中学受験算数のプレゼント交換｜場合の数の解き方

中学受験算数のプレゼント交換問題とは

この記事では、中学受験算数のプレゼント交換問題について、2人・3人・4人の基本から、樹形図や場合分けを使った考え方、家庭での教え方まで順番に解説します。

中学受験算数で「プレゼント交換」と呼ばれる問題は、主に場合の数の分野で登場します。

典型的なのは、

「何人かが1個ずつプレゼントを持ち寄り、全員が自分の持ってきたプレゼント以外のものを1個ずつ受け取るとき、交換方法は何通りあるか」

という問題です。

見た目は遊びを題材にした簡単な文章題ですが、実際には条件を守りながらすべての場合を数える必要があります。

全員が自分以外のプレゼントを受け取る問題

A・B・Cの3人が、それぞれプレゼントa・b・cを持ってきたとします。

Aが持ってきたのはaです。

したがってAはaを受け取れません。

同じように、

Bはbを受け取れない
Cはcを受け取れない

という条件があります。

重要なのは、単にプレゼントを配るのではなく、全員について「自分のプレゼントを受け取らない」という条件を同時に満たすことです。

プレゼント交換は「場合の数」の問題

条件がなければ、3人に3個のプレゼントを配る方法は、

3×2×1＝6通り

あります。

しかし、その中にはAがaを受け取るような場合も含まれています。

プレゼント交換問題では、そこから条件に合わないものを除くか、最初から条件を守って数えなければなりません。

こうした「自分のものだけは選べない」という交換方法は、数学では特別な並べ替えとして知られています。2人なら1通り、3人なら2通り、4人なら9通り、5人なら44通りとなります。

ただし、中学受験では難しい公式を覚えるより、場合分けの仕組みを理解することが大切です。

人数が増えると急に難しく感じる理由

2人ならすぐ分かるのに、4人になると急に難しくなります。

理由は、1人の選択が残り全員の選択に影響するからです。

たとえばAがBのプレゼントを受け取ると、その瞬間にBは自分のプレゼントだけでなく、Aが取ったBのプレゼントも選べなくなります。

さらにC・Dの選択肢も変わります。

だからこそ、頭の中だけで考えず、樹形図や表を使って整理することが重要です。

プレゼント交換の基本を2人・3人・4人で考える

いきなり4人や5人の問題を解くより、2人から順番に増やして考えると仕組みがよく分かります。

2人なら交換方法は1通り

AとBの2人が、

A→a
B→b

というプレゼントを持ってきたとします。

Aはaを受け取れないため、bを受け取るしかありません。

Bも同じで、aを受け取ります。

つまり、

A→b
B→a

の1通りだけです。

2人の場合は、文字通り交換するだけです。

3人なら交換方法は2通り

次にA・B・Cの3人です。

それぞれa・b・cを持ってきました。

まずAがbを受け取る場合を考えます。

するとBは自分のbを選べず、bはすでにAが受け取っているため、条件を満たすには、

B→c
C→a

となります。

一方、Aがcを受け取れば、

C→b
B→a

です。

したがって、

A→b、B→c、C→a
A→c、B→a、C→b

の2通りになります。

ここで大切なのは、Aの選択を決めたあと、残りを順番に確認することです。

4人なら樹形図や場合分けで9通りになる

4人になると、全部を頭の中で数えるのは難しくなります。

A・B・C・Dがそれぞれa・b・c・dを持っているとします。

まずAは自分のa以外なので、

b
c
d

の3つから選べます。

対称的なので、まずAがbを受け取る場合だけを考えてみましょう。

このあとBがaを受け取れば、AとBの交換が完成します。

残ったCとDは、

C→d
D→c

とするしかないので1通りです。

一方、Bがaを受け取らない場合には、残りの人とプレゼントを組み合わせながら条件を満たす方法を考えます。

丁寧に整理すると、Aがbを受け取る場合は3通りできます。

Aがcの場合も3通り、Aがdの場合も3通りです。

したがって、

3×3＝9通り

となります。

4人で9通りになることは、プレゼント交換問題の基本として確認しておきたい結果です。

中学受験のプレゼント交換問題の解き方

プレゼント交換問題では、「公式を知っているか」より「どう場合分けするか」が得点を左右します。

まず1人目が誰のプレゼントを受け取るか決める

複数人を同時に考えると混乱します。

そこで、

「まずAから決める」

と固定します。

4人ならAが受け取れるのは、

b
c
d

です。

このように、最初の1人の選択肢を枝分かれさせると樹形図が作りやすくなります。

5人でも考え方は同じです。

Aが受け取るものを1つ決め、その後の残りを考えます。

「交換が成立する場合」と「成立しない場合」を整理する

途中まで配っただけでは、条件を満たしているか判断できないことがあります。

たとえば最後にCのプレゼントcしか残っておらず、受け取る人がCだった場合、その配り方は失敗です。

そこで各枝の最後まで確認し、

○＝全員が自分以外のものを受け取った
×＝誰かが自分のものを受け取った

と印を付けます。

場合の数で怖いのは、計算ミスより「数え漏れ」と「重複」です。

○×を付けるだけでも確認しやすくなります。

少人数なら書き出し・樹形図を使う

3人や4人程度なら、無理に式を作る必要はありません。

むしろ樹形図を書いたほうが安全です。

たとえば、

A→b
　B→a
　B→c

のように枝を伸ばしていきます。

条件に合わなくなった時点で×を付ければ、それ以上枝を伸ばす必要はありません。

この「条件に合わない枝を途中で止める」ことが、樹形図を効率よく使うコツです。

人数が多い問題では小さい人数の結果を利用する

5人、6人と増えると、すべてを書き出すのは大変です。

実際、交換方法は、

2人：1通り
3人：2通り
4人：9通り
5人：44通り
6人：265通り

と急激に増えていきます。

難度の高い問題では、「ある2人が互いのプレゼントを交換する場合」「そうならない場合」などに分け、2人・3人・4人で求めた結果を利用する考え方が有効です。

中学受験では、前の小問で少人数の場合を求め、その規則や考え方を使って人数を増やす形式も考えられます。

プレゼント交換問題が苦手な子の家庭学習法

プレゼント交換は、場合の数が苦手な子にとって少し抽象的です。

家庭では「書いて見えるようにする」ことから始めましょう。

人とプレゼントに別々の記号をつける

AさんのプレゼントをAと書くと、人なのかプレゼントなのか分からなくなります。

おすすめは、

人：A・B・C
プレゼント：a・b・c

のように分けることです。

すると、

A→b

を見ただけで、「AさんがBさんのプレゼントをもらう」と分かります。

小さな工夫ですが、条件整理がかなり楽になります。

「自分のものはダメ」を先に×で消す

表を使う方法もおすすめです。

　　　 a　b　c
A　　 ×
B　　　　×
C　　　　　 ×

と、自分のプレゼントの場所に最初から×を付けます。

そこから○を入れていけば、

「Aがbなら、残りはどうなる？」

と視覚的に考えられます。

算数が苦手な子ほど、頭の中だけで処理させないことが大切です。

答えより「数え漏れがない理由」を説明させる

場合の数では、答えが9通りと合っていても安心できません。

偶然1つ重複し、別の1つを数え忘れていれば、数字だけは9になることもあるからです。

そこで、

「どうしてこれで全部なの？」

と聞いてみてください。

「Aが選べるのはb・c・dの3つ全部について調べたから」

と説明できれば、場合分けを理解しています。

2人→3人→4人の順に増やして考える

いきなり5人問題に挑戦すると、場合の数が苦手な子は混乱します。

まず、

2人＝1通り

を実際にカードなどで確認します。

次に3人を自分で書き出し、

2通り

と確認します。

その後に4人へ進みます。

プレゼントを書いた紙を実際に3枚用意し、「自分のカードはもらえない」として並べ替えるのも効果的です。

具体物で仕組みを理解してから樹形図へ移ると、「何を数えているのか」が分かりやすくなります。

まとめ｜プレゼント交換は場合分けを見える形にすると解ける

中学受験算数のプレゼント交換は、場合の数の中でも条件整理が重要な問題です。

基本条件は、

全員が自分の持ってきたプレゼント以外を受け取ること

です。

交換方法は、

2人なら1通り
3人なら2通り
4人なら9通り

となります。

人数が増えるほど、頭の中だけで数えるのは難しくなります。

そこで、

人とプレゼントを別の記号にする
1人目から順番に決める
樹形図を書く
条件に合わない場合は×にする
数え漏れや重複がないか確認する

という手順を使いましょう。

特に大切なのは、いきなり答えとなる数を覚えないことです。

「4人なら9通り」と知っていても、なぜ9通りなのか説明できなければ、数字が変わった応用問題では対応できません。

家庭では、

「まず誰から決める？」
「この人がこれを取ったら、残りはどうなる？」
「これで全部だと言えるのはなぜ？」

と問いかけてみてください。

プレゼント交換問題を通して身につくのは、単なる数え方だけではありません。

条件を整理する力、場合分けする力、漏れなく数える力は、カード、サイコロ、並べ方、整数問題など、中学受験のさまざまな「場合の数」に応用できます。

まずは2人、3人という小さな例を実際に書き出し、「全部調べれば確実に答えられる」という感覚を身につけることから始めましょう。