中学受験算数の川の流れ｜流水算の基本と解き方

中学受験算数の川の流れで最初に覚えたい基本

この記事では、中学受験算数の川の流れを使う流水算について、上り・下りの基本から典型問題、応用問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数で「川の流れ」が出てくる問題は、一般に流水算と呼ばれます。

速さの単元の中でも苦手にする子が多い理由は、

・船そのものの速さ
・川の流れの速さ
・実際に岸から見た船の速さ

という3種類の速さが登場するからです。

しかし、この3つを整理できれば、基本問題はそれほど難しくありません。

静水時の速さ・川の流れ・実際の速さを整理する

まず知っておきたいのが「静水時の速さ」です。

静水時とは、川の流れがまったくない水の上を船が進むと考えたときの速さです。

たとえば、

船の静水時の速さ＝毎時10km
川の流れ＝毎時2km

だとします。

船そのものは毎時10km進む力を持っています。

そこに川の流れが加わるか、逆らうかによって、岸から見た速さが変わります。

流水算では、この「船自身の力」と「川の流れ」を分けて考えることが大切です。

下りは足す・上りは引く理由

川を下るときは、船の進む向きと川の流れる向きが同じです。

そのため、

下りの速さ＝静水時の速さ＋川の流れの速さ

となります。

先ほどの例なら、

10＋2＝12km/時

です。

反対に上るときは、船の進む向きと川の流れが反対になります。

したがって、

上りの速さ＝静水時の速さ－川の流れの速さ

です。

10－2＝8km/時

となります。

公式として覚えるより、

「下りは川に押してもらえる」
「上りは川に押し戻される」

と考えたほうが忘れにくくなります。

上りと下りから静水時の速さと流速を求める

中学受験では、上りと下りの速さから静水時の速さを逆算する問題もよく出ます。

たとえば、

下り＝毎時14km
上り＝毎時8km

だとします。

この2つを足すと、

14＋8＝22

です。

静水時の速さは、

22÷2＝11km/時

となります。

次に流速は、

14－11＝3km/時

です。

または、

14－8＝6

として、その差の半分、

6÷2＝3km/時

と求めても構いません。

つまり、

静水時の速さ＝（下り＋上り）÷2
流速＝（下り－上り）÷2

となります。

ただし、最初からこの公式だけを暗記させるより、

下り＝船＋川
上り＝船－川

と書いて考えたほうが理解は安定します。

川の流れを使う流水算の典型問題を解いてみよう

流水算では、基本となる速さが分かったあとに、

速さ×時間＝距離

の関係を使います。

ここでは中学受験でよく出る典型問題を確認しましょう。

下りの速さを求める問題

例題です。

「静水時の速さが毎時12kmの船があります。川の流れが毎時3kmのとき、下りの速さは毎時何kmですか。」

下りなので、

12＋3＝15

答えは毎時15kmです。

同じ条件で上りなら、

12－3＝9

毎時9kmになります。

非常に基本的な問題ですが、ここで、

「12と3を足した理由は？」

と子どもに説明してもらうことが大切です。

「下りだから」だけではなく、

「船と川が同じ方向へ進むから」

まで言えれば理解できています。

上りと下りの時間から距離を求める問題

次に、

「静水時の速さが毎時10km、川の流れが毎時2kmの船があります。ある地点から下流の地点まで3時間かかりました。2地点間の距離は何kmですか。」

下りの速さは、

10＋2＝12km/時

です。

3時間進んだので、

12×3＝36km

答えは36kmです。

もし同じ36kmを上るなら、上りの速さは、

10－2＝8km/時

です。

したがって、

36÷8＝4.5時間

かかります。

同じ距離でも、上りと下りでは時間が違うことが分かります。

往復にかかった時間を求める問題

では、

「静水時の速さが毎時9km、流速が毎時3kmの船が、36km離れた2地点を往復します。往復に何時間かかりますか。」

とします。

下りは、

9＋3＝12km/時

なので、

36÷12＝3時間

です。

上りは、

9－3＝6km/時

なので、

36÷6＝6時間

です。

往復では、

3＋6＝9時間

となります。

ここで注意したいのが、

「往復だから平均の速さは9km/時」

と考えないことです。

行きと帰りでかかる時間が違うため、単純に上りと下りの速さを平均してはいけません。

中学受験の流水算で差がつく応用問題の考え方

応用問題になると、船が途中で止まったり、引き返したり、川の流れが途中で変わったりします。

それでも基本は同じです。

「今どちら向きに、何km/時で進んでいるか」

を区切って整理します。

船が止まる・引き返す問題は時間を区切る

たとえば、

「船が下流へ2時間進み、30分停泊してから上流へ戻った」

という問題です。

このとき最初から全部を1本の式で解こうとすると混乱します。

そこで、

①下った時間
②止まった時間
③上った時間

に分けます。

停泊中は船はエンジンで進みませんが、岸につながれているのか、川に浮かんでいるのかによって扱いが変わる問題もあります。

問題文の条件を丁寧に読むことが重要です。

流水算の応用では、「何時間たったか」だけでなく、「その間に何が起きたか」を区切って考えましょう。

流速が変わる問題は区間ごとに整理する

川の上流と下流で流速が違う問題もあります。

たとえば、

A地点からB地点までは流速毎時2km
B地点からC地点までは流速毎時3km

という場合です。

船の静水時の速さが毎時10kmなら、下りの速さは、

A→B：10＋2＝12km/時
B→C：10＋3＝13km/時

となります。

このような問題では、

区間
距離
速さ
時間

を表にして整理すると解きやすくなります。

頭の中だけで処理しようとすると、どの区間でどの流速を使うのか分からなくなりがちです。

比を使うと速さや時間を短く求められる

流水算は比と組み合わせて出題されることもあります。

たとえば同じ距離を、

下り毎時12km
上り毎時8km

で進むなら、速さの比は、

12：8＝3：2

です。

同じ距離では、時間の比は逆になるので、

下りの時間：上りの時間＝2：3

となります。

もし往復に5時間かかったなら、

下り2時間
上り3時間

とすぐ分かります。

速さと時間の関係は、

同じ距離なら速いほど時間は短い

ということです。

比を使えるようになると、複雑な流水算を短く処理できる場面が増えます。

川の流れが苦手な子に家庭でできる教え方

流水算でつまずく子には、

「下りは足す、上りは引く」

と何度も暗記させるだけでは十分ではありません。

なぜ足すのかを体感できるイメージと結びつけることが大切です。

動く歩道に置き換えてイメージする

川の流れがイメージしにくい子には、空港などにある「動く歩道」を例にすると分かりやすくなります。

自分が毎分60mで歩けるとします。

動く歩道も同じ方向へ毎分20mで動いていれば、

60＋20＝80m/分

で進みます。

逆向きの動く歩道を無理に進めば、

60－20＝40m/分

になります。

これは流水算とまったく同じ考え方です。

船＝歩く人
川＝動く歩道

と置き換えると、上りと下りの違いを理解しやすくなります。

「誰から見た速さか」を毎回確認する

流水算では、

船そのものの速さ
岸から見た速さ

を混同しがちです。

そこで家庭では、

「この10km/時は船だけの速さ？」
「それとも岸から見た速さ？」

と確認してみてください。

静水時の速さは「川が動いていないと仮定したときの船の速さ」です。

下り・上りは「実際に岸から見た速さ」です。

この区別ができるだけで、多くのミスを防げます。

図に矢印を書いて足す・引くを見える化する

文章だけでは理解しにくい子には、矢印を書かせます。

下りなら、

船 →
川 →

と同じ向きに矢印を書きます。

同じ方向なので足し算です。

上りなら、

船 ←
川 →

と反対向きです。

そのため引き算になります。

非常に単純ですが、この図を書く習慣をつけると、問題が複雑になっても方向を間違えにくくなります。

公式暗記ではなく3つの速さを言葉で説明させる

問題が解けたあとには、

「静水時の速さって何？」
「下りの速さはどうやって出した？」
「上りはなぜ遅くなるの？」

と聞いてみてください。

子どもが、

「船が自分で進む速さに、川が押す速さを足す」

と説明できれば、かなり理解できています。

逆に、

「下りだから足した」

だけなら、まだ公式暗記に近い状態です。

中学受験では問題の条件が変わるため、意味まで理解しているほうが応用に強くなります。

まとめ｜川の流れは「船の速さ±流速」で整理しよう

中学受験算数の川の流れを使う流水算では、まず3つの速さを区別することが大切です。

静水時の速さ
川の流れの速さ
岸から見た上り・下りの速さ

基本は、

下り＝静水時の速さ＋流速
上り＝静水時の速さ－流速

です。

ただし、この2つを単なる公式として覚えるのではなく、

下りでは船と川が同じ方向
上りでは船と川が反対方向

と理解してください。

さらに、

距離＝速さ×時間

を組み合わせれば、典型的な流水算の多くは解けます。

応用問題では、船が止まったり、引き返したり、流速が区間によって変わったりしますが、その場合も時間や区間を分けて考えれば基本は同じです。

家庭では「下りだから足すよ」と教えるだけでなく、

「船はどちらへ進んでいる？」
「川はどちらへ流れている？」
「この速さは誰から見た速さ？」

と問いかけてみてください。

川の流れの問題は、最初は速さが何種類も出てきて複雑に感じます。

しかし、「船自身の速さ」と「川の流れ」を分けて整理できるようになると、上り・下りだけでなく往復や比を使った応用問題にも対応しやすくなります。

まずは矢印を書き、「同じ向きなら足す、反対向きなら引く」という意味をしっかり理解することから始めましょう。