中学受験算数の不定方程式｜解き方と典型問題

中学受験算数の不定方程式とは？

この記事では、中学受験算数の不定方程式について、基本的な考え方から整数解の探し方、典型問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

「不定方程式」という言葉は難しく見えますが、中学受験算数では、整数の条件を使って答えの候補を絞る問題として考えると分かりやすくなります。

普通の逆算のように式だけで答えが1つに決まるとは限らないことが大きな特徴です。

答えが1組に決まらない式を条件で絞る

例えば、

3×□＋5×△＝19

という式を考えてみましょう。

□と△には0以上の整数が入るものとします。

△＝2なら、

3×□＋10＝19

なので、

□＝3

です。

したがって、

□＝3、△＝2

という組が見つかります。

一方で、不定方程式では、問題によって答えが複数組存在することもあります。

そのため、「式を変形すれば終わり」ではなく、個数・金額・整数といった条件まで確認する必要があります。

中学受験では文字式より整数の性質を使う

中学校数学では、xやyを使って方程式を扱います。

しかし、中学受験では、文字式の操作よりも、

• 倍数
• 余り
• 偶数・奇数
• 最小公倍数
• 書き出し

などを使って考えることが一般的です。

例えば、

4×□＋7×△＝31

であれば、7×△が31以下になる△を試します。

△＝1なら、

31－7＝24

24÷4＝6

なので、

□＝6、△＝1

です。

△＝3なら、

31－21＝10

となり、4では割り切れません。

このように、整数になるかどうかを確認しながら候補を絞ります。

不定方程式とつるかめ算の違い

不定方程式とつるかめ算は似ていますが、条件の数に違いがあります。

つるかめ算では、

「全部で10匹」
「足は28本」

のように、合計個数と合計値という2つの条件があります。

そのため、通常は答えが1組に決まります。

一方、不定方程式では、

3×□＋5×△＝30

のように条件が1本しかないと、

□＝0、△＝6
□＝5、△＝3
□＝10、△＝0

など、複数の組が成り立つことがあります。

問題文に「どちらも1個以上」などの追加条件があれば、その条件でさらに絞ります。

不定方程式の基本的な解き方を例題で理解しよう

不定方程式では、すべての数字をやみくもに試す必要はありません。

倍数や余りに注目すると、候補を大きく減らせます。

例題1｜3個入りと5個入りで合計19個

問題

3個入りの袋と5個入りの袋を合わせて19個の商品を用意します。

それぞれの袋を1袋以上使うとき、何袋ずつ使えばよいでしょうか。

3個入りを□袋、5個入りを△袋とすると、

3×□＋5×△＝19

です。

5×△は19以下なので、△に入る候補は、

1、2、3

です。

順番に試します。

△＝1のとき、

19－5＝14

14は3で割り切れません。

△＝2のとき、

19－10＝9

9÷3＝3

なので、

□＝3

です。

△＝3なら、

19－15＝4

となり、3で割り切れません。

したがって、

3個入り3袋、5個入り2袋

が答えです。

例題2｜120円と180円の商品を合計1,200円買う

問題

120円の商品と180円の商品を、それぞれ1個以上買い、合計金額を1,200円にします。

買い方は何通りあるでしょうか。

120円の商品を□個、180円の商品を△個とすると、

120×□＋180×△＝1,200

です。

すべて60で割ると、

2×□＋3×△＝20

となります。

△に入る数を試すと、

△＝2なら、

2×□＋6＝20

□＝7

です。

△＝4なら、

2×□＋12＝20

□＝4

です。

△＝6なら、

2×□＋18＝20

□＝1

です。

したがって、

（□、△）＝（7、2）、（4、4）、（1、6）

の3通りです。

大きな数字のまま考えず、共通して割れる数で小さくすると見通しがよくなります。

余りに注目すると候補を減らせる

先ほどの、

2×□＋3×△＝20

を別の視点から見てみましょう。

2×□は必ず偶数です。

したがって、

20－3×△

も偶数でなければなりません。

20は偶数なので、3×△も偶数になる必要があります。

3は奇数ですから、△が偶数でなければなりません。

よって、

△＝2、4、6

だけを調べればよいと分かります。

このように、

「偶数になるには？」
「5で割った余りは？」
「3の倍数になるには？」

と考えると、試す数を減らせます。

最小公倍数を使うと別解も見つけられる

不定方程式では、1つ答えが見つかったあと、別の答えへ規則的に移ることもできます。

例えば、

2×□＋3×△＝20

で、

□＝7、△＝2

が分かったとします。

□を3減らすと、

2×3＝6

だけ合計が減ります。

その代わり△を2増やせば、

3×2＝6

増えるので、合計は変わりません。

したがって、

（7、2）
→（4、4）
→（1、6）

と答えを見つけられます。

2と3の最小公倍数6を利用した考え方です。

中学受験で出る不定方程式の応用パターン

入試では、「不定方程式を解きなさい」と直接書かれるとは限りません。

買い物、硬貨、個数、整数などの文章題として出題されることがあります。

個数の条件がある問題

問題

4個入りと7個入りの箱を合わせて38個のお菓子を用意します。

どちらの箱も1箱以上使う場合、何箱ずつでしょうか。

7個入りを△箱とすると、

38－7×△

が4の倍数になればよいと考えます。

△＝2なら、

38－14＝24

24÷4＝6

です。

したがって、

4個入り6箱、7個入り2箱

という組が見つかります。

さらに△を4増やすと28個増えるため、4個入りを7箱減らす必要があります。

しかし、

6－7

は負の数になるので、これ以上の答えはありません。

金額と枚数を組み合わせる問題

問題

50円玉と80円の商品券を使って、合計460円にします。

それぞれ1枚以上使うとき、何枚ずつ使えばよいでしょうか。

50×□＋80×△＝460

すべて10で割ると、

5×□＋8×△＝46

です。

8×△を46から引いた残りが5の倍数になればよいので、

△＝2なら、

46－16＝30

30÷5＝6

となります。

したがって、

50円相当を6枚、80円相当を2枚

という組が成り立ちます。

問題によっては複数解があるため、条件の範囲を最後まで確認してください。

倍数・余りの条件から整数解を絞る

例えば、

7×□＋4×△＝39

を考えます。

4×△は4の倍数なので、

39－7×□

が4の倍数になればよいことになります。

7は4で割ると3余ります。

39は4で割ると3余ります。

したがって、□＝1なら、

39－7＝32

で4の倍数になります。

□＝5でも、

39－35＝4

となり、4の倍数です。

このように余りを見ることで、すべての数字を試さずに候補を見つけられます。

中学受験では、「何で割ると考えやすいか」を判断できると強みになります。

場合分けが必要な問題は表に整理する

条件が複数ある問題では、表を使うと整理しやすくなります。

例えば、

3×□＋5×△＝30

なら、

□｜△
0｜6
5｜3
10｜0

という組が考えられます。

もし「どちらも1以上」なら、

□＝5、△＝3

だけが残ります。

「合計袋数が8袋以下」という条件が加われば、それぞれの組について□＋△を確認します。

複雑な問題ほど、頭の中だけで処理せず、候補を書き出しましょう。

不定方程式が苦手な子への家庭での教え方

不定方程式は、一度で答えを出す計算に慣れている子ほど難しく感じることがあります。

家庭では、最初から高度な解法を教えるより、「条件に合う整数を探す」感覚を身につけさせましょう。

最初は候補を書き出して規則を見つける

例えば、

2×□＋3×△＝14

なら、△を0、1、2……と入れてみます。

△＝0 → □＝7
△＝1 → □＝5.5
△＝2 → □＝4
△＝3 → □＝2.5
△＝4 → □＝1

整数になるのは、

（7、0）、（4、2）、（1、4）

です。

最初はこのように書き出して構いません。

慣れてくると、「△は偶数だけ調べればよい」と気づけるようになります。

合同式のような難しい言葉を先に教えない

不定方程式を数学的に学ぶと、合同式など高度な方法につながります。

しかし、中学受験段階では、その言葉を覚える必要はありません。

例えば、

「5で割り切れるには一の位はどうなる？」
「偶数にするにはどの数字を選ぶ？」

という、小学生が理解できる言葉で考えれば十分です。

方法の名前より、整数の性質を使って候補を減らす力を育てましょう。

答えが複数あることを確認する

不定方程式が苦手な子は、一つ答えを見つけるとそこで終わってしまうことがあります。

例えば、

2×□＋3×△＝12

では、

（6、0）
（3、2）
（0、4）

など複数の整数解があります。

問題文に「正の整数」「0も含む」「どちらも1以上」などの条件があるか確認してください。

家庭では、

「ほかにもある？」
「これで全部だと言える？」

と質問すると、答えを漏れなく探す習慣が身につきます。

解けなければ倍数と余りの基本へ戻る

不定方程式がまったく理解できない場合、整数の基本が十分に定着していない可能性があります。

まず、

2の倍数
3の倍数
5の倍数
偶数・奇数
割り算の余り

などを確認しましょう。

例えば、「4の倍数になる数を10個言ってみよう」という簡単な練習でも構いません。

整数の性質を理解できると、不定方程式でも「この数になるには何の倍数でなければならないか」を考えやすくなります。

まとめ｜不定方程式は整数条件で候補を絞ろう

中学受験算数の不定方程式は、式だけでは答えが1組に決まらず、整数や個数などの条件を使って答えを探す問題です。

基本的な解き方は、

候補を書き出す
倍数に注目する
余りに注目する
共通して割れる数で式を簡単にする
一つの解から次の解を探す

という流れです。

例えば、

2×□＋3×△＝20

なら、△が偶数だと分かれば、試す候補を大幅に減らせます。

また、答えが一つ見つかっても、ほかに整数解がないか確認することが重要です。

家庭では、いきなり難しい数学用語を使わず、具体的な数字を書き出して規則を見つけるところから始めましょう。

中学受験の不定方程式で大切なのは、公式を暗記することではなく、倍数・余り・整数という条件を使って候補を論理的に絞ることです。

基本問題から練習し、「なぜこの数だけ調べればよいのか」を説明できる状態を目指しましょう。