中学受験算数の天秤算とは？解き方と教え方を解説

中学受験算数の天秤算とは？何に使う解き方？

この記事では、中学受験算数の天秤算とは何か、基本的な解き方から食塩水・平均への使い方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数では、割合や平均の問題を解く方法として「天秤算」を使うことがあります。

名前の通り、天秤が左右でつり合うイメージを利用する解法です。

特に、

濃度の違う食塩水を混ぜる
点数の違う2グループを合わせる
単価の違う商品を混ぜる

といった「2種類のものを混ぜて、その中間の値になる問題」と相性がよい方法です。

ただし、「差を出して逆比にする」とだけ暗記すると、数字が少し変わっただけで混乱しやすくなります。

まずは、なぜ逆比になるのかを感覚的に理解することが大切です。

天秤算は、2つの異なる値を持つものを混ぜたときに、その量の比を求める方法です。

最初に仕組みを理解すると、食塩水だけでなく平均算などにも応用できます。

天秤算は「差」と「量」のつり合いを見る方法

たとえば、

4％の食塩水
10％の食塩水

を混ぜて、6％の食塩水を作るとします。

6％は4％と10％の間にあります。

ここで、

4％と6％の差は2
10％と6％の差は4

です。

天秤算では、この差を反対側の量に対応させます。

つまり、

4％の食塩水：10％の食塩水
＝4：2
＝2：1

となります。

なぜ4％の食塩水のほうが多いのでしょうか。

完成する6％は、10％より4％に近い値です。

そのため、4％の食塩水を多く入れなければ6％にはなりません。

ここが天秤算の基本感覚です。

食塩水・平均・割合の問題で使える

天秤算というと食塩水を思い浮かべることが多いですが、本質は「2つの値を混ぜて中間の値を作る」ことです。

そのため、

A組の平均点は60点
B組の平均点は80点
2組合わせた平均は68点

という問題にも使えます。

68点と60点の差は8点。

80点と68点の差は12点。

したがって人数の比は、

A組：B組
＝12：8
＝3：2

となります。

同じ考え方で、単価や割合などの問題にも利用できます。

公式暗記だけでは解けなくなる理由

天秤算を習った子がよくするミスに、

「差をそのまま比にする」

というものがあります。

先ほどの4％と10％を混ぜて6％にする問題なら、

4％との差が2
10％との差が4

だから、

4％：10％＝2：4

としてしまいます。

しかし正しくは逆です。

完成した値から遠いほうは、少ない量でも全体へ大きく影響します。

反対に、完成した値に近いほうは多く必要です。

そのため、

「差が大きい側の数字を、反対側の量につける」

という関係になります。

この意味を理解していないと、逆比にする理由を忘れやすくなります。

天秤算の基本的な解き方を具体例で解説

ここでは、実際の問題を使って天秤算の手順を確認します。

例題は、

「4％の食塩水と10％の食塩水を混ぜて、6％の食塩水を作ります。2種類の食塩水を何対何で混ぜればよいですか」

とします。

手順1：左右に2つの数を書く

まず、混ぜる前の2つの値を左右に置きます。

4％　　　　10％

そして、できあがる6％を中央に置きます。

4％　　6％　　10％

天秤を横から見たような形をイメージすると分かりやすくなります。

大切なのは、完成する濃度が必ず4％と10％の間にあることです。

もし「12％になります」と書かれていたら、4％と10％だけを混ぜて12％になることはありません。

この確認だけでも、問題文の読み違いを防げます。

手順2：答えを間に置いて「差」を求める

次に、中央の6％との差を求めます。

6－4＝2
10－6＝4

となります。

図では、

4％ ←2→ 6％ ←4→ 10％

という関係です。

この差が、天秤の左右の「腕の長さ」のような役割をします。

手順3：差の逆比から量の比を出す

最後に、差を反対側へ持っていきます。

4％側には4
10％側には2

が対応します。

したがって、

4％の食塩水：10％の食塩水
＝4：2
＝2：1

です。

実際に確かめてみましょう。

4％を200g、10％を100g混ぜるとします。

食塩の量は、

200×0.04＝8g
100×0.10＝10g

合計18gです。

食塩水全体は300gなので、

18÷300＝0.06

つまり6％になります。

天秤算で求めた2：1が正しいことが確認できます。

中学受験でよく出る天秤算の問題パターン

入試では、比を求めるだけで終わらず、そこから実際の量や人数を求める問題へ発展することがあります。

代表的なパターンを押さえておきましょう。

濃度の違う食塩水を混ぜる問題

まず最も典型的なのが食塩水です。

「5％と15％の食塩水を混ぜて9％にする」

とします。

差は、

9－5＝4
15－9＝6

です。

したがって、

5％：15％
＝6：4
＝3：2

となります。

ここで確認したいのは、9％が5％に近いことです。

そのため5％の食塩水を多めに入れる3：2になる、と感覚でも確かめられます。

答えを出した後に、

「完成した濃度に近いほうが多くなっている？」

と確認する習慣をつけると、逆比の取り違えに気づきやすくなります。

平均点から人数の比を求める問題

天秤算は平均算でも便利です。

たとえば、

Aグループの平均点は70点
Bグループの平均点は90点
全体の平均点は78点

だったとします。

差を求めると、

78－70＝8
90－78＝12

です。

したがって、

A：B
＝12：8
＝3：2

となります。

Aグループの人数が多いため、全体平均78点は70点寄りになります。

この「平均がどちらへ寄っているか」を見ることも、天秤算を理解するうえで重要です。

混ぜる量そのものを求める応用問題

入試では、

「合計600gになるように混ぜるとき、それぞれ何g必要ですか」

と聞かれる場合があります。

たとえば4％と10％を混ぜて6％にするなら、先ほど求めた比は、

2：1

です。

合計は、

2＋1＝3

なので、600gを3等分します。

600÷3＝200g

したがって、

4％の食塩水
200×2＝400g

10％の食塩水
200×1＝200g

となります。

天秤算は、比を求めて終わりではありません。

比が出た後は、

「全体の何個分なのか」

を考えて実際の量へ戻します。

この後半部分で止まる子もいるため、比の配分までセットで練習しておきましょう。

天秤算が苦手な子への家庭での教え方

天秤算は便利な解法ですが、算数が苦手な子にいきなり図だけを覚えさせると混乱することがあります。

家庭では、意味から入るほうが理解しやすくなります。

「近いほうを多くする」と感覚から理解させる

たとえば、

0℃の水と100℃のお湯を混ぜて20℃にしたい

と考えてみましょう。

20℃は0℃に近いため、

「冷たい水を多く入れそう」

と直感的に分かります。

同じことが食塩水でも起こります。

4％と10％から6％を作るなら、6％は4％に近いため4％のほうを多くします。

まずこの感覚を持たせてから、

「だから差とは逆の比になるんだね」

と説明すると理解しやすくなります。

数字だけで覚えるより、完成した値がどちらに近いかを見る癖をつけましょう。

面積図と天秤算を使い分ける

食塩水や平均の問題には、面積図を使う方法もあります。

どちらを使うべきか迷う保護者もいるでしょう。

基本的には、

2種類の量の比を素早く求めたい
→天秤算

濃度・量・食塩の量などの関係を丁寧に整理したい
→面積図

と考えると分かりやすくなります。

算数が苦手な子には、最初から天秤算だけを押しつける必要はありません。

面積図で「なぜこの比になるか」を理解した後、天秤算で短く解く方法へ進んでもよいでしょう。

解法を増やすことより、子どもが意味を説明できることのほうが重要です。

数字を簡単にして同じ型を繰り返す

天秤算を定着させるなら、最初は差が分かりやすい数字を使います。

たとえば、

2％と8％から4％
10点と20点から15点
100円と200円から150円

などです。

まず図を書き、差を出し、逆比にする流れを繰り返します。

慣れたら、

3％と11％から8％
65点と85点から73点

のように少し複雑な数字へ進めます。

間違えたときには、

「逆比にして」

と答えを教えるのではなく、

「完成した値はどちらに近い？」
「近いほうは多くなる？少なくなる？」

と聞いてください。

自分で矛盾に気づけるようになると、天秤算は単なる暗記ではなく、使える解法になります。

まとめ｜中学受験算数の天秤算は「差の逆比」がポイント

中学受験算数の天秤算は、濃度や平均など、2種類の値を混ぜて中間の値を作る問題で役立つ解法です。

基本手順はシンプルです。

まず、2つの値を左右に置きます。

次に、できあがる値を中央に置き、それぞれとの差を求めます。

最後に、その差を逆に対応させて量の比を出します。

たとえば4％と10％から6％を作るなら、

6－4＝2
10－6＝4

なので、

4％：10％
＝4：2
＝2：1

となります。

ただし、「差を逆にする」とだけ覚えさせるのはおすすめできません。

先に、

「完成する値に近いほうを多く使う」

という感覚を持たせることが大切です。

家庭では、

「6％は4％と10％のどちらに近い？」
「だったら、どちらを多く入れそう？」

と聞いてみてください。

この確認ができれば、比を逆にしてしまうミスも減らせます。

また、天秤算だけにこだわる必要もありません。

意味が理解しにくい場合は面積図で数量関係を確認し、その後で天秤算の短い解法につなげる方法も有効です。

中学受験算数では、解法を覚えた数よりも、「なぜその計算になるのか」を説明できることが応用力につながります。

天秤算も、差と量のつり合いを理解できれば、食塩水・平均・割合など幅広い問題で頼れる道具になります。