中学受験算数の長椅子問題｜過不足算の解き方を解説

中学受験算数の長椅子問題とは？

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数でよく出る長椅子問題の基本的な考え方から、過不足算としての解き方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数では、

「1脚に4人ずつ座ると何人か座れない」
「1脚に5人ずつ座ると何席か空く」

といった長椅子の問題がよく出題されます。

一見すると文章がややこしく感じますが、考えるポイントはそれほど多くありません。

大切なのは、座り方を変えたときに、1脚あたりの席数がどれだけ増えるのかを整理することです。

この考え方が分かれば、長椅子だけでなく、鉛筆を配る問題やクラス分けの問題など、過不足算全体にも応用できます。

長椅子問題は過不足算の代表例

長椅子問題は、中学受験算数で学ぶ「過不足算」の代表的な問題です。

過不足算とは、同じものをいくつかずつ配ったとき、

「何個余る」
「何個足りない」

といった違いを利用して、人数や個数を求める問題です。

たとえば、

「子どもを長椅子に4人ずつ座らせると6人座れません。5人ずつ座らせると4席空きます。長椅子は何脚ありますか」

という問題を考えます。

4人ずつ座る場合は「6人座れない」ので、席が6人分足りません。

一方、5人ずつ座る場合は「4席空く」ので、席が4人分余ります。

この2つの状態の違いを利用して、長椅子の数を求めます。

「人が余る」と「椅子が余る」の違いに注意

長椅子問題で最も多いつまずきが、「何が余っているのか」を読み違えることです。

たとえば、

「6人座れない」

なら、余っているのは人です。

一方、

「4席空く」

なら、余っているのは席です。

さらに、

「長椅子が2脚余る」

という条件なら、余るのは席ではなく長椅子そのものです。

この違いを曖昧にしたまま式を立てると、答えが合わなくなります。

家庭で教えるときには、問題文を読んだらまず、

「余ったのは人？」
「席？」
「長椅子そのもの？」

と確認する習慣をつけるとよいでしょう。

公式暗記より2つの座り方を比べることが大切

過不足算には、

「不足と余りを足して、1つあたりの差で割る」

という形の公式があります。

しかし、公式だけ覚えてしまうと、

「この問題は足すの？引くの？」

と混乱する子も少なくありません。

長椅子問題では、まず2つの座り方を比べて、

席が全部で何人分増えたのか

を考える方が分かりやすくなります。

なぜその計算になるのかを理解していれば、文章の形が少し変わった応用問題にも対応できます。

長椅子問題の基本的な解き方

1脚あたり何人増えるかを確認する

先ほどの問題を使います。

「4人ずつ座ると6人座れず、5人ずつ座ると4席空く」

4人ずつから5人ずつへ変えると、1脚あたり座れる人数は、

5－4＝1人

増えます。

つまり、長椅子が1脚あるごとに席が1つずつ増えることになります。

長椅子が10脚なら10席増え、20脚なら20席増えるということです。

この「1脚あたり何席増えるか」が、長椅子問題の中心となります。

余った人数と空いた席を合わせて考える

4人ずつ座ると6人が座れませんでした。

つまり、最初は6席足りない状態です。

そこから1脚あたり1席ずつ増やしていくと、最終的には4席余る状態になりました。

必要だった席は、

不足していた6席
＋
最後に余った4席

なので、

6＋4＝10席

増えたことになります。

1脚あたり1席ずつ増えた結果、全部で10席増えたのですから、

10÷1＝10脚

となります。

長椅子は10脚です。

ここで、

「不足6と余り4をどうして足すの？」

と聞く子もいます。

その場合は、

「最初はゴールより6席足りなかった。そこから4席余るところまで増やしたから、全部では10席分変わったんだよ」

と説明すると理解しやすくなります。

長椅子の数が分かれば全体の人数を求める

長椅子が10脚と分かれば、子どもの人数も求められます。

4人ずつ座ると6人座れないので、

10×4＋6
＝40＋6
＝46人

です。

5人ずつ座る場合でも、

10×5－4
＝50－4
＝46人

となります。

どちらでも同じ46人になりました。

長椅子問題では、答えを求めたあとにもう一方の条件でも成り立つか確認することが非常に大切です。

この確かめを習慣にすると、計算ミスにも気づきやすくなります。

中学受験で出る長椅子の応用問題

「長椅子が何脚か余る」問題の考え方

少し難しくなると、

「5人ずつ座ると3人座れないが、6人ずつ座ると長椅子が2脚余る」

という形が出てきます。

注意したいのは、「2脚余る」が「2席余る」ではないことです。

6人用として考えているなら、長椅子2脚には、

6×2＝12人分

の席があります。

したがって、後半の条件は「12席分が余る」と考えます。

このように、長椅子そのものが余る問題では、

余った長椅子の数×1脚に座る人数

で、余っている席数へ直すことがポイントです。

文章の単位をそろえてから計算すると、混乱しにくくなります。

座る人数が2人以上変わる問題

たとえば、

「3人ずつ座ると12人座れず、5人ずつ座ると4席空く」

とします。

今回は1脚あたり、

5－3＝2人

多く座れます。

最初の不足12席から最後の余り4席までなので、増えた席は、

12＋4＝16席

です。

1脚につき2席ずつ増えたので、

16÷2＝8脚

となります。

子どもの人数は、

8×3＋12＝36人

です。

重要なのは、「いつでも余りと不足を足して終わり」ではなく、

全体で増えた席数÷1脚あたり増えた席数

と意味を理解しておくことです。

最後の長椅子だけ人数が少ない問題

中学受験では、

「4人ずつ座ると7人座れない。5人ずつ座ると、最後の1脚には2人だけ座る」

といった表現もあります。

「最後の1脚に2人だけ」というのは、その長椅子には本来5人座れるところ、2人しか座っていないということです。

つまり、

5－2＝3席

空いています。

したがって、「5人ずつ座ると3席余る」と読み替えられます。

このように文章の表現が変わっても、

不足している席
余っている席

の形へ直せば、基本問題と同じ考え方で解けます。

難しい問題ほど、文章をそのまま計算しようとせず、分かりやすい形へ言い換えることが大切です。

長椅子問題が苦手な子への家庭での教え方

実際に長椅子を四角で書いて考える

長椅子問題で式だけ見せても理解できない子には、簡単な図を描かせてみましょう。

たとえば長椅子を、

□　□　□　□

のような四角で表します。

4人ずつなら、

●●●●｜●●●●｜●●●●

5人ずつなら、

●●●●●｜●●●●●｜●●●●●

というように考えます。

実際には全部の人数を書く必要はありません。

「1脚ごとに席が1つ増える」

ことが目で分かれば十分です。

過不足算が苦手な子ほど、最初から頭の中だけで処理させないことが大切です。

「余るのは人？席？」を必ず確認する

家庭で最も効果的なのは、答えを教えることではなく質問することです。

問題を読んだあと、

「4人ずつのとき、足りないのは何？」
「5人ずつのとき、余るのは何？」
「1脚あたり何席増える？」

と順番に聞いてみてください。

子どもが自分の言葉で、

「6人が座れないから6席足りない」
「4席空くから4席余る」

と言えれば、問題の状況はかなり理解できています。

反対に、ここが説明できない状態で式だけ作らせても、応用問題にはつながりにくいでしょう。

式だけでなく答えを元の条件に戻して確かめる

長椅子問題では、検算が簡単にできます。

たとえば答えが、

長椅子10脚
子ども46人

だったなら、

4人ずつなら
10×4＝40人座る
46－40＝6人座れない

5人ずつなら
10×5＝50席
50－46＝4席空く

となります。

問題文の条件と完全に一致しています。

子どもが間違えたときも、いきなり解き直させるのではなく、

「この答えで4人ずつ座らせてみよう」

と確認すると、自分で間違いに気づくことがあります。

中学受験算数では、この「答えを問題文へ戻して確かめる力」が非常に重要です。

まとめ｜長椅子問題は「席の増減」を整理すれば解ける

中学受験算数の長椅子問題は、過不足算の代表的な問題です。

文章が長くなると難しく感じますが、基本的に考えることは、

座り方を変えた結果、席が全体で何席増えたのか

です。

基本問題では、

・まず余っているのが人・席・長椅子のどれか確認する
・1脚あたり何人多く座るのか求める
・不足していた席と余った席を整理する
・全体の席の変化から長椅子の数を求める
・最後に元の条件へ戻して確かめる

という順番で考えます。

特に、

「4人ずつなら6人座れない」
「5人ずつなら4席空く」

なら、

不足6席から余り4席まで変化した
↓
全部で10席増えた
↓
1脚につき1席増える
↓
長椅子は10脚

と考えれば、公式を丸暗記しなくても解けます。

家庭で教えるときも、「この公式を使うの」と先に教えるより、

「最初は何席足りなかった？」
「最後は何席余った？」
「1脚ごとに席はいくつ増えた？」

と一つずつ質問してください。

長椅子問題を理解することは、過不足算全体の理解にもつながります。

鉛筆を配る問題、お菓子を分ける問題、班分けの問題なども、表面的な設定が違うだけで考え方は同じです。

「余りと不足の公式」を覚えるのではなく、2つの状態の差を考える問題だと理解できれば、中学受験本番で見慣れない過不足算が出ても落ち着いて対応しやすくなります。