中学受験算数の確率｜場合の数から解く考え方

中学受験算数の「確率」は場合の数から考える

この記事では、中学受験算数で出てくる確率に近い問題について、場合の数を使った基本的な考え方から、コイン・サイコロ・カードの例題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験では、中学校以降で学ぶ「確率」という言葉そのものより、場合の数を正確に数え、その中で条件に合う割合を考える問題として出題されることがあります。

大切なのは、公式を先に暗記することではありません。

まず、

全部で何通りあるか
そのうち条件に合うものは何通りか

を整理できることです。

まず「全部で何通り」を正確に数える

例えばコインを1回投げると、

表
裏

の2通りです。

サイコロを1回投げるなら、

1、2、3、4、5、6

の6通りです。

ここで大切なのは、条件に合う場合だけをいきなり数えないことです。

まず「全部」を確定させます。

そのあとで条件に合うものを探します。

「条件に合う場合」が何通りあるか調べる

サイコロを1回投げて偶数が出る場合を考えます。

全部は6通りです。

偶数は、

2、4、6

の3通りです。

したがって、条件に合う割合は、

3÷6＝1/2

です。

このように、

条件に合う場合の数÷全部の場合の数

という形で考えられます。

すべてが同じ起こりやすさかを確認する

ここで注意したいのは、「場合の数を数えれば何でもそのまま割合を出せる」とは限らないことです。

例えば普通のサイコロなら、1～6の各目は同じように出るものとして考えます。

しかし、

赤玉1個
白玉3個

が入った袋から1個取り出す場合に、

赤
白

の2種類だから1/2

とはできません。

玉は全部で4個あり、

赤1個
白3個

だからです。

「同じ起こりやすさのものを何個ずつ数えているか」を確認しましょう。

確率の基本問題を例題で解説

中学受験では、コイン・サイコロ・カードなどを使った問題が典型です。

コインを投げる問題

例題1：コインを2回投げます。2回とも表になる場合は、全部の場合のうちどれだけですか。

2回投げると、

表・表
表・裏
裏・表
裏・裏

の4通りです。

2回とも表になるのは、

表・表

の1通りです。

したがって、

1÷4＝1/4

です。

「表裏」と「裏表」は順番が違うので別のものとして数えることがポイントです。

サイコロを使う問題

例題2：1個のサイコロを1回投げ、3より大きい目が出る割合を求めます。

全部は、

1～6の6通り。

3より大きい目は、

4、5、6

の3通りです。

したがって、

3÷6＝1/2

です。

「3以上」と「3より大きい」は違います。

3以上なら、

3、4、5、6

の4通りになります。

文章の条件を正確に読むことも重要です。

カードを取り出す問題

例題3：1、2、3、4、5のカードから1枚を選びます。偶数を引く割合を求めます。

全部で5枚。

偶数は、

2、4

の2枚です。

したがって、

2÷5＝2/5

です。

この問題なら非常に単純ですが、カードを2枚選ぶ問題になると、順番を区別するかどうかで数え方が変わります。

2回以上の操作は樹形図で整理する

例えばサイコロではなく、赤・青の2色から1色を2回選ぶとします。

樹形図では、

赤
├ 赤
└ 青

青
├ 赤
└ 青

となります。

最後まで進むと、

赤赤
赤青
青赤
青青

の4通りです。

2回、3回と操作が続く問題は、頭の中だけで考えず、樹形図にすると数え漏れを防げます。

中学受験で差がつく確率・場合の数の考え方

基本問題ができるようになったら、言葉の条件や数え方を工夫する問題へ進みます。

「少なくとも」は反対の場合から考える

例題4：コインを3回投げ、少なくとも1回は表が出る割合を考えます。

「少なくとも1回」とは、

1回でも
2回でも
3回でも

表が出ればよいという意味です。

これを全部数えるより、

「1回も表が出ない」

場合を考えるほうが簡単です。

全部の場合は、

2×2×2＝8通り。

1回も表が出ないのは、

裏裏裏

の1通りだけです。

したがって条件に合うのは、

8－1＝7通り。

割合は、

7/8

です。

「少なくとも」は、反対の条件を考えると楽になることがあります。

順番を区別するかどうかを確認する

例えば1、2、3から2枚を選ぶとします。

「2枚を順番に並べる」なら、

12、13、21、23、31、32

の6通りです。

一方、「2枚を選ぶだけ」なら、

1と2
1と3
2と3

の3通りです。

12と21を別に数えるかどうかが違います。

問題文に、

並べる
順に取り出す

とあるのか、

選ぶ
組を作る

とあるのかを確認しましょう。

同じものを重複して数えない

場合の数で多い失敗が、同じ場合を2回数えることです。

例えば3人A・B・Cから2人を選ぶとき、

AとB
BとA

は、「選ぶだけ」なら同じ組み合わせです。

そのため、

AB
AC
BC

の3通りです。

樹形図だけでなく、表や整理された一覧を使うと重複に気づきやすくなります。

全部を書かず掛け算で数えられる場合もある

例えば、

シャツが3種類
ズボンが4種類

あり、1つずつ選ぶなら、

3×4＝12通り

です。

さらに帽子が2種類なら、

3×4×2＝24通り

となります。

最初は樹形図で意味を確認し、その後は同じ枝分かれが繰り返されていることに気づけば掛け算で処理できます。

中学受験では、全部を書き出す力と、書かずに数える力の両方が必要です。

確率が苦手な子への家庭での教え方

確率に近い問題が苦手な子は、分数計算より前に「全部の場合」を正しく数えられていないことが多くあります。

家庭では、いきなり難しい問題へ進まず、場合の数から確認しましょう。

公式より実際に書き出して理解する

例えばコインを2回投げる問題なら、

表表
表裏
裏表
裏裏

を実際に書きます。

最初から、

2×2＝4

だけで終わらせません。

なぜ4通りなのかを自分で説明できる状態を作ってから、掛け算へ進みます。

樹形図・表・一覧を使い分ける

問題によって整理しやすい方法は違います。

2回、3回と順番に選ぶなら樹形図。

2個のサイコロのように、

1個目の目
2個目の目

を組み合わせるなら表が便利です。

選択肢が少なければ一覧でも構いません。

大切なのは「きれいな方法」ではなく、漏れと重複を防げる方法を選ぶことです。

答えが0から1の間か確かめる

割合として答える場合、答えは、

0以上1以下

になります。

例えば「偶数が出る割合」が、

3/2

になったら明らかにおかしいと気づけます。

また、

1/10ならかなり起こりにくい
9/10ならかなり起こりやすい

と感覚的に確かめることもできます。

答えを出した後に、「このくらい起こりそう？」と考えてみましょう。

場合の数を固めてから応用問題へ進む

確率的な問題を得意にするには、

樹形図
場合分け
順列的な並べ方
組み合わせ
重複チェック

といった場合の数の土台が必要です。

例えば1・2・3・4から異なる2枚で2桁の整数を作る問題を、漏れなく12通り数えられないなら、まずそちらを練習します。

確率の計算を増やすより、数え方を安定させるほうが先です。

まとめ｜確率は「全部」と「条件に合う数」を正確に数えよう

中学受験算数で出てくる確率に近い問題では、まず場合の数を正確に数えることが重要です。

基本は、

全部の場合を数える
↓
条件に合う場合を数える
↓
条件に合う数÷全部の数

という流れです。

ただし、その前提として、数えている一つ一つが同じ起こりやすさになっているかを確認する必要があります。

コインやサイコロでは、

樹形図
表
一覧

を使いながら、漏れと重複を防ぎます。

また、

「少なくとも」なら反対の場合を考える
「並べる」と「選ぶ」を区別する
同じ組み合わせを2回数えない

という点も重要です。

家庭では、最初から公式だけを覚えさせず、実際に全部の場合を書き出すところから始めてください。

中学受験算数の確率問題で大切なのは、分数の計算そのものではなく、「全部で何通りあり、そのうち条件に合うのは何通りか」を漏れなく整理できる力です。