中学受験算数「票」の問題｜投票算の解き方

中学受験算数の「票」の問題とは？

この記事では、中学受験算数で出る「票」の問題について、投票算・当選確実の基本から、開票途中の問題、家庭で分かりやすく教える方法まで順を追って解説します。

中学受験算数で「票」が登場する問題は、一般に投票算や当選確実の問題として扱われます。

例えば、

「44人が1人1票を投じ、得票数の多い4人を選ぶ。確実に選ばれるには最低何票必要か」

といった形式です。

実際に2025年度の青山学院横浜英和中学校でも、44人から4人を選ぶ投票問題が出題されています。

投票算・当選確実の問題として出題される

票の問題では、

投票人数
当選人数
候補者数
途中までの得票数
残り票

などが条件として与えられます。

求めるのは、

「最低何票あれば確実に当選するか」

という形が中心です。

一見すると場合の数が多そうですが、すべての票の配り方を調べる必要はありません。

ポイントは「最悪の場合」を考えること

当選確実とは、

「残りの票がどのように入っても落選しない」

という意味です。

つまり、自分にとって一番不利な票の入り方を考えます。

例えば3人当選なら、自分以外の3人ができるだけ多く票を取る状態を考えます。

それでも自分が上位3人に残れるなら、当選確実です。

当選人数より1人多い人数に注目する

3人が当選する場合、落選する可能性がある境目は4位です。

そこで、

当選人数＋1人

に注目します。

2人当選なら3人、4人当選なら5人です。

この「当選枠より1人多い集団」に票をなるべく均等に分けると、当選ラインを考えやすくなります。

票の問題の基本的な解き方

まずは全員の投票が終わった、基本的な問題から確認します。

全員の投票が終わった問題

例題1：43人のクラスで3人の委員を選びます。1人1票を投じるとき、最低何票あれば必ず当選できますか。

3人が当選するので、

自分を含めて4人

が当選ラインを争う最悪の場合を考えます。

43票を4人でできるだけ均等に分けると、

43÷4＝10あまり3

です。

つまり、

11票、11票、11票、10票

という分け方ができます。

10票では、ほかの3人が11票ずつ取る可能性があるため、確実に当選できません。

一方、11票あればどうでしょうか。

43票の中で4人全員が11票以上取るには、

11×4＝44票

必要です。

しかし、実際には43票しかありません。

したがって、11票あれば4人全員が11票以上になることはなく、少なくとも上位3人に入れます。

答えは11票です。

同票になった場合まで考える

票の問題で難しいのが、同票です。

問題文に、

「同票の場合は抽選する」

「同票なら両方当選する」

などの条件があれば、そのルールに従います。

何も書かれていない場合でも、「確実に当選」という言葉があれば、同票で当選できない可能性まで考えるのが基本です。

そのため、

「ギリギリ同票になる票数」

ではなく、

「ライバルが同数まで追いつけない票数」

を求める意識が必要です。

最低何票なら確実かを求める

例題2：50人が1人1票を投じ、上位4人が当選します。何票あれば確実に当選できますか。

当選枠は4人なので、5人で争う最悪の場合を考えます。

50÷5＝10

です。

10票では、

10票ずつ5人

になる可能性があります。

すると4人しか当選できないため、10票では確実とは言えません。

したがって、

10＋1＝11票

必要です。

答えは11票です。

「割り切れたら1票足す」という形になりますが、公式だけで覚えず、なぜ10票では危ないのかを理解しましょう。

開票途中の投票算を例題で解説

入試では、開票途中の票数が与えられる問題もあります。

ここから少し難しくなります。

すでに当選確実な人を外して考える

例えば、3人当選する選挙で、

A＝105票
B＝48票
C＝36票
D＝33票

となっていて、残り票が少ないとします。

Aがほかの候補に追いつかれないほど多く得票しているなら、Aはすでに当選確実です。

その場合、

残り2枠

を誰が取るかだけ考えればよくなります。

すでに確定している人まで含めると、かえって計算が複雑になります。

残り票をライバルに集中させる

例題3：3人が当選する選挙で、Aはすでに当選確実です。残り2枠をB・C・Dの3人で争っています。現在の得票はB＝48票、C＝36票、D＝33票で、未開票が50票あります。Cが確実に当選するには、あと何票必要でしょうか。

残り2枠を3人で争うので、

B・C・Dに関係する票の合計

を考えます。

48＋36＋33＋50
＝167票

です。

3人でできるだけ均等に分けると、

167÷3＝55あまり2

です。

つまり最悪の場合、

56票、56票、55票

まで票が分かれます。

Cが確実に上位2人へ入るには、56票必要です。

現在Cは36票なので、

56－36＝20票

です。

この考え方は、2022年の巣鴨中学校で出題された投票算でも使われています。公開解説では、すでに当選が確実な候補を除き、残る当選枠より1人多い候補間で票を配分して考えています。

「当選できる」と「当選確実」を区別する

票の問題では、

当選する可能性がある

ことと、

当選が確実

であることを分けましょう。

例えば55票なら、ほかの人への票の入り方次第では当選できるかもしれません。

しかし、

「残り票が最悪の入り方をしても当選するか」

を考えるのが当選確実です。

この言葉の違いを読み落とすと、1票ずれた答えになりやすいので注意してください。

実際の入試でも投票算は出題されている

投票算は特殊なパズルではなく、中学入試で実際に出題されています。

2022年の巣鴨中学校では、生徒311人から3人の代表を選ぶ設定で、開票途中の得票と残り50票から当選確実に必要な票を求める問題が出題されました。

2023年の青山学院中等部でも、256人の選挙を題材にした投票算が確認できます。

そのため、難関校・上位校を目指す場合は、典型的な考え方を一度は整理しておくと安心です。

票の問題が苦手な子への家庭での教え方

投票算は、計算そのものより「最悪の場合」を考えることに難しさがあります。

家庭では、いきなり難問へ進まないことが大切です。

候補者を得票順に並べる

開票途中の問題では、まず得票順に並べます。

例えば、

A＝18
B＝30
C＝12
D＝25

なら、

B＝30
D＝25
A＝18
C＝12

と並べ直します。

この作業だけでも、

誰が安全なのか
誰が当落線上なのか

が見えやすくなります。

少人数の例で最悪の場合を作る

いきなり100票以上の問題を解くより、

7票で2人当選

のような小さい数字で考えます。

7票を3人へできるだけ均等に分けると、

3、2、2

です。

2票では3人が並ぶ可能性がありますが、3票なら3人全員が3票以上取るには9票必要なので不可能です。

小さい数なら、実際に紙に○を書いて票を配れます。

割り算の余りを丁寧に確認する

投票算では、

43÷4＝10あまり3

の「余り3」が重要です。

単に商10だけを見て、

「11票かな」

と覚えるのではなく、

11、11、11、10

と具体的に配ってみましょう。

余りが何を意味しているのか理解すると、応用にも対応できます。

答えを出したあと1票減らして検算する

「最低○票」という問題では、答えから1票引いて確かめる方法がおすすめです。

答えが11票なら、

10票でも本当にダメなのか？

を考えます。

50票・4人当選の例なら、10票ずつ5人に分けられるため、10票では確実ではありません。

この確認ができれば、11票が「最低」であることまで証明できます。

まとめ｜票の問題は「落選する最悪の配分」を考えよう

中学受験算数で出る「票」の問題は、投票算・当選確実の問題として整理できます。

基本は、

投票総数
当選人数
現在の得票
残り票

を確認し、自分にとって最も不利な票の配られ方を考えることです。

特に重要なのは、

当選人数より1人多い人数

に注目することです。

3人当選なら4人、4人当選なら5人で当落線を争う状態を考えます。

開票途中なら、すでに当選確実な候補を外し、残った当選枠について票を配分します。

家庭では、候補者を得票順に並べ、小さい数字で票を実際に分けてみると理解しやすくなります。

また、「最低何票」という問題では、求めた答えから1票減らして本当に落選の可能性があるか確認しましょう。

中学受験算数の票の問題で大切なのは、未来の票を予想することではなく、「最も不利な配られ方でも当選できるか」を算数で確かめることです。