中学受験算数「タイル問題」の解き方とコツ

中学受験算数のタイル問題とは？主な出題パターン

この記事では、中学受験算数のタイル問題について、規則性・敷き詰め・周の長さ・面積・場合の数という代表的な出題パターンから、具体的な解き方と家庭での練習方法まで解説します。

中学受験の算数では、正方形などのタイルを規則正しく並べる問題が出題されます。

一見すると図形問題ですが、実際には規則性、数の性質、面積、場合の数など、複数の分野が組み合わされることがあります。

タイル問題が苦手な子は、図全体を一度に見ようとして混乱しがちです。

まずは、どのタイプの問題なのかを見分けましょう。

タイルを並べる規則性の問題

よくあるのが、1番目、2番目、3番目とタイルを増やし、何番目に何枚必要かを求める問題です。

例えば、

1番目＝1枚
2番目＝4枚
3番目＝9枚
4番目＝16枚

と増えているなら、

1×1、2×2、3×3、4×4

となっています。

したがって、5番目は、

5×5＝25枚

です。

タイル問題では、まず「何枚増えたか」と「全体で何枚あるか」の両方を確認しましょう。

正方形や長方形を敷き詰める問題

長方形の床に同じ大きさの正方形タイルを敷き詰める問題もあります。

例えば、たて12cm、横18cmの長方形を、同じ大きさでできるだけ大きな正方形タイルで隙間なく敷き詰めるとします。

12と18の最大公約数は6です。

したがって、1辺6cmの正方形タイルを使います。

たては、

12÷6＝2枚

横は、

18÷6＝3枚

なので、

2×3＝6枚

必要です。

このタイプでは最大公約数が重要になります。

周の長さや面積が変化する問題

タイルを1枚ずつつなげたときに、周の長さがどう変わるかを問う問題もあります。

例えば、1辺1cmの正方形タイルを横一列に並べます。

1枚なら周の長さは4cmです。

2枚なら長方形になるので6cmです。

3枚なら8cmです。

並びは、

4、6、8、10……

となり、1枚増えるごとに周の長さが2cmずつ増えています。

大切なのは、タイル1枚の周4cmをそのまま足さないことです。

隣のタイルと接した辺は、外側の周には含まれません。

タイルの置き方を数える問題

複数のタイルを使って、長方形や決められた形を作る場合の数を求める問題もあります。

例えば、1×2の長方形タイルを使って2×2の正方形を敷き詰めるなら、

横向きに2枚置く方法
縦向きに2枚置く方法

の2通りです。

このような問題では、図を実際に書き、重複しないよう整理することが大切です。

タイル問題の基本的な解き方を例題で解説

タイル問題では、図を眺めるだけでは規則が見えないことがあります。

数字を書き出し、「前と比べて何が変わったか」を確認しましょう。

並ぶ枚数の規則を見つける

例題1：1番目は3枚、2番目は5枚、3番目は7枚と、同じ規則でタイルが増えています。10番目は何枚ですか。

増え方を見ると、

3→5→7

と2枚ずつ増えています。

1番目が3枚なので、10番目になるまでに9回増えます。

したがって、

3＋2×9＝21枚

です。

答えは21枚です。

規則性では「10だから2×10」とせず、最初の状態から何回増えるのかを確認しましょう。

タイルを増やしたときの周の長さを求める

例題2：1辺2cmの正方形タイルを横一列に5枚並べました。できた図形の周の長さは何cmですか。

5枚並べると、

たて2cm
横2×5＝10cm

の長方形になります。

したがって周の長さは、

（2＋10）×2＝24cm

です。

答えは24cmです。

1枚ごとの周を、

2×4×5＝40cm

とするのは間違いです。

タイル同士が接している部分は外周ではないからです。

長方形を正方形タイルで敷き詰める

例題3：たて24cm、横36cmの長方形を、できるだけ大きな同じ正方形タイルで隙間なく敷き詰めます。タイルは何枚必要ですか。

24と36の最大公約数は12です。

したがって、タイルの1辺は12cmです。

たては、

24÷12＝2枚

横は、

36÷12＝3枚

です。

よって、

2×3＝6枚

必要です。

「できるだけ大きな正方形」という言葉があれば、最大公約数を疑いましょう。

必要なタイルの枚数を逆算する

例題4：1辺3cmの正方形タイルを隙間なく並べて、たて12cm、横21cmの長方形を作ります。何枚必要ですか。

たて方向は、

12÷3＝4枚

横方向は、

21÷3＝7枚

です。

したがって、

4×7＝28枚

です。

答えは28枚です。

面積で、

12×21÷（3×3）＝28枚

と求めても構いません。

どちらの方法でも答えが一致することを確認しましょう。

中学受験で差がつくタイルの応用問題

入試では、単純に枚数を数えるだけでなく、重なりや色、並べ方の制限などが加わる場合があります。

基本となるのは、条件を1つずつ整理することです。

重なりがあるタイル問題

タイルを重ねながら並べる問題では、

「タイルを1枚増やすと、見えている部分が何マス増えるか」

に注目します。

例えば、3マスでできたタイルを1マスずつ重ねて並べる場合、新しいタイルを追加しても3マスすべてが増えるとは限りません。

1マス重なるなら、実際に増えるのは、

3－1＝2マス

です。

1枚目が3マス、以後1枚ごとに2マス増えるなら、10枚では、

3＋2×9＝21マス

となります。

全体ではなく、追加部分を見るのがコツです。

白黒タイルの周期を利用する問題

白・黒・白・黒……のように色が規則的に並ぶ問題では、周期を見つけます。

例えば、

白、黒、黒

の3枚を1組として繰り返すなら、周期は3です。

20番目の色を求めるなら、

20÷3＝6余り2

です。

余り2なので、1組の2番目に当たる黒です。

図形が複雑に見えても、色だけに注目すると周期算として処理できる場合があります。

敷き詰められるかを判断する問題

タイル問題では、「何枚必要か」ではなく、「そもそも敷き詰められるか」を問われることもあります。

例えば、長方形を決められた形のタイルだけで埋める問題です。

この場合は、全体のマス数がタイル1枚のマス数で割り切れるかを最初に確認します。

ただし、割り切れるだけで必ず敷き詰められるとは限りません。

タイルの形や向き、白黒に塗り分けたときのマス数などを使って、置けるかどうかを判断する問題もあります。

場合の数とタイルを組み合わせる問題

例題5：1×2のタイルを使って、2×3の長方形を隙間なく敷き詰めます。何通りありますか。

このタイプでは、左端からタイルの置き方を考えると整理しやすくなります。

最初に縦1枚を置く場合と、横2枚を上下に置く場合に分けて考えます。

それぞれの続き方を図に書き出し、同じ並べ方を重複して数えないようにします。

場合の数が含まれるタイル問題では、頭の中だけで考えず、簡単な図を必ず書きましょう。

タイル問題が苦手な子への家庭での教え方

タイル問題は、実際に並べて確かめやすい単元です。

算数が苦手な子には、いきなり式を教えるより、具体物や方眼紙を使ったほうが理解しやすくなります。

最初の3～4段階を実際に書く

規則性の問題では、最初から10番目や100番目を求めようとしないことが大切です。

まず、

1番目
2番目
3番目
4番目

まで実際に書きます。

その横にタイルの枚数を書き、

3、5、7、9

のように並べます。

すると「2ずつ増えている」という規則が見えます。

図と数字を対応させることがポイントです。

「全部」ではなく「増えた部分」に注目する

タイル問題が苦手な子は、毎回すべてのタイルを数え直すことがあります。

家庭では、

「前の図から何枚増えた？」

と聞いてみましょう。

例えば、

1番目5枚
2番目8枚
3番目11枚

なら、毎回3枚ずつ増えています。

この増え方が分かれば、100番目まで図を書く必要はありません。

規則性では「増え方を見る」習慣が重要です。

方眼紙や折り紙で具体的に確かめる

敷き詰め問題では、1cm方眼紙を使うと理解しやすくなります。

例えば、たて4マス・横6マスの長方形を作り、2×1のタイルを塗りながら並べます。

紙を切って実際に動かしても構いません。

頭の中だけでは分からなかった子でも、実物を動かすことで、

「ここには入らない」
「向きを変えれば入る」

と気づけます。

図形を操作する経験は、平面図形の感覚を育てることにもつながります。

答えより規則を言葉で説明させる

正解した問題でも、

「なぜ次は3枚増えるの？」

「どうして最大公約数を使ったの？」

と聞いてみましょう。

例えば、

「正方形タイルの一辺は、たても横も割り切らないといけないから」

と説明できれば、考え方を理解しています。

反対に、答えは合っていても説明できなければ、たまたま数字を当てはめただけかもしれません。

翌日には数字を変えた類題で確認しましょう。

まとめ｜タイル問題は「増え方」と「繰り返し」を見抜こう

中学受験算数のタイル問題には、規則性、敷き詰め、面積・周の長さ、場合の数など、さまざまなタイプがあります。

規則的に並ぶ問題では、全体の枚数を毎回数えるのではなく、前の段階から何枚増えたかを確認しましょう。

長方形を正方形タイルで敷き詰める問題では、最大公約数が利用できる場合があります。

また、重なりがある問題では、タイル1枚を追加したときに実際に何マス増えるかを見ることが重要です。

白黒タイルでは周期、複雑な敷き詰めでは場合の数や数の性質を利用することもあります。

家庭では、方眼紙や折り紙を使い、最初の数段階を実際に作らせる方法がおすすめです。

タイル問題を解くコツは、図全体を一度に見るのではなく、「1枚増えると何が変わるか」「どの形が繰り返されているか」を見つけることです。