中学受験算数の図形・相似｜見つけ方と解き方

中学受験算数の図形・相似で最初に理解したい基本

この記事では、中学受験算数の図形で相似を見つける基本から、辺の比・面積比を使った典型問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数では、相似は平面図形の重要単元です。

単独で出題されるだけでなく、

・比
・面積比
・平行線
・補助線
・図形の移動

などと組み合わされるため、相似が苦手だと図形問題全体に影響しやすくなります。

ただし、相似は公式をたくさん暗記する単元ではありません。

まずは「どの図形とどの図形が同じ形なのか」を正確に見つけることが出発点です。

相似とは「形が同じで大きさだけが違う図形」

相似とは、簡単に言えば、

「形は同じで、大きさだけが違う図形」

のことです。

たとえば、辺の長さが、

3cm・4cm・5cm

の三角形と、

6cm・8cm・10cm

の三角形があったとします。

それぞれの辺はすべて2倍になっているため、2つの三角形は同じ形です。

このとき、対応する辺の比は、

3：6＝4：8＝5：10＝1：2

となります。

中学受験では、この「対応する辺が同じ割合で伸び縮みする」という性質を使って、分からない長さや面積を求めます。

対応する辺を正しく見つけることが最重要

相似問題で最も多い失敗は、計算ミスではなく「対応する辺の取り違え」です。

たとえば相似比が、

2：3

だからといって、図に書いてある数字を適当に2：3で結んではいけません。

どの頂点とどの頂点が対応しているかを確認し、

小さい三角形の左辺 ↔ 大きい三角形の左辺
小さい三角形の底辺 ↔ 大きい三角形の底辺

というように対応させます。

図が回転している問題では、同じ形でも向きが違って見えます。

算数が苦手な子ほど、頭の中だけで合わせようとせず、三角形を別に描き出したほうが安全です。

相似比と面積比の違いを整理する

相似で必ず押さえたいのが、

相似比と面積比

の関係です。

相似比が、

2：3

なら、対応する辺の長さは2：3です。

一方、面積比は、

2×2：3×3＝4：9

になります。

つまり、

相似比＝a：b
面積比＝a²：b²

です。

たとえば相似比が3：5なら、

面積比＝9：25

となります。

「辺が2倍なら面積も2倍」と考えてしまう子は多いため、

縦も2倍、横も2倍
→面積は2×2＝4倍

と長方形などで確認すると理解しやすくなります。

中学受験の相似図形を見つける3つのパターン

相似が苦手な子の多くは、比の計算よりも「相似を発見するところ」で止まっています。

中学受験では、相似が現れやすい形があります。

まずは代表的な3パターンを覚えておきましょう。

平行線があれば相似を疑う

図形問題に平行線が出てきたら、相似を疑うのが基本です。

たとえば三角形ABCの辺AB上にD、辺AC上にEがあり、

DEとBCが平行

だとします。

このとき、

三角形ADE
三角形ABC

は同じ形になります。

小さい三角形が大きい三角形の中に入った形です。

たとえば、

AD：AB＝2：5

なら、

AE：AC＝DE：BC＝2：5

と考えられます。

問題文に「平行」と書いてあったら、

「相似がどこかにないかな？」

と探す習慣をつけるとよいでしょう。

三角形が重なった「砂時計型」を見つける

中学受験で非常によく出るのが、2つの三角形が頂点で向かい合う形です。

見た目が砂時計に似ているため、「砂時計型」と呼ばれることがあります。

交差する2本の直線によって、

△AOB
△COD

のような三角形ができ、ABとCDが平行なら、この2つの三角形は相似になります。

ポイントは、中心の角です。

交差したところにできる向かい合う角は等しくなります。

さらに平行線によってもう1組の角が等しくなるため、相似を見つけられます。

この形では、

AO：OC＝BO：OD＝AB：CD

という対応関係を使います。

「ピラミッド型」は共通する角に注目する

もう一つの定番が、三角形の中に小さな三角形が入っている形です。

大きな三角形と小さな三角形が同じ頂点を共有しているため、「ピラミッド型」と呼ばれることもあります。

たとえば、

△ABCの内部にDEがあり、DEとBCが平行

なら、

△ADEと△ABC

が相似です。

このタイプでは頂点Aの角が共通しています。

さらに平行線によって対応する角が等しくなるため、相似だと判断できます。

砂時計型とピラミッド型は中学受験の平面図形で頻出なので、見た瞬間に候補として考えられるようになると大きな強みになります。

相似を使った典型問題の解き方

相似が見つかったら、次は比を使って答えを出します。

ここでは中学受験でよく出る3つのタイプを確認します。

辺の長さを比で求める問題

例として、

小さい三角形と大きい三角形が相似で、対応する辺が、

4cm ↔ 10cm
6cm ↔ □cm

だとします。

相似比は、

4：10＝2：5

です。

したがって、

6：□＝2：5

なので、

□＝6×5÷2＝15cm

となります。

ここで重要なのは、いきなり比例式を書くことではありません。

まず、

「4cmと10cmが対応している」
「6cmと□cmが対応している」

と確認します。

対応さえ正しければ、その後の計算は難しくありません。

面積比を求める問題

次に、

2つの相似な三角形の相似比が3：4

だったとします。

この場合の面積比は、

3²：4²＝9：16

です。

もし小さい三角形の面積が27㎠なら、

27：大きい三角形＝9：16

となります。

27÷9＝3

なので、

3×16＝48㎠

です。

辺の比をそのまま面積比にしないことがポイントです。

家庭では、

「長さは何倍？」
「面積なら縦も横も何倍？」

と順番に聞くと整理しやすくなります。

相似と面積比を組み合わせる問題

実際の入試では、

「相似比を求めて終わり」

ではなく、その比から面積を求める問題が増えます。

たとえば、大きな三角形と小さな三角形の相似比が、

5：3

なら面積比は、

25：9

です。

大きな三角形全体の面積が100㎠なら、小さい三角形は、

100×9÷25＝36㎠

となります。

さらに、

100－36＝64㎠

とすれば、周囲の部分の面積も求められます。

このように、

相似を発見する
↓
辺の比を求める
↓
面積比に変える
↓
必要な部分の面積を計算する

という流れが、中学受験図形の典型です。

相似が苦手な子に家庭でできる教え方

相似が苦手な子に対して、

「ここ相似でしょ」
「比を使えば解けるよ」

と答えを教えても、次の問題ではまた止まってしまいます。

家庭では、「相似を自分で見つけるための動作」を身につけさせることが大切です。

図を回して同じ向きに描き直す

相似な三角形が逆向きや斜め向きに配置されていると、算数が苦手な子は別の形だと感じやすくなります。

そこで、問題の余白に2つの三角形を別々に描き、

同じ向き

にそろえてみてください。

たとえば砂時計型なら、片方の三角形を頭の中で回転させるのではなく、実際に描き直します。

すると、

「この辺とこの辺が対応している」

ことが一気に見やすくなります。

対応する辺に同じ印をつける

対応関係のミスが多い子には、

○
△
二重線

などの印を使う方法がおすすめです。

たとえば、

AB ↔ DE
BC ↔ EF
CA ↔ FD

と分かったら、それぞれ同じ印をつけます。

すると比を作るときに、

AB：DE＝BC：EF

と対応を崩さず書けます。

相似問題では、計算力以上に「対応を正確に保つこと」が大切です。

補助線は「相似を作るため」と考える

応用問題になると、最初から相似が見えているとは限りません。

そこで補助線を引きます。

子どもにとって補助線は、

「ひらめいた人だけが引ける線」

のように感じられがちです。

しかし実際には、

平行線を作れないか
三角形を2つ作れないか
既にある相似とつなげられないか

と考えて引く場合が多くあります。

つまり補助線は「なんとなく引く」のではなく、

「相似を作れそうだから引く」

という目的を持つことが重要です。

答えより「どの三角形が相似か」を言わせる

家庭で丸つけをするときは、正答だけを確認しないようにしましょう。

たとえば、

「どの三角形とどの三角形が相似？」
「対応する辺はどこ？」
「相似比はいくつ？」

と順番に聞きます。

ここまで答えられれば、たとえ最後に計算ミスをしていても、相似そのものは理解できています。

反対に答えが合っていても、

「なんとなくこの比を使った」

という状態なら、別の図では解けない可能性があります。

相似では「正解したか」よりも、「なぜその比を使えたか」を説明できることが大切です。

まとめ｜相似は「対応」と「比」を見抜けば得点源になる

中学受験算数の図形で相似を攻略するために、最初に身につけたいのは難しいテクニックではありません。

基本は、

「同じ形の三角形を見つける」
「対応する辺をそろえる」
「比を使う」

という3段階です。

特に重要なのが、対応する辺を間違えないことです。

また、中学受験では、

平行線
砂時計型
ピラミッド型

の中に相似が隠れていることが多いため、これらの形を見たら相似を探す習慣をつけてください。

相似比が、

2：3

なら辺の比は2：3ですが、面積比は、

4：9

です。

この違いも確実に整理しておきましょう。

家庭では、すぐに解き方を教えるより、

「相似な三角形はどれ？」
「この辺はどこと対応する？」
「辺の比が2：3なら面積はどうなる？」

と問いかけるのがおすすめです。

図形問題が苦手な子ほど、頭の中だけで処理させず、三角形を描き直し、対応する辺に印をつけて整理させてください。

相似は最初こそ見つけにくい単元ですが、頻出パターンが見えるようになると、辺の長さだけでなく面積比や複合図形まで一気に解きやすくなります。

「相似を使う問題」と覚えるのではなく、「同じ形を見つけて、対応する長さを比べる問題」と理解することが、中学受験算数の図形を得点源に変える第一歩です。