中学受験算数の立体の道順｜数え方を解説

中学受験算数の「立体の道順」とは？

この記事では、中学受験算数の立体の道順について、最短経路の考え方から道順の数え方、指定点を通る問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数の道順問題というと、まず碁盤の目のような平面図を思い浮かべるでしょう。

立体の道順では、その考え方を立方体や直方体へ広げます。

典型的なのは、

「立方体の辺だけを通り、AからBまで最短で進む道順は何通りあるか」

という問題です。

立体になると奥行きや高さが加わるため難しそうに見えますが、基本は平面の道順と同じです。立体問題でも、各頂点まで来ることのできる道順の数を順番に足していく方法が使えます。

立方体や直方体の辺を最短で進む問題

たとえば、立方体のある頂点Aから、その反対側にある頂点Bまで辺に沿って進むとします。

最短で進むには、

右へ1回
奥へ1回
上へ1回

の合計3回動く必要があります。

ここで大切なのは、

「最短ならゴールから遠ざかる方向へ戻らない」

ことです。

右へ進んだあと左へ戻るような動きは、最短経路には入りません。

まず何本の辺を通るかを確認する

道順の「何通り」を数える前に、

最短なら辺を何本通るか

を確認します。

立方体の反対側の頂点なら、

右1本
奥1本
上1本

なので、

1＋1＋1＝3本

です。

ここを確認せずに数え始めると、不要な遠回りまで含めてしまいます。

実際の中学受験向け教材でも、立体の道順では最初に「最短では辺を何本通るか」を考え、その後に道順を数える形が扱われています。

平面の道順を立体に広げて考える

平面の道順では、交点に数字を書き、

左から来る道順
下から来る道順

を足していきます。

立体でも考え方は同じです。

ただし、

横から来る
奥から来る
下の階から上がって来る

という3方向になる場合があります。

そのため、立体を一気に見るより、

下の面
↓
上の面

と階ごとに分けると整理しやすくなります。

立体の道順を例題で分かりやすく解く

ここからは、典型的な立体の道順問題を簡単な例で確認しましょう。

例題1｜立方体の反対側の頂点まで進む

【問題】

立方体の頂点Aから、反対側の頂点Bまで辺に沿って最短で進みます。道順は何通りありますか。

【解き方】

最短では、

右
奥
上

へ、それぞれ1回ずつ進みます。

この3つをどの順番で行うかを考えます。

右→奥→上
右→上→奥
奥→右→上
奥→上→右
上→右→奥
上→奥→右

の6通りです。

答えは、

6通り

となります。

同じ内容を、

最初に進む方向が3通り
その後の方向が2通り

なので、

3×2＝6通り

と考えても構いません。

例題2｜交点に数字を書き込んで数える

立体が大きくなると、すべての道順を書き出すのは大変です。

そこで、各頂点に、

「Aからここまで最短で来る道順は何通り？」

という数字を書き込みます。

最初のAは、

1

とします。

Aから1本の辺で行ける点も、それぞれ1通りです。

次の頂点で、

左から1通り
奥から1通り

で来られるなら、

1＋1＝2

と書きます。

さらに上の階では、

横から来る道順
奥から来る道順
真下から上がる道順

を足します。

この「来られる方向の数字を足す」が基本です。

立体では、下の階から同じ位置へ上がってくる道順も忘れないことが重要です。

例題3｜指定された点を通る道順

【問題】

AからBまで最短で進むとき、途中の点Cを必ず通る道順は何通りありますか。

この場合は、

A→C
C→B

に分けます。

たとえば、

AからCまで2通り
CからBまで3通り

なら、

2×3＝6通り

です。

なぜ掛け算になるのでしょうか。

AからCへ行く2通りのそれぞれに対して、CからBへの3通りを選べるからです。

つまり、

「前半の選び方×後半の選び方」

と考えます。

例題4｜指定点を通らない道順

今度は、

「Cを通らない道順」

を求める問題です。

この場合、

すべての最短道順－Cを通る最短道順

とすると簡単です。

たとえば、

全部で20通り
Cを通る道順が6通り

なら、

20－6＝14通り

です。

答えは14通り。

実際の立体道順問題でも、「全部」から「指定点を通る場合」を引いて、通らない道順を求める方法が使われます。

立体の道順で間違えやすいポイント

立体の道順では、場合の数そのものより図の読み取りでミスすることが多くあります。

最短ではない戻り道まで数えてしまう

「どんな道でもよい」と考えると、道順は一気に増えます。

しかし問題文に、

最短で進む

とあれば、遠ざかる方向へ戻ることはありません。

たとえば右へ2本進む必要があるなら、

右→左→右→右

のような進み方は除きます。

最初に、

右へ何回
奥へ何回
上へ何回

必要なのか整理しましょう。

見えない辺を数え忘れる

立体図では、裏側の辺が点線で描かれることがあります。

子どもが実線だけを道だと思ってしまうと、道順を数え漏らします。

問題文に、

「点線の辺も通れる」

と書かれている場合は、点線も普通の辺として扱います。

立体図を見たら、

「裏側にも道はある？」

と確認しましょう。

上の面と下の面を一度に考える

立体が苦手な子は、すべての辺へ一気に数字を書こうとして混乱します。

おすすめは、

1階を完成
↓
高さ方向の辺を確認
↓
2階を完成

という順番です。

専門的な指導例でも、立体の道順は「平面ごと・階ごとに考え、下の階の同じ地点から来る数も加える」方法が紹介されています。

指定点を通る場合に足し算してしまう

AからCまで2通り、CからBまで4通りのとき、

2＋4＝6

としてしまう子がいます。

しかし実際には、

A→Cの1通り目とC→Bの4通り
A→Cの2通り目とC→Bの4通り

を組み合わせます。

したがって、

2×4＝8通り

です。

「順番につなげる選び方」は掛け算と覚えるだけでなく、簡単な場合を書き出して確認すると理解しやすくなります。

家庭でできる立体の道順の教え方

立体の道順は、紙の図だけでは位置関係をつかみにくい子もいます。

家庭では実物を使うと理解しやすくなります。

箱を使って頂点と辺を実際にたどる

ティッシュ箱や小さな箱を用意し、

スタートA
ゴールB

を決めます。

指で箱の辺をなぞりながら、

「右・奥・上なら着くね」
「上・右・奥でも着くね」

と確認します。

実際に手を動かすことで、

立体でも通るのは辺

だと理解できます。

下の面から上の面へ順番に数字を書く

問題集では、まず下の面だけを見ます。

各頂点に、

そこまで来る道順

を書きます。

その後、上へつながる辺を使い、上の面へ数字を移します。

「立体を平面2枚に分ける」

イメージを持つと整理しやすくなります。

「どこからこの点に来られる？」と聞く

子どもが止まったら、

「ここは何通り？」

と答えを聞くより、

「この点には、どこから来られる？」

と質問してください。

左から来られる。
下から来られる。
真下の階から上がって来られる。

と分かれば、その数字を足せます。

道順問題では、答えを覚えるより、

直前の点から考える習慣

が重要です。

翌日と1週間後に類題を解き直す

おすすめは、

当日：立方体1個
翌日：直方体や立方体2個
1週間後：指定点あり

という順番です。

いきなり複雑なジャングルジム型へ進む必要はありません。

1週間後に、

「まず最短で何本通るか調べる」

と自分から始められれば、考え方が身についています。

まとめ｜立体の道順は「階ごとに分けて足す」

中学受験算数の立体の道順は、立方体や直方体の辺に沿って最短で進む方法が何通りあるかを考える問題です。

最初に、

右へ何回
奥へ何回
上へ何回

進む必要があるのかを確認します。

立方体の反対側の頂点なら、

右1回
奥1回
上1回

なので、最短では3本の辺を通ります。

道順は、

右・奥・上

の順番を変えた6通りです。

立体が複雑になったら、

下の面
↓
上の面

と階ごとに分け、各頂点へ来られる道順の数を足していきます。

また、

Cを必ず通る
→AからCまで×CからBまで

Cを通らない
→全部－Cを通る場合

と整理します。

家庭で子どもが混乱したら、

「最短なら何本進む？」
「この点にはどこから来られる？」
「下の階から上がって来る道はない？」

と順番に聞いてみてください。

立体の道順は、立体感覚だけで解く問題ではありません。

複雑な立体を階ごとの平面に分け、直前までの道順を足していくこと。

この考え方が身につけば、立方体1個だけでなく、複数の立方体を組み合わせた発展問題にも対応しやすくなります。