中学受験算数の図形回転｜解き方とコツを解説

中学受験算数の図形回転で押さえたい基本

この記事では、中学受験算数の図形回転について、回転の中心・点の動き・回転後の形・面積の考え方を、具体例を使ってやさしく解説します。

図形回転は、見た目が大きく変わるため、算数が苦手な子ほど難しく感じやすい単元です。

しかし、ポイントはそれほど多くありません。

「どこを中心に」「どの点が」「何度動くのか」を順番に確認すれば、複雑な問題でも整理できます。

回転の中心を最初に確認する

最初に見るべきなのは、回転の中心です。

例えば三角形ABCを点Aを中心に90度回転させるなら、点Aは動きません。

一方、点Bや点CはAを中心として円を描くように動きます。

ここで、

AからBまでの長さ
AからCまでの長さ

は回転しても変わりません。

つまり、回転後のBやCは、それぞれAから同じ距離にあります。

図形回転では、まず中心に丸をつけるくらいの意識で確認しましょう。

点は円弧を描いて動く

回転すると、点は直線ではなく円弧を描きます。

例えば、中心Oから4cm離れた点Pを90度回転させると、Pは半径4cm、中心角90度の円弧上を動きます。

1周360度のうち90度なので、円周の4分の1です。

移動距離は、

2×3.14×4×90/360

＝6.28cm

となります。

「点がどの道を通ったか」を考えるときは、円弧になることを忘れないようにしましょう。

回転しても長さや角度は変わらない

図形を回転させても、形そのものは変わりません。

例えば三角形を回しても、

辺の長さ
角の大きさ
面積

はすべて同じです。

そのため、回転後の図形について長さを求める問題では、元の図形の情報をそのまま使えることがあります。

見た目が変わったことで別の図形に見えても、対応する辺や角は同じです。

この性質を理解していると、回転後の図形を一から考える必要がなくなります。

図形回転の基本問題を例題で理解しよう

ここでは、点・線分・移動距離・面積の4つに分けて確認します。

例題1｜点を90度回転させる

問題

点Oから右に5cm離れた点Pを、Oを中心に反時計回りに90度回転させます。

回転後の点P’は、Oからどこにあるでしょうか。

もとのOPは5cmです。

90度反時計回りに回すので、P’はOの真上5cmの位置に来ます。

重要なのは、

OP＝OP’

であることです。

回転の中心から点までの距離は変わりません。

例題2｜線分を180度回転させる

問題

点Oを中心に線分ABを180度回転させます。

このとき、AとBはそれぞれOをはさんで反対側へ移動します。

180度回転は「半回転」です。

例えばAがOの右側3cmにあるなら、回転後のA’はOの左側3cmです。

同様に、Bも中心Oからの距離を保ったまま反対側へ移動します。

180度の回転では、中心をはさんで点対称の位置になることを覚えておくと便利です。

例題3｜回転する点が動く距離を求める

問題

中心Oから6cm離れた点Pを120度回転させます。Pが動いた距離を求めましょう。

点Pは、半径6cm、中心角120度の円弧上を動きます。

円周は、

2×3.14×6＝37.68cm

です。

120度は360度の3分の1なので、

37.68×120/360

＝12.56cm

となります。

答えは12.56cmです。

移動距離は直線OPではなく、Pが実際に通った円弧の長さです。

例題4｜図形が通過する部分の面積を求める

問題

長さ4cmの線分OPを、Oを中心に90度回転させます。この線分が通過した部分の面積を求めましょう。

線分OPが動くことで、半径4cm、中心角90度のおうぎ形ができます。

面積は、

4×4×3.14×90/360

＝12.56平方cm

です。

このように、線分の回転では「線が動いてできる面」が、おうぎ形になることがあります。

図形回転では、点なら円弧、線分ならおうぎ形になることを意識すると整理しやすくなります。

中学受験で差がつく図形回転の応用

入試では、単純に90度・180度回すだけでなく、複数の点が動いたり、重なった部分を考えたりする問題が出ます。

複数の頂点が描く円弧を分けて考える

例えば長方形を1つの頂点Aを中心に90度回転させるとします。

Aは動きません。

B、C、DはそれぞれAからの距離が違うため、描く円弧の半径も異なります。

例えば、

AB＝3cm
AD＝4cm

なら、Bは半径3cmの円弧を、Dは半径4cmの円弧を描きます。

対角のCは、

AC＝5cm

なら半径5cmの円弧を描きます。

複数の点を一度に考えず、各頂点ごとに「中心から何cm離れているか」を確認しましょう。

図形が重なる部分を整理する

図形を回転させると、元の図形と回転後の図形が重なることがあります。

この場合は、

元の図形
回転後の図形
共通部分

の3つに分けて考えます。

例えば2つの三角形が一部重なるなら、

全体＝元の面積＋回転後の面積－重なり

と考えられます。

回転前後で面積は変わらないため、元の面積が分かれば回転後の面積も同じです。

重なり部分を二重に数えないことが大切です。

回転移動と回転体を混同しない

「図形の回転」には、平面図形をそのまま回す回転移動と、平面図形をある直線のまわりに回して立体を作る回転体があります。

例えば長方形を1辺のまわりに1回転させると円柱ができます。

直角三角形を直角をはさむ1辺のまわりに回すと円すいができます。

この2つは別のテーマです。

回転移動では、図形の形は変わらず位置だけが変わります。

回転体では、平面図形が立体になります。

問題文に「点を中心に回転」なのか、「直線を軸として1回転」なのかが書かれているので、最初に確認しましょう。

回転前後の対応する点を見抜く

応用問題では、回転後の図形だけを見せられて、

「どの点が元のどの点に対応するか」

を考えることがあります。

このときは、中心からの距離を確認します。

例えば中心Oから3cmの点Aは、回転後もOから3cmの位置にあります。

さらに、OAとOA’のなす角が回転角です。

対応する点が分からないときは、

中心からの距離
回転角

の2つを確認すると判断しやすくなります。

図形回転が苦手な子への家庭での教え方

図形回転は、頭の中だけで動きを想像するのが難しい子もいます。

その場合は、実際に動かして確認するのが効果的です。

紙を実際に回して動きを確認する

紙に三角形や長方形を描き、回転中心に画びょうや鉛筆の先を当てて実際に回してみましょう。

例えば90度回すと、

「この頂点はここへ来る」

と目で確認できます。

動きを見てから図面上で考えると、円弧を描く理由も理解しやすくなります。

特に小4・小5では、手を動かす学習が有効です。

中心から点までの距離を書き込む

回転問題では、回転中心から各頂点への距離を書き込む習慣をつけましょう。

例えば、

OA＝3cm
OB＝5cm

と分かれば、Aは半径3cm、Bは半径5cmの円弧を描きます。

「どこへ行くか」だけを考えるより、「中心から何cm離れたまま動くか」を考えると整理しやすくなります。

一度に全体を動かさず点ごとに考える

複雑な図形を一度に回そうとすると混乱します。

まず、

Aはどこへ行く？
Bはどこへ行く？
Cはどこへ行く？

と1点ずつ考えます。

各点の回転後の位置が分かったら、それらを線で結びます。

図形は点の集まりです。

点の動きが分かれば、図形全体の回転も理解しやすくなります。

基本図形から複合図形へ段階的に進む

おすすめの順番は、

点の回転
線分の回転
三角形の回転
四角形の回転
回転する図形の面積
複合図形

です。

いきなり入試の複雑な問題に挑戦する必要はありません。

90度や180度の基本から始め、次に60度・120度などのおうぎ形を使う問題へ進みます。

同じ問題を何度も解くより、少しだけ形を変えた類題で練習すると理解が深まります。

まとめ｜図形回転は「中心・半径・角度」で考えよう

中学受験算数の図形回転で最も大切なのは、見た目に惑わされず、

回転の中心
中心からの距離
回転する角度

の3つを確認することです。

点は中心を基準に円弧を描いて動き、回転しても中心からの距離は変わりません。

また、図形そのものの辺の長さ・角度・面積も変わりません。

点の移動距離を求めるなら円弧、線分が通過する面積を求めるならおうぎ形を考えます。

応用問題では、複数の頂点を一度に追わず、1点ずつ中心からの距離を確認することが大切です。

家庭で教えるときは、紙を実際に回したり、中心と頂点を線で結んだりすると理解しやすくなります。

図形回転を解くコツは、「図全体がどう動くか」と悩む前に、1つの点が中心から同じ距離を保って何度動くのかを見ることです。

基本の90度・180度回転から練習し、円弧・おうぎ形・重なりを含む問題へ少しずつ進めていきましょう。