かぶようにしておくと便利です。

中空方陣は四隅の重なりに注意する

次の問題を考えます。

「子どもが正方形の周りに1列で並んでいます。1辺に8人ずつ並ぶとき、全部で何人いますか。」

単純に、

8×4＝32人

ではありません。

四隅の4人は、縦の辺と横の辺の両方に含まれています。

そのため、

8×4－4＝28人

です。

別の考え方では、

1辺ごとに「次の角まで何人増えるか」を見ると、

8－1＝7人

なので、

7×4＝28人

となります。

算数が苦手な子には、後者の

「1つの角から次の角までに7人ずつ増える」

という説明のほうが理解しやすい場合があります。

何重にも並ぶ問題は外側から考える

中学受験では、1列だけでなく2重、3重に並べる問題も出ます。

例えば、

「1辺に10人並ぶ正方形を、外側から2列の中空方陣にしました。全部で何人必要ですか。」

まず外側の1周を考えます。

（10－1）×4＝36人

次に、その1つ内側です。

外側から1列内側に入ると、正方形の1辺は左右で1人ずつ減るため、

10－2＝8人

になります。

内側の1周は、

（8－1）×4＝28人

です。

したがって、

36＋28＝64人

となります。

「2列だから外側の人数を2倍」

としてはいけません。

内側に行くほど1周が短くなるからです。

何重にもなる問題ほど、外側から1周ずつ計算する方法が安全です。

中学受験の方陣算でつまずきやすいポイント

方陣算が苦手な子には、いくつか共通するミスがあります。

四隅を2回数えてしまう

もっとも多いのが、

1辺の人数×4

としてしまうミスです。

例えば1辺6人なら、

6×4＝24人

と計算してしまいます。

しかし実際には四隅の4人が重複しています。

正解は、

6×4－4＝20人

です。

家庭では、紙に6個ずつ点を書いて正方形を作り、

「左上の点は上の辺にも左の辺にも入っているね」

と確認してみましょう。

一度目で理解できなくても、小さな3×3や4×4の図で数えると納得しやすくなります。

「間の数」と「人数」を混同する

方陣算では、「人の数」と「人と人との間の数」の違いも重要です。

例えば、1辺に5人並ぶなら、人と人との間は4つです。

○―○―○―○―○

人は5人ですが、間は4つです。

中空方陣の

（1辺の人数－1）×4

という式も、この「間の数」に注目していると考えることができます。

植木算と似た発想です。

この関係が分かると、方陣算の公式が単なる暗記ではなくなります。

公式だけ覚えて問題文が変わると解けない

方陣算では、

「外側に何人」
「1辺に何人」
「全部で何人」
「何列に並んだか」

など、聞かれ方が変わります。

公式を一方向でしか覚えていないと、

（1辺－1）×4＝人数

は使えても、

人数から1辺を逆算する問題で止まります。

例えば外周が40人なら、

40÷4＝10

ここで終わらず、

1辺－1＝10

なので、

1辺＝11人

です。

家庭では式を作ったあと、

「この10は何を表している？」

と聞いてみると、理解の深さを確認できます。

方陣算が苦手な子に家庭で教えるコツ

方陣算は、文章だけで理解させようとすると難しく感じやすい単元です。

家庭では「見える形」にしてあげることが効果的です。

おはじきや点を書いて実際に並べる

最初はおはじき、硬貨、ブロックなどを使っても構いません。

例えば16個のおはじきを、

4×4

に並べます。

次に外側だけを残すと、

12個

になります。

そこで、

「全部16個なのに、外側だけだと12個なんだね」

と確認します。

実際に数えることで、

4×4＝16

と、

（4－1）×4＝12

の違いが感覚的に分かります。

具体物を使うのは幼い学習法に見えるかもしれませんが、抽象的な公式の意味を理解するうえでは非常に有効です。

小さい方陣から規則を見つける

方陣算を理解するには、3×3、4×4、5×5と少しずつ大きくしてみる方法もおすすめです。

外側1周の人数を数えると、

1辺3人 → 8人
1辺4人 → 12人
1辺5人 → 16人
1辺6人 → 20人

となります。

毎回4人ずつ増えています。

なぜでしょうか。

1辺が1人増えると、4方向で1人ずつ増えるからです。

このように、自分で規則に気づく経験をすると、

（1辺－1）×4

という式の意味がより深く理解できます。

中学受験算数では、この「小さい場合を試して規則を見つける」という考え方が、規則性や場合の数にもつながります。

答えより「なぜ4を引くのか」を説明させる

家庭学習で大切なのは、正解したかどうかだけではありません。

例えば、

8×4－4＝28

と正しく計算できたとしても、

「なぜ4を引いたの？」

と聞いてみてください。

「公式だから」

と答えるなら、まだ仕組みの理解は十分ではありません。

「四隅を2回数えているから」

と言えれば、かなり理解できています。

さらに、

「じゃあ正五角形みたいに5辺だったら？」

と聞くと、

「角が5個だから5を引くのかな」

と発展的に考えることもできます。

保護者が問題を全部解説する必要はありません。

むしろ、

「この数字は何？」
「どこが重なっている？」
「図にするとどうなる？」

と質問するだけで、子ども自身が考え直せることがあります。

方陣算では、たくさんの問題を解くよりも、1問ごとに図と式の意味を結びつけるほうが定着しやすくなります。

まとめ｜方陣算は図を書いて重なりを整理すれば解ける

中学受験算数の方陣算は、公式をいくつも覚えなければならない単元に見えます。

しかし、基本はシンプルです。

中実方陣なら、

1辺×1辺＝全部の人数

中空方陣なら、

（1辺の人数－1）×4＝外周の人数

と考えます。

大切なのは、式そのものより「なぜそうなるのか」を理解することです。

特に中空方陣では、

四隅が重なって数えられている

ことを意識しましょう。

また、何重にも並ぶ問題では、外側から1周ずつ人数を求めていけば整理しやすくなります。

方陣算が苦手な子には、いきなり公式を暗記させるのではなく、3×3や4×4程度の小さな図を書いて実際に人数を数えさせてみてください。

「本当にこの式になる」と自分で確かめる経験が、理解につながります。

中学受験算数では、複雑な問題ほど図に戻して考える力が重要です。

方陣算を通して、

図を書く→重なりを見つける→式にする

という流れを身につけておくと、植木算や規則性など他の単元にも応用しやすくなります。