中学受験算数の最大公約数｜解き方と文章題のコツ

中学受験算数の最大公約数とは

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の最大公約数の意味、基本的な求め方、文章題での見分け方まで順を追って解説します。

最大公約数は、中学受験算数の「数の性質」で非常によく使う考え方です。

計算だけならできる子でも、文章題になると「これは最大公約数なのか、最小公倍数なのか」で迷うことがあります。

まずは言葉の意味を整理しましょう。

約数・公約数・最大公約数の違い

たとえば12の約数は、

1、2、3、4、6、12

です。

18の約数は、

1、2、3、6、9、18

です。

この2つに共通する約数は、

1、2、3、6

です。

これが「公約数」です。

その中で最も大きい数は6なので、

12と18の最大公約数は6

となります。

つまり、

約数＝ある数を割り切れる数
公約数＝2つ以上の数に共通する約数
最大公約数＝公約数の中で一番大きい数

です。

言葉を難しく覚えるより、「両方をきれいに割れる中で一番大きい数」と説明すると、小学生にも伝わりやすくなります。

最大公約数は「共通して割れる最大の数」

最大公約数の本質は、「同じ大きさにできるだけ大きく分ける」ことです。

たとえば、

12cmと18cmのひもを、余りが出ないように同じ長さで、できるだけ長く切る

とします。

12cmも18cmも割り切れる長さは、

1cm、2cm、3cm、6cm

です。

この中で最も長いのは6cm。

したがって答えは6cmです。

ここで「最大公約数を使う」と暗記するより、

「どちらも余らず分けられて、その中で最大」

と意味を理解しておくことが大切です。

最小公倍数との違いを整理する

最大公約数と混同しやすいのが最小公倍数です。

2つの違いを簡単に整理すると、

最大公約数＝分ける
最小公倍数＝そろう

と覚えると分かりやすいでしょう。

たとえば、

12cmと18cmを同じ長さで最大に切る
→最大公約数

12分ごとと18分ごとのバスが次に同時に来る
→最小公倍数

です。

文章題で迷ったときは、

「小さく分けているのか」
「時間や回数を合わせているのか」

を確認すると判断しやすくなります。

最大公約数の基本的な求め方

最大公約数にはいくつかの求め方があります。

中学受験では、数字の大きさによって方法を使い分けられると計算時間を短縮できます。

方法1｜約数を書き出して探す

最も基本的なのが、約数を書き出す方法です。

たとえば24と36なら、

24の約数
1、2、3、4、6、8、12、24

36の約数
1、2、3、4、6、9、12、18、36

共通する約数は、

1、2、3、4、6、12

です。

したがって最大公約数は12です。

数字が小さいうちは、この方法で構いません。

むしろ最初から速い計算法を教えるより、「何を求めているのか」を理解するために、約数を書き出す練習は大切です。

方法2｜素因数分解で求める

数字が大きくなると、約数を全部書くのは大変です。

そこで素因数分解を使います。

たとえば72と108を考えます。

72＝2×2×2×3×3
108＝2×2×3×3×3

共通しているのは、

2×2×3×3

なので、

最大公約数は36

です。

ポイントは、

「両方にあるものだけ取る」

ことです。

2は72に3個ありますが、108には2個しかないので2個まで。

3は72に2個、108に3個あるので2個までです。

最大公約数では、共通する素因数を少ない個数に合わせる、と考えると分かりやすくなります。

3つの数でも共通する部分だけを使う

中学受験では3つの数の最大公約数も出ます。

たとえば、

24、36、60

の最大公約数を求めるとします。

24＝2×2×2×3
36＝2×2×3×3
60＝2×2×3×5

3つすべてに共通しているのは、

2×2×3

です。

したがって、

最大公約数は12

です。

2つの数でも3つの数でも考え方は同じです。

「全部に共通しているものだけを見る」

ことが大切です。

中学受験で最大公約数を使う文章題

中学入試では、「最大公約数を求めなさい」と直接聞かれるだけではありません。

文章の中から最大公約数を使うと判断する必要があります。

「同じ長さに切る」は最大公約数を疑う

典型的なのが、ひもや棒を切る問題です。

たとえば、

84cmと126cmの2本のリボンを、余りが出ないように同じ長さで、できるだけ長く切ります。

この場合、

84と126の最大公約数

を求めます。

84＝2×2×3×7
126＝2×3×3×7

共通するのは、

2×3×7＝42

なので、1本42cmです。

「余りなく」「同じ長さ」「できるだけ長く」という言葉がそろったら、最大公約数を疑いましょう。

「できるだけ大きい正方形」で敷き詰める問題

図形でも最大公約数が登場します。

たとえば、

縦24cm、横36cmの長方形を、同じ大きさの正方形で余りなく敷き詰める。正方形をできるだけ大きくすると、一辺は何cmか。

という問題です。

正方形の一辺は、

24も36も割り切れる長さ

でなければなりません。

しかも「できるだけ大きく」とあるので、

24と36の最大公約数＝12

となります。

答えは一辺12cmです。

このタイプでは、

「正方形だから面積を求める」

と考えないことが大切です。

最初に必要なのは、一辺の長さです。

人数や品物を同じ数ずつ分ける問題

分配の問題にも最大公約数が使われます。

たとえば、

鉛筆48本と消しゴム72個を、どの袋にも同じ本数・同じ個数ずつ入れて、できるだけ多くの袋を作る

とします。

袋の数は、

48と72の最大公約数

です。

48＝2×2×2×2×3
72＝2×2×2×3×3

最大公約数は24。

したがって24袋作れます。

1袋には、

鉛筆48÷24＝2本
消しゴム72÷24＝3個

入ります。

ここでは「できるだけ多くの袋」という言葉がポイントです。

同じ内容で分けるためには、袋の数が48と72の両方を割り切る必要があります。

最大公約数が苦手な子への家庭での教え方

最大公約数が苦手な子には、計算方法だけを繰り返すより「何をしているのか」を実感させるほうが効果的です。

最初は具体物を分けるイメージを持たせる

たとえば12個のあめと18個のチョコを用意したとします。

「同じ内容の袋を、できるだけたくさん作るなら何袋？」

と考えます。

6袋なら、

1袋にあめ2個
チョコ3個

ずつ入ります。

実際に丸を書いて分けても構いません。

数字だけを見るより、「同じように分ける」イメージを持つことで、最大公約数の意味を理解しやすくなります。

最大公約数と最小公倍数を言葉で区別する

家庭でよくあるつまずきが、

「最大公約数と最小公倍数、どっちだっけ？」

という状態です。

その場合は、公式より言葉で区別させます。

最大公約数
→同じ大きさに分ける・最大にする

最小公倍数
→周期や時間を合わせる・最初にそろう

と覚えます。

さらに問題文を読んだあと、

「これは分ける問題？そろえる問題？」

と聞くと、判断力がついてきます。

毎日5分で約数を書く練習をする

最大公約数が苦手な子は、実は約数そのものがすぐ出てこないことがあります。

そこで、

12の約数
18の約数
24の約数

などを毎日2～3個書く練習がおすすめです。

目標は、約数をバラバラに探すのではなく、

1×24
2×12
3×8
4×6

のようにペアで見つけること。

こうすると漏れが減ります。

長時間やる必要はありません。

1日5分程度でも、約数を見つけるスピードが上がると、最大公約数の問題全体が解きやすくなります。

まとめ｜最大公約数は「最大でそろえる」と考えよう

中学受験算数の最大公約数では、まず言葉の意味を理解することが大切です。

最大公約数とは、

「2つ以上の数をすべて割り切れる数の中で、一番大きい数」

です。

たとえば12と18なら、

共通する約数は1、2、3、6。

最大公約数は6です。

基本問題では、

約数を書き出す
素因数分解を使う

という方法で求められます。

そして文章題では、

同じ長さに切る
同じ大きさの正方形に分ける
同じ内容でできるだけ多く分ける

という場面で最大公約数を使います。

一方、

次に同時になる
同じ周期でそろう

という問題は最小公倍数であることが多いので、区別しましょう。

家庭で教えるときは、

「これは最大公約数を使う問題」

と最初から教えるより、

「何を同じにしたいの？」
「大きくしたい？多く分けたい？」
「両方を割り切れる必要がある？」

と問いかけるほうが理解につながります。

最大公約数は、ただ数字を割るための単元ではありません。

文章の条件から、

「共通して分けられる最大の大きさ」

を見つける力を育てる単元です。

この意味が分かれば、ひも・正方形・袋分けなど問題の見た目が変わっても対応しやすくなります。

中学受験算数では、計算方法の暗記より、「なぜ最大公約数を使うのか」を説明できる状態を目指していきましょう。