中学受験算数の割合難問｜解き方と攻略法を解説

中学受験算数の割合難問が難しくなる理由

この記事では、中学受験算数の割合難問について、難しくなる理由、解き方の基本、典型的な複合問題、家庭での練習法まで順を追って解説します。

割合は、中学受験算数の中でも非常に重要な単元です。

基本では、

もとにする量×割合＝比べる量

という関係を使います。

ところが入試問題になると、

売買算
食塩水
人数の増減
比
速さ
図形

などと組み合わさります。

そのため、

「割合の公式は覚えているのに解けない」

という状態が起こりやすくなります。

もとにする量が途中で変わる

割合の難問で最も多い混乱は、

何を100％とするか

が途中で変わることです。

たとえば1000円の商品を20％値上げしたあと、20％値下げするとします。

最初は、

1000円が100％。

20％値上げすると、

1000×1.2＝1200円

です。

次の20％値下げでは、

1200円が100％

になります。

したがって、

1200×0.8＝960円

です。

20％上げて20％下げても元の1000円には戻りません。

難問では、この「基準の変化」を見抜く必要があります。

割合・比・差が一つの問題に混ざる

入試では、

AはBの80％
BとCの比は3：5
AとCの差は○

のように、複数の条件が組み合わされます。

子どもがつまずく原因は、

一つ一つの計算

より、

条件同士をどうつなぐか

にあります。

この場合は、割合をそのまま％で持つより、

80％＝4/5

として比へ直すと整理しやすくなります。

文章が長く条件整理が必要になる

割合の難問は、文章が長くなるほど難しく感じます。

たとえば、

定価
仕入れ値
利益
割引
売上

が一つの問題に登場すると、数字が多くなります。

このとき頭の中だけで処理すると混乱しやすくなります。

必要なのは、

最初
変化後
最終

を表にすることです。

公式だけでは対応できない

割合の公式を暗記することは必要です。

しかし、難問では、

何をもとにするか
何が増えたか
何が減ったか
何が変わらないか

を判断する力が必要です。

つまり、

公式を覚えている

から、

状況を整理して公式を選べる

へ進むことが重要です。

割合の難問を解くための基本ルール

難問でも、最初に確認することは共通しています。

最初に「何を100％とするか」を決める

割合問題を見たら、

「何が100％？」

と必ず確認します。

たとえば、

800円は1000円の何％か

なら、

1000円＝100％

です。

800÷1000＝0.8

なので80％です。

逆に、

1000円の80％はいくらか

なら、

1000×0.8＝800円

です。

文章が複雑になっても、

基準となる量

を最初に決めることが大切です。

百分率を小数や分数に直す

難問では、

20％
25％
37.5％

などを、そのまま扱うより、

20％＝0.2＝1/5
25％＝0.25＝1/4
37.5％＝3/8

と直したほうが便利なことがあります。

特に比と組み合わせる問題では、分数のほうが見通しがよくなります。

たとえば、

AはBの75％

なら、

A：B＝3：4

と考えられます。

比に置き換えると簡単になることがある

割合の難問では、

割合→比

への変換が非常に有効です。

たとえば、

AはBの120％

なら、

A：B＝120：100＝6：5

です。

もしAとBの差が20なら、

6－5＝1

が20にあたるので、

A＝120
B＝100

とすぐ求められます。

割合だけで式を立てるより、比のほうが簡単になることがあります。

変化の前後を表や線分図で整理する

おすすめは、

　　　　変化前　変化後
価格　　 1000　　1200
割合　　 100％　 120％

のように表にする方法です。

また、

全体を10本分
そのうち○本分

と線分図で表す方法もあります。

難問ほど、

頭の中で考えない

ことが大切です。

中学受験の割合難問を例題で解説

ここからは、典型的な難問パターンを見ていきます。

値上げ・値下げが続く売買問題

ある商品を定価の20％引きで売ったところ、960円でした。

定価はいくらでしょう。

20％引きということは、

売値＝定価の80％

です。

定価を□円とすると、

□×0.8＝960

なので、

960÷0.8＝1200円

です。

難しいのは、

20％引きだから960÷0.2

としてしまうミスです。

ここでは、

残った割合は80％

と考える必要があります。

さらに、

原価800円の商品を定価の20％引きで売っても20％の利益が出た

という問題なら、

売値＝800×1.2＝960円
定価の80％＝960円

なので、

定価＝1200円

となります。

複数の割合を順番に追うことがポイントです。

食塩水の濃度が変化する問題

10％の食塩水300gから水を60g蒸発させます。

最初の食塩は、

300×0.1＝30g

です。

蒸発するのは水だけなので、食塩30gは変わりません。

全体の重さは、

300－60＝240g

です。

濃度は、

30÷240＝0.125

なので12.5％です。

食塩水の難問では、

全体は変わる
食塩は変わらない

という関係を使います。

「何が一定か」を見つけることが大切です。

人数が増減する割合問題

あるクラブで男子は全体の40％でした。

男子が10人、女子が30人なら、

全体40人。

男子の割合は、

10÷40＝25％

です。

ここで男子が10人増えると、

男子20人
女子30人
全体50人

なので、

20÷50＝40％

になります。

人数が変化する問題では、

分子だけでなく分母も変わる

ことがあります。

これが難問での典型的な落とし穴です。

比と割合が組み合わさる問題

AはBの80％、BとCの比は3：2とします。

80％＝4/5なので、

A：B＝4：5。

また、

B：C＝3：2

です。

Bをそろえるため、

A：B＝12：15
B：C＝15：10

とすると、

A：B：C＝12：15：10

です。

このように、割合を比へ変換すると複数の条件を一つにまとめられます。

中学受験の難問では、この変換力が非常に重要です。

割合難問が苦手な子への家庭学習法

割合の難問が解けないとき、いきなり難問を増やす必要はありません。

いきなり難問ではなく基本3問から戻る

まず、

①割合を求める
②比べる量を求める
③もとにする量を求める

の3種類を確認します。

たとえば、

500円の20％は？
100円は500円の何％？
20％が100円なら全体はいくら？

の3問です。

この3つが迷わず解ければ、難問へ進めます。

「何が100％？」を毎回言わせる

家庭では、式を聞く前に、

「何が100％？」

と聞いてください。

たとえば、

定価？
原価？
食塩水全体？
最初の人数？

と確認します。

これだけで、割合の取り違えを減らせます。

式だけでなく図や表を残す

割合が苦手な子ほど、

式を1行だけ書く

ことが多いです。

しかし難問では、

変化前
変化後
割合
実際の量

を書いておくほうが安全です。

途中式や表を残すことで、

どこで基準を取り違えたか

も分かります。

翌日に数字を変えた類題を解く

たとえば、

20％引き

の問題を解いた翌日に、

25％引き

へ数字を変えて解きます。

食塩水なら、

10％300g
↓
8％250g

などに変えます。

数字が変わっても同じ考え方を使えれば、解法を理解できています。

大量に解くより、

翌日にもう一度自力で再現できるか

を重視しましょう。

まとめ｜割合難問は「基準を固定して変化を追う」と解きやすい

中学受験算数の割合難問が難しい理由は、

計算が複雑だから

だけではありません。

本当の難しさは、

何を100％とするかが変わる
割合と比が混ざる
変化前後を整理する必要がある
変わらない量を見つける必要がある

ことにあります。

解くときは、

まず何が100％か確認
↓
百分率を小数・分数・比へ変換
↓
変化前後を表にする
↓
変わらない量を探す
↓
式を作る

という流れがおすすめです。

特に難問では、

割合だけで押し切ろうとしない

ことが大切です。

80％なら4：5。

75％なら3：4。

120％なら6：5。

このように比へ変えると、一気に見通しがよくなる問題があります。

家庭学習では、

「公式は？」

と聞くより、

「何が100％？」
「何が変わった？」
「何が変わっていない？」
「比に直せない？」

と聞いてみてください。

割合の難問は、特殊な裏技を覚えれば解けるわけではありません。

基本の、

もとにする量
割合
比べる量

を正確に見抜き、そこに比や差の考え方を組み合わせることが重要です。

基本3パターンを安定させ、そこから売買・食塩水・人数変化・比との複合へ進む。

この順番を守れば、割合の難問も少しずつ「難しい問題」ではなく「条件を整理すれば解ける問題」に変わっていきます。