中学受験算数の和と差｜和差算の解き方とコツ

中学受験算数の和と差とは？基本を理解しよう

この記事では、中学受験算数の和と差を使う問題について、和差算の基本的な考え方から線分図の書き方、応用問題の解き方、家庭での効果的な練習方法まで解説します。

中学受験算数では、2つの数の合計と差から、それぞれの数を求める問題が出題されます。

このような問題を和差算と呼びます。

和差算は、比較的早い段階で学ぶ特殊算ですが、所持金や人数の増減、比を使った問題などにもつながる重要な単元です。

まずは基本的な仕組みを理解しましょう。

和と差が分かれば2つの数を求められる

例えば、2つの数の和が50、差が10だとします。

大きい数を□、小さい数を△とすると、次の関係になります。

□＋△＝50

□－△＝10

この2つの条件から、それぞれの数を求めます。

大きい数は30、小さい数は20です。

30＋20＝50、30－20＝10となり、両方の条件を満たしています。

和差算では、合計だけでなく差も分かっていることが重要です。

和差算の公式とその仕組み

和差算では、次の2つの公式を使います。

大きい数＝（和＋差）÷2

小さい数＝（和－差）÷2

例えば、和が50、差が10なら、

大きい数＝（50＋10）÷2＝30

小さい数＝（50－10）÷2＝20

です。

ただし、公式を丸暗記するだけでは、条件が変わった問題に対応できません。

なぜ和に差を足して2で割るのか、考え方も理解しておきましょう。

線分図を使うと和と差の関係が分かりやすい

和差算は、線分図を使うと理解しやすくなります。

先ほどの和が50、差が10の問題で考えましょう。

大きい数を長い線、小さい数を短い線で表します。

2本の線の長さを合わせると50です。

そして、長い線が短い線より10だけ長くなっています。

長い線から余分な10を取り除くと、同じ長さの線が2本できます。

50－10＝40

40÷2＝20

となるため、小さい数は20です。

大きい数は20＋10＝30となります。

この仕組みを理解すれば、公式を忘れても線分図から答えを求められます。

和と差を使った基本問題の解き方

ここからは、中学受験でよく出る和差算の基本問題を解説します。

最初は2つの数から始め、少しずつ文章題へ進みましょう。

2つの数の和と差から求める

次の問題を考えます。

「2つの数の和は84で、大きい数は小さい数より16大きい。それぞれの数を求めなさい。」

和は84、差は16です。

小さい数は、

（84－16）÷2＝34

となります。

大きい数は、

34＋16＝50

です。

答えは50と34になります。

この問題では、文章中の「16大きい」という表現が差を表していることに注目しましょう。

差が変化する問題を解く

次の問題です。

「兄と弟の所持金の合計は3600円です。兄が弟に300円渡すと、2人の所持金が同じになります。最初の所持金を求めなさい。」

兄が300円渡すと、兄の所持金は300円減り、弟の所持金は300円増えます。

つまり、2人の差は600円縮まります。

渡したあとに同じ金額になるので、最初の差は600円です。

したがって、

兄＝（3600＋600）÷2＝2100円

弟＝（3600－600）÷2＝1500円

となります。

このように、2人の間でお金をやり取りする問題では、渡した金額の2倍だけ差が変化することがあります。

文章題から和と差を見つける

和差算の文章題では、和と差が直接書かれているとは限りません。

例えば、

「赤い玉と青い玉が合わせて70個あり、赤い玉は青い玉より14個多い」

という問題です。

合わせて70個という表現が和です。

赤い玉が14個多いという表現が差です。

したがって、

青い玉＝（70－14）÷2＝28個

赤い玉＝28＋14＝42個

となります。

文章を読んだら、まず合計を表す数字と、差を表す数字に印を付けましょう。

答えを和と差の両方で検算する

和差算では、答えを求めたあとに必ず検算しましょう。

例えば、先ほどの42個と28個なら、

42＋28＝70

42－28＝14

です。

和と差の両方が問題文の条件と一致しています。

どちらか一方だけを確認すると、計算ミスを見逃す可能性があります。

答えを出したら、合計と差の2つを確認する習慣をつけましょう。

中学受験で差がつく和と差の応用問題

基本の和差算を理解したら、3つの数や増減を含む問題へ進みます。

応用問題では、どの数字が和で、どの数字が差なのかを整理することが重要です。

3つの数の和と差を求める

次の問題を考えます。

「A、B、Cの3つの数の和は120です。AはBより10大きく、BはCより20大きいとき、それぞれの数を求めなさい。」

まず、最も小さいCを基準にします。

Cを□とすると、

B＝□＋20

A＝□＋30

です。

3つの数を合計すると、

□＋（□＋20）＋（□＋30）＝120

となります。

余分な50を取り除くと、

120－50＝70

です。

70を3等分すると、70÷3となり、整数にはなりません。

したがって、この条件では3つの数は分数になります。

C＝70/3

B＝130/3

A＝160/3

です。

和差算では、必ず整数になるとは限りません。

人数や所持金の増減を含む問題

例えば、次のような問題です。

「A組とB組の人数の合計は80人です。A組からB組へ5人移動すると、2つの組の人数が同じになります。」

5人移動すると、A組は5人減り、B組は5人増えます。

そのため、最初の人数差は10人です。

したがって、

A組＝（80＋10）÷2＝45人

B組＝（80－10）÷2＝35人

です。

このような問題では、移動する前後で合計人数が変わらないことが重要です。

和と比を組み合わせた問題

和差算の応用では、比を使う問題もあります。

例えば、

「AとBの和は80で、AとBの比は3：2です。」

という問題です。

比の合計は、

3＋2＝5

です。

80を5等分すると、

80÷5＝16

となります。

したがって、

A＝16×3＝48

B＝16×2＝32

です。

この場合は、和差算の公式より比を利用したほうが簡単です。

問題の条件によって解法を選ぶことも、中学受験算数では重要になります。

複雑な条件を線分図で整理する

和と差の応用問題では、条件が複数登場することがあります。

例えば、3人の所持金や複数回のやり取りを扱う問題です。

このような場合は、最初に線分図を作りましょう。

誰の金額が最も多いのか、誰と誰の差が分かっているのかを整理します。

また、お金を渡す問題では、移動前と移動後の状態を別々に書くことが大切です。

文章だけで考えず、分かっている関係を図に表すと、複雑な条件でも整理しやすくなります。

和と差が苦手な子への家庭での教え方

和差算は、基本的な考え方を理解すれば、応用問題にも発展させやすい単元です。

家庭では、公式を覚えることより、和と差の関係を具体的に理解することを優先しましょう。

公式を暗記する前に具体物で理解する

最初は、おはじきや硬貨などを使って考えてみましょう。

例えば、合計20個のおはじきがあり、AはBより4個多いとします。

まず、Aから余分な4個を取り除きます。

20－4＝16

です。

残りを2人で同じ数ずつ分けると、

16÷2＝8

となります。

Bは8個、Aは12個です。

実際に物を動かすことで、公式の意味を理解しやすくなります。

線分図を書く習慣をつける

具体物で理解できたら、次は線分図を使いましょう。

長い線と短い線を書き、2本の差を示します。

最初は簡単な数字で練習し、慣れてきたら所持金や人数の問題に進みます。

線分図を書く目的は、きれいな図を完成させることではありません。

2つの量の関係を目で確認できるようにすることです。

基本問題から応用問題へ段階的に進む

和差算が苦手な子には、問題を3段階に分ける方法がおすすめです。

最初は、和と差が直接与えられる問題です。

次に、文章から和と差を読み取る問題へ進みます。

最後に、人数や所持金の増減、3つの数を求める問題に取り組みます。

基本問題が安定しない段階で難しい応用問題へ進む必要はありません。

間違いの原因を確認して翌日に解き直す

和差算で間違えた場合は、原因を確認しましょう。

和と差を取り違えたのか、差の変化を間違えたのか、計算ミスだったのかによって復習方法が異なります。

例えば、お金を渡す問題で差の変化を間違えたなら、実際に硬貨を移動させて確認します。

その後、翌日に数字を変えた類題を解きましょう。

答えを覚えるのではなく、同じ考え方を再現できることが重要です。

まとめ｜和と差は線分図で理解すると応用できる

中学受験算数の和と差を使う問題では、まず2つの数の合計と差を正しく読み取ることが重要です。

基本となる和差算では、

大きい数＝（和＋差）÷2

小さい数＝（和－差）÷2

という公式を利用できます。

ただし、公式を暗記するだけでは、複雑な文章題に対応することは難しくなります。

なぜ和から差を引くと同じ長さの線が2本できるのか、線分図を使って理解しましょう。

また、人数や所持金を移動する問題では、合計が変わらないことや、差がどれだけ変化するかを確認する必要があります。

家庭では、具体物から線分図へ進み、基本問題を理解してから応用問題に取り組む方法がおすすめです。

和差算は、公式だけでなく和と差の関係を理解することが、応用問題を解くための土台になります。