中学受験算数「余り」の解き方｜苦手を防ぐ4つのコツ

中学受験算数の「余り」でつまずく理由

この記事では、中学受験算数の「余り」でなぜつまずくのか、基本の考え方から入試で使える解き方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験で出る余りの問題は、単純な「17÷5＝3あまり2」だけではありません。

余りを使って元の数を求めたり、「同じ余りになる数」を考えたり、曜日や周期と組み合わせたりします。

そのため、計算方法だけを覚えている子ほど、問題が少し変わっただけで手が止まりやすくなります。

余りは「割り算の答えの一部」と理解する

まず確認したいのは、余りの意味です。

たとえば、17個のあめを5人に同じ数ずつ配るとします。

1人3個ずつ配れば、

5×3＝15

となり、2個残ります。

したがって、

17÷5＝3あまり2

です。

ここで大切なのは、「3」という商だけでなく「2」という余りも、17個を正しく表すために必要だということです。

17＝5×3＋2

となります。

中学受験では、この関係を理解しているかどうかで大きな差がつきます。

「余りは割る数より小さい」が最重要ルール

余りには必ず、

余り＜割る数

というルールがあります。

たとえば、

□÷7＝5あまり9

という式は成立しません。

余りが9なら、さらに7を1回引けるからです。

正しく整理すると、

7×6＋2

となり、「6あまり2」です。

入試では「余りとして考えられる最大の数」を問う問題もあります。

7で割るなら、余りは

0、1、2、3、4、5、6

のいずれかです。

「余りがある」と書かれていれば0を除き、最大は6となります。

このルールは整数問題の土台なので、反射的に使える状態にしておきましょう。

文章題になると何を割るのか分からなくなる

余りが苦手な子に多いのが、「計算はできるけれど、文章題で式が立てられない」という状態です。

原因は、割り算を「数字の操作」として覚えていることにあります。

たとえば、

「53人を6人ずつの班に分けると、何班できて何人余りますか」

なら、

53÷6＝8あまり5

です。

一方、

「53人全員が座れるように、1台6人乗りの車は最低何台必要ですか」

では、同じ53÷6でも答えは9台になります。

8台では5人が乗れないためです。

このように余りの問題では、計算結果だけでなく「余ったものをどう扱うか」まで考える必要があります。

中学受験算数「余り」の基本的な解き方

余りの問題を安定して解くために、最初に身につけたい形があります。

それが、

割られる数＝割る数×商＋余り

です。

この形を使えるようになると、逆算問題や整数問題にも対応しやすくなります。

「割られる数＝割る数×商＋余り」を使う

たとえば、

「ある数を8で割ると、商が12、余りが5でした。ある数を求めなさい」

という問題なら、

8×12＋5＝101

よって答えは101です。

式だけ覚えるより、

「8個入りの箱が12箱あり、それとは別に5個残っている」

と考えると理解しやすくなります。

家庭で教えるときも、

「全部でいくつだったの？」

と問いかけ、

「箱に入った分＋余った分」

に戻してあげるとよいでしょう。

余りから元の数を求める問題

中学受験では、条件から整数そのものを探す問題もよく出ます。

たとえば、

「ある数を6で割ると4余ります。50より大きく70より小さい数をすべて求めなさい」

とします。

6で割って4余る数は、

6×□＋4

と表せます。

50付近から考えると、

6×8＋4＝52
6×9＋4＝58
6×10＋4＝64
6×11＋4＝70

です。

「70より小さい」ため、答えは

52、58、64

となります。

ポイントは、1から順番に試すのではなく、

6の倍数に4を足した数

と見ることです。

これが余りの問題を速く解く基本になります。

「あと何個必要か」を問う不足の問題

余りとセットで注意したいのが、「あといくつあればちょうどよいか」という問題です。

たとえば、

「38個のお菓子を5個ずつ袋に入れます。あと何個あれば、余りなく袋詰めできますか」

38÷5＝7あまり3

ですが、答えは3個ではありません。

次の5の倍数である40にするため、

40－38＝2

よって2個です。

あるいは、

5－3＝2

としても求められます。

ここで子どもが「3個」と答えたら、計算ミスではなく「余りと不足の違い」が理解できていない可能性があります。

中学受験でよく出る余りの応用問題とコツ

中学受験では、余り単独よりも、倍数・周期・整数条件などと組み合わせて出題されることが多くあります。

基本の割り算から一段進んで、「余りが何を意味しているか」に注目しましょう。

同じ数で割ると同じ余りになる問題

たとえば、

「53と81をある整数で割ると、どちらも4余りました。割る数として考えられる数を求めなさい」

という問題です。

まず余り4を取り除きます。

53－4＝49
81－4＝77

つまり、求める数は49と77の両方を割り切れる数です。

49と77の公約数を考えると、

49＝7×7
77＝7×11

なので共通するのは7です。

よって割る数は7。

このタイプでは、

同じ余りを引いてから公約数を考える

のが基本です。

周期・曜日・並び方と余りを結びつける

余りは周期問題でも頻繁に使います。

たとえば、

赤・青・黄・緑

の4色を順番に繰り返すとき、43番目の色を考えます。

43÷4＝10あまり3

なので、43番目は1周期の3番目、つまり黄色です。

このとき重要なのは余り0です。

44÷4＝11あまり0

なら、44番目は周期の「0番目」ではなく、4番目の緑です。

周期問題では、

余り1→1番目
余り2→2番目
余り3→3番目
余り0→最後

と整理しておくとミスが減ります。

曜日の問題や、カード・図形・数列が繰り返される問題でも同じ考え方が使えます。

余りが条件になった整数問題の考え方

少し難しくなると、

「5で割ると2余り、7で割ると4余る数」

のように複数の条件が出ます。

小学生では無理に難しい公式を覚える必要はありません。

まず一方の条件を満たす数を書き出します。

5で割って2余る数なら、

2、7、12、17、22、27、32、37、……

です。

この中から7で割って4余る数を探します。

32÷7＝4あまり4

なので、32が条件を満たします。

範囲が小さい問題なら、このように規則正しく候補を書き出す方法が確実です。

大切なのは、闇雲に1、2、3……と調べるのではなく、最初の条件で候補を絞ることです。

余りが苦手な子に家庭でできる勉強法

余りの苦手克服では、難しい問題集を増やすよりも、「余りとは何か」を言葉と具体例で確認するほうが効果的です。

特に小4・小5の段階で意味を固めておくと、その後の整数問題や周期問題が楽になります。

式より先に具体物で余りを確認する

余りが曖昧な子には、おはじきや鉛筆などを実際に分けてみる方法がおすすめです。

たとえば13個を4個ずつ並べると、

4個、4個、4個、1個

になります。

そこで、

「4個のまとまりはいくつ？」
「まとまりに入らなかったものはいくつ？」

と聞きます。

答えは「3まとまり、1個余り」です。

13÷4＝3あまり1

という式が、実際の状態と結びつきます。

答え合わせでは「なぜその余りか」を説明させる

正解した問題でも、

「どうして余りが3なの？」

と一言聞いてみてください。

子どもが、

「7×5＝35で、38から35を引くと3だから」

と説明できれば理解しています。

逆に、答えは合っていても説明できない場合は、たまたま計算できただけかもしれません。

家庭学習では「正解したか」だけでなく、

自分の言葉で説明できるか

を見ることが重要です。

間違いを3タイプに分けて復習する

余りのミスは、次の3種類に分けると改善しやすくなります。

1つ目は、単純な割り算の計算ミス。

2つ目は、「余り＜割る数」のルール違反。

3つ目は、文章題で余りをそのまま答えるのか、切り上げるのか、不足を求めるのかを判断できないミスです。

たとえば車の台数問題で「8あまり5」まで計算できているのに8台と答えたなら、計算練習を増やす必要はありません。

必要なのは、

「5人余ったままで全員乗れる？」

と問題の意味に戻ることです。

間違いの原因に合わない復習を続けると、勉強時間を増やしても点数につながりにくくなります。

まとめ｜余りは意味を理解すると中学受験の得点源になる

中学受験算数の余りでは、まず

割られる数＝割る数×商＋余り

という関係と、

余りは必ず割る数より小さい

という2つを確実に理解することが大切です。

そのうえで、余りから元の数を求める問題、あといくつ必要かを考える問題、同じ余りから公約数を探す問題、周期問題へと段階的に進みましょう。

余りが苦手な子に、いきなり難問を大量に解かせる必要はありません。

たとえば、

「23個を5個ずつ分けると何個余る？」
「あと何個あれば5個ずつきれいに分けられる？」

という2問を並べるだけでも、「余り」と「不足」の違いを確認できます。

中学受験算数では、一見難しそうな整数問題でも、もとをたどれば小学校で学ぶ割り算の意味が土台になっています。

家庭では答えを急いで教えるより、

「何個ずつのまとまりなの？」
「まとまりに入らなかったのはいくつ？」
「余ったものは、この問題ではどうすればいい？」

と問いかけてみてください。

余りを単なる計算結果ではなく、「割ったあとに残った数」としてイメージできるようになると、整数・周期・場合の数など、さらに広い単元の理解にもつながっていきます。