中学受験算数の鶴亀算｜基本と解き方を解説

中学受験算数の鶴亀算とは？

この記事では、中学受験算数の鶴亀算について、基本の考え方、例題の解き方、面積図や表の使い方、応用問題へのつなげ方まで順を追って解説します。

鶴亀算は、中学受験算数でよく学ぶ代表的な特殊算です。

典型的なのは、

鶴と亀が合わせて何匹いる
足の本数が全部で何本ある
鶴と亀はそれぞれ何匹か

を求める問題です。

鶴は2本足、亀は4本足なので、2種類の「1匹あたりの数」の違いを利用して内訳を求めます。

2種類のものの個数を求める特殊算

たとえば、

鶴と亀が合わせて10匹
足の本数は28本

だとします。

鶴は2本足、亀は4本足です。

この問題では、

鶴の数＋亀の数＝10匹

という個数の合計と、

鶴の足＋亀の足＝28本

という足の本数の合計が分かっています。

ここから、それぞれの匹数を求めます。

中学校なら方程式を使えますが、中学受験では小学生向けの考え方で解くのが基本です。

全部を一方だと仮定して差を考える

鶴亀算の中心は、

「もし全部が鶴だったら？」

と考えることです。

10匹すべてが鶴なら、

2×10＝20本

です。

しかし実際には28本あります。

差は、

28－20＝8本

です。

鶴1匹を亀1匹に変えると、

4－2＝2本

足が増えます。

8本多いので、

8÷2＝4匹

亀がいると分かります。

残りは、

10－4＝6匹

なので、鶴は6匹です。

鶴亀算は「1個あたりの差」がポイント

この問題で最も重要なのは、

全体の差
1匹あたりの差

の2つを分けることです。

全体の差は、

28－20＝8本

です。

1匹あたりの差は、

4－2＝2本

です。

したがって、

全体の差÷1匹あたりの差

で、置き換わった匹数を求められます。

つまり、

8÷2＝4匹

です。

家庭で教えるときは、この2種類の「差」を混同しないようにしましょう。

鶴亀算の基本的な解き方を例題で解説

ここでは、代表的な方法を確認します。

鶴と亀の足の本数を求める基本問題

例題です。

「鶴と亀が合わせて15匹います。足の本数は全部で42本です。鶴と亀はそれぞれ何匹ですか」

まず全部を鶴と仮定します。

2×15＝30本

です。

実際は42本なので、

42－30＝12本

多いことになります。

鶴1匹を亀1匹に変えると、

4－2＝2本

増えます。

したがって、

12÷2＝6匹

亀がいます。

鶴は、

15－6＝9匹

です。

答えは、

鶴9匹
亀6匹

です。

全部を鶴と仮定する方法

なぜ全部を鶴と考えるのでしょうか。

理由は、最初にすべて同じものにそろえると、差だけに注目できるからです。

もともとは、

鶴と亀

の2種類が混ざっています。

これをいったん全部鶴にすると、

仮の合計と実際の合計の差

だけを見ればよくなります。

もちろん全部を亀と仮定しても解けます。

15匹すべて亀なら、

4×15＝60本

実際の42本との差は、

60－42＝18本

亀1匹を鶴1匹に変えると2本減るので、

18÷2＝9匹

鶴がいると分かります。

どちらから考えても答えは同じです。

表を使って整理する方法

鶴亀算は、表にすると見やすくなります。

種類｜1匹あたりの足｜匹数｜足の合計
鶴｜2本｜？匹｜？本
亀｜4本｜？匹｜？本

と書きます。

さらに、

全部鶴なら15匹×2本＝30本
実際は42本
差は12本

と整理します。

数字が多い問題では、頭の中だけで処理せず表にすることでミスを減らせます。

面積図で考える方法

鶴亀算は面積図でも考えられます。

横を匹数、縦を1匹あたりの足の本数とします。

15匹すべてが鶴なら、

横15
縦2

の長方形で、面積は30です。

実際は42なので、余分な12の部分があります。

亀は鶴より1匹あたり2本多いので、

12÷2＝6

となり、亀が6匹と分かります。

面積図は、金額問題や平均問題にもつながる便利な考え方です。

中学受験で出る鶴亀算の応用パターン

入試では、「鶴と亀」という言葉が出ない鶴亀算が多くあります。

構造を見抜くことが重要です。

金額と個数を求める問題

たとえば、

100円のノートと150円のノートを合わせて20冊買い、合計2400円

とします。

全部100円なら、

100×20＝2000円

です。

実際との差は、

2400－2000＝400円

1冊を150円にすると、

150－100＝50円

増えます。

したがって、

400÷50＝8冊

150円のノートがあります。

100円のノートは、

20－8＝12冊

です。

「2種類・個数の合計・金額の合計」があれば、鶴亀算を考えられます。

平均と合計を使う問題

平均の問題にも鶴亀算の考え方が使えます。

たとえば、

80点と60点のテスト結果が合わせて10人分あり、平均点が68点だった

とします。

全員60点なら、

60×10＝600点

です。

実際の合計点は、

68×10＝680点

差は80点。

80点の人1人につき、

80－60＝20点

増えます。

したがって、

80÷20＝4人

80点の人がいると分かります。

弁償算への発展

鶴亀算の応用として弁償算があります。

たとえば、

成功すると5点
失敗すると2点引かれる

という問題です。

ここでは、

＋5点
－2点

の2種類を扱います。

全部成功と仮定し、実際との差を考える点は鶴亀算と同じです。

ただし1回成功から失敗へ変えると、

5＋2＝7点

差が生まれます。

「全部一方と仮定する」という考え方が身についていると、弁償算にも入りやすくなります。

3種類に見える問題の考え方

入試では、

100円
150円
200円

の3種類が出てくることもあります。

この場合、普通の鶴亀算だけではすぐ解けないことがあります。

ただし、

ある種類の個数が分かっている
2種類をひとまとめにできる
平均や差の条件がもう1つある

などの条件があれば、2種類の鶴亀算へ整理できる場合があります。

「3種類だから鶴亀算ではない」と決めつけず、2種類に整理できないかを考えましょう。

鶴亀算が苦手な子への家庭での教え方

鶴亀算は、公式を覚えるだけでは応用しにくい単元です。

公式を暗記させる前に具体例で確認する

いきなり、

（実際の合計－仮の合計）÷1個あたりの差

という式を覚えさせる必要はありません。

まず、

鶴3匹なら足は何本？
亀3匹なら何本？
鶴1匹を亀に変えたら何本増える？

と具体的に確認します。

2本から4本になるので、

2本増える

と理解できれば十分です。

「全部同じなら？」と毎回聞く

鶴亀算を見たら、

「全部安いほうなら？」
「全部鶴なら？」
「全部60点なら？」

と問いかけます。

場面が変わっても、

全部一方と仮定する

という共通点に気づけるようになります。

この発想が身につけば、問題文に「鶴亀算」と書かれていなくても対応できます。

差を二段階で整理する

家庭では、

全体の差＝？
1個あたりの差＝？

と2行に分けて書かせるのがおすすめです。

たとえば、

全体の差：2400－2000＝400円
1冊の差：150－100＝50円

その後、

400÷50＝8冊

とします。

「どの差をどの差で割るのか」が目で分かるため、式の意味を理解しやすくなります。

翌日に数字を変えて解き直す

その日の例題が解けても、数字を覚えただけかもしれません。

翌日に、

100円と150円
↓
120円と180円

のように数字を変えた類題を解きます。

さらに、

鶴と亀
↓
ノート
↓
テストの点数

と場面を変えてみましょう。

どの問題でも同じ考え方が使えれば、鶴亀算の仕組みを理解できています。

まとめ｜鶴亀算は「全部一方→差→1個分」で考える

中学受験算数の鶴亀算では、

2種類のもの
個数の合計
数量の合計

から、それぞれの個数を求めます。

基本は、

全部を一方だと仮定する
↓
実際との差を求める
↓
1個あたりの差を求める
↓
全体の差÷1個あたりの差

です。

たとえば、

鶴と亀15匹
足42本

なら、

全部鶴だと30本
実際との差は12本
1匹入れ替えると2本増える

ので、

12÷2＝6匹

亀がいると分かります。

入試では、

ノートの金額
テストの点数
平均
弁償算

など、鶴や亀が登場しない問題へ発展します。

そのため、

「この問題は鶴亀算？」

と名前を当てるより、

「全部一方にしたらどうなる？」

と考えられることが重要です。

家庭では、

「全部安いほうなら？」
「実際とはいくら違う？」
「1個替えるといくら変わる？」

と順番に聞いてみてください。

鶴亀算は、公式暗記の単元ではありません。

2種類が混ざった状態を、いったん1種類にそろえ、差から元の内訳を戻す考え方です。

「全部一方→全体の差→1個分の差」。

この流れを理解できれば、基本問題から金額・平均・弁償算などの中学受験らしい応用問題まで、安定して対応できるようになります。