中学受験算数「円の移動」の解き方とコツ

中学受験算数の「円の移動」は何が難しい？

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の「円の移動」で押さえる基本と典型問題の解き方、家庭で理解させるコツまで順番に解説します。

中学受験算数では、円が直線上を転がったり、多角形の周りを移動したりする問題が出題されます。

円周の公式自体は、

直径×3.14

なので、それほど難しくありません。

それでも円の移動を苦手にする子が多いのは、計算ではなく、「何がどのように動いているのか」を頭の中で整理する必要があるからです。

まずは円の移動で混同しやすい3つのポイントを確認しましょう。

円そのものと中心の動きを混同しやすい

円の移動では、

円全体が通る場所
円の中心が通る道筋
円周上の1点が動く道筋

は、それぞれ違います。

たとえば半径2cmの円が一直線に10cm転がったとします。

円の中心は地面から2cm離れたところを、地面と平行に10cm移動します。

一方、円周上の点は単純な直線を進むわけではありません。

ここを混同すると、問題文に「中心が動いた距離」「円が通過した部分」などと書かれたときに迷います。

円の移動問題では、最初に何の動きを調べるのかを確認することが大切です。

「滑らずに転がる」は円周がポイント

「円が滑らずに転がる」という条件も頻出です。

滑らずに1回転すると、円が進む距離はちょうど円周1周分になります。

半径3cmなら、

円周
＝2×3×3.14
＝18.84cm

です。

したがって、この円が1回転すると18.84cm進みます。

2回転なら、

18.84×2＝37.68cm

です。

この関係が、円の移動問題の最も基本となります。

まず何を求める問題なのか整理する

円の移動では、問題を読んだらすぐ計算を始めるのではなく、

「何を求めるの？」

と子どもに確認してみてください。

求めるものは主に、

回転数
進んだ距離
中心の移動距離
円が通過した面積
円周上の点の位置

のどれかです。

ここが決まるだけでも、使う考え方をかなり絞れます。

円が移動する問題の基本的な解き方

円の移動は、いくつかの基本を理解すれば難しくありません。

重要なのは、問題ごとに別の解法を覚えるのではなく、円周と中心の動きに戻って考えることです。

円が1回転すると進む距離は円周と同じ

まず必ず覚えておきたい関係が、

1回転で進む距離＝円周

です。

直径10cmの円なら、

10×3.14＝31.4cm

進むと1回転します。

反対に、

「直径10cmの円が94.2cm進みました。何回転しましたか」

なら、

94.2÷31.4＝3

なので3回転です。

つまり、

回転数＝進んだ距離÷円周

と考えればよいのです。

ただし、「滑らずに転がる」という条件があることは必ず確認してください。

移動距離から回転数を求める

たとえば半径5cmの円が157cm転がる場合を考えます。

まず円周は、

2×5×3.14＝31.4cm

です。

次に、

157÷31.4＝5

となるので、答えは5回転です。

算数が苦手な子は、最初から式をまとめて書くと混乱しやすいため、

①円周を求める
②移動距離を円周で割る

という2段階に分けましょう。

「1回で31.4cm進む。それが157cmの中に何回入る？」

と説明すると理解しやすくなります。

円の中心が動く道筋を考える

円が多角形の外側や内側を移動する問題では、中心の動きに注目します。

半径2cmの円が壁に接しながら移動すると、円の中心は常に壁から2cm離れた場所にあります。

つまり、元の図形そのものを中心が通るわけではありません。

ここが円の移動で非常に重要なポイントです。

家庭で教える場合は、円の中心に赤い点を付けたつもりで、

「この赤い点はどこを通る？」

と聞いてみてください。

円そのものを追うよりも、中心だけに注目したほうが移動経路を整理しやすくなります。

角を曲がるときは中心が円弧を描く

特につまずきやすいのが、円が多角形の角を回る場面です。

円が角に接したまま向きを変えるとき、中心はその角を中心とした円弧上を動きます。

半径が3cmの円なら、中心から角までの距離も3cmです。

したがって中心の軌跡は半径3cmの円の一部になります。

たとえば90度の角を回るなら、中心は円周の4分の1にあたる弧を進みます。

この「直線部分＋円弧部分」に分ける考え方を身につけると、多角形の周りを移動する問題が解きやすくなります。

中学受験でよく出る円の移動パターン

入試問題では、基本的な円周計算だけでなく、移動と図形を組み合わせた問題がよく見られます。

代表的な4パターンを押さえておきましょう。

直線上を円が転がる問題

最も基本的なのは、一直線上を円が転がる問題です。

ポイントは、

円周＝直径×3.14
回転数＝移動距離÷円周

の2つです。

たとえば直径4cmの円が62.8cm進めば、

円周＝4×3.14＝12.56cm

62.8÷12.56＝5

なので5回転です。

このタイプは、円の移動問題の入口です。

まずここを確実にしましょう。

多角形の外側を円が転がる問題

正方形や長方形の外側を円が一周する問題では、角を曲がる部分がポイントです。

中心の道筋を見ると、

直線部分
＋
角を回る円弧部分

に分けられます。

たとえば長方形の外側を円が一周すると、4つの角で中心が描く円弧を合わせると、基本的には1つの円周分になります。

ここで、

「角が4つだから何でも4倍」

と考えないことが大切です。

それぞれの角度を合わせて360度になるから、結果として1周分になるのです。

この理由まで理解しておくと、三角形や五角形になっても応用できます。

円が通過した部分の面積を求める問題

円が移動したときに「通過した部分の面積」を求める問題も頻出です。

たとえば半径2cmの円が直線上を10cm移動するとします。

通過部分は、おおまかに見ると、

縦が直径4cm
横が10cm

の長方形に、両端の半円を合わせた形になります。

両端の半円を合わせると円1個になるため、

長方形の面積
＝10×4＝40cm²

円の面積
＝2×2×3.14＝12.56cm²

合計は、

40＋12.56＝52.56cm²

です。

ここでも「円がどこを通ったか」を直接考えるより、形を長方形と円に分けると簡単になります。

円周上の点がどこへ移動するかを考える問題

やや難しい問題では、円周上に点Aが置かれ、

「円が何cm転がったとき、点Aはどの位置に来ますか」

と聞かれることがあります。

この場合は、

移動距離÷円周

を考えます。

ちょうど1回転なら点Aは元と同じ向きに戻ります。

2分の1回転なら反対側、4分の1回転なら90度回転した位置です。

たとえば移動距離が円周の2.5倍なら、

2回転＋半回転

なので、最後は最初と反対側の位置になります。

回転数が整数でない場合は、「余った回転分」を考えるのがポイントです。

円の移動が苦手な子の勉強法と家庭での教え方

円の移動は、公式暗記だけではなかなか得意になりません。

頭の中で動きを想像できない子には、目で見て理解できる工夫を取り入れましょう。

円ではなく「中心」に印をつける

問題用紙の円に、必ず中心の点を書き入れてみてください。

そして、

「円を見るのではなく、この点だけを追ってみよう」

と伝えます。

特に多角形の周囲を移動する問題では、中心の軌跡を書けるだけで解法が大きく見えやすくなります。

図形の移動で混乱する子ほど、この習慣がおすすめです。

実際に硬貨を転がして確認する

円の移動は実物で確認すると理解が早くなることがあります。

10円玉などの硬貨の端に小さな目印があると仮定して、机の上で1回転させてみましょう。

すると、

1回転すると円周分進む
半回転では目印が反対側に来る
中心は一直線に動く

ことを目で確認できます。

多角形の角を回るイメージが苦手なら、紙に直角を書いてコインを沿わせてみるのもよい方法です。

公式暗記より3ステップで整理する

円の移動問題では、次の3ステップを習慣にすると整理しやすくなります。

①何が動くのか確認する
②中心の道筋を書く
③円周・距離・回転数の関係を使う

通過面積なら、③を「通過した形を分割する」に変えます。

問題を読んですぐ計算する子ほど、

「今は何を求めている？」

と一度止めてあげてください。

式を立てる前の整理ができるようになると、複雑な問題にも対応しやすくなります。

間違えた問題は原因別に解き直す

円の移動で間違えたときは、単に「もう1回やろう」で終わらせないことも重要です。

間違いを、

円周の計算ミス
半径と直径の取り違え
回転数の考え方が分からない
中心の軌跡を書けない
面積の分割ができない

などに分けます。

たとえば3.14の計算ミスなら計算練習が必要です。

中心の軌跡が分からないなら、同じ問題を繰り返すより、もっと簡単な図形の移動問題へ戻るほうが効果的です。

「円の移動が全部苦手」と考えず、どこで止まっているのかを細かく見ていきましょう。

まとめ｜円の移動は「中心・円周・回転」を分けて考える

中学受験算数の円の移動は、図が動くため難しく見えますが、押さえるポイントはそれほど多くありません。

基本になるのは、

円周＝直径×3.14

そして、

1回転で進む距離＝円周

という関係です。

さらに多角形の周囲を移動するときは、円そのものではなく中心がどこを通るかに注目します。

通過した面積なら、移動後にできる形を長方形・円・おうぎ形などに分けて考えます。

家庭で教えるときも、いきなり公式を示すのではなく、

「何が動いている？」
「中心はどこを通る？」
「1回転すると何cm進む？」

と一つずつ確認してみてください。

特に算数が苦手な子には、硬貨を実際に転がして動きを見せる方法もおすすめです。

円の移動は、問題ごとの解き方を暗記する単元ではありません。

「中心」「円周」「回転」の3つを分けて考えられるようになれば、初めて見る問題でも自分で整理して解けるようになります。