中学受験算数のベン図｜集合問題の解き方

中学受験算数のベン図で押さえる基本

この記事では、中学受験算数のベン図について、重なりの考え方、2つ・3つの集合の典型問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

ベン図は、人や数を条件によって仲間分けするときに使う図です。

例えば、

サッカーが好きな人
野球が好きな人

を2つの円で表すと、

サッカーだけ好き
野球だけ好き
両方好き
どちらも好きではない

という4つのグループに分けられます。

中学受験では、この「重なり」を正しく数えられるかが重要です。

ベン図は「仲間分け」を見える化する図

例えば30人のクラスで、

算数が好きな人18人
理科が好きな人15人

だったとします。

これだけでは、

算数だけ好き
理科だけ好き
両方好き

が何人いるかは分かりません。

そこで2つの円を重ねたベン図を使います。

円A＝算数が好き
円B＝理科が好き

とすると、重なっている部分が、

算数も理科も好き

な人です。

重なっている部分は両方に当てはまる

例えば、

算数が好き18人
理科が好き15人
両方好き8人

なら、8人は算数の18人にも理科の15人にも含まれています。

そのため、

18＋15＝33人

とそのまま足すと、8人を2回数えることになります。

この「二重に数える」ことが、ベン図問題で最も多いミスです。

「少なくとも一方」は重なりを1回だけ数える

「算数または理科の少なくとも一方が好きな人」は、

算数だけ
理科だけ
両方

を合わせた人数です。

先ほどの例なら、

18＋15－8＝25人

です。

なぜ8を引くのかというと、

18＋15

の中で両方好きな8人を2回数えているからです。

したがって、

AまたはB＝A＋B－両方

と考えます。

「どちらにも入らない」は全体から引く

クラスが30人で、

少なくとも一方が好きな人が25人

なら、

どちらも好きではない人は、

30－25＝5人

です。

ベン図では、

円の外側

にいる人です。

「どちらにも入らない」と書かれていたら、

全体－円の中

と考えると整理しやすくなります。

ベン図の基本問題を例題で解いてみよう

ここからは典型問題を確認します。

例題1｜2つの集合の重なりを求める

40人のクラスで、

算数が好きな人22人
理科が好きな人18人
少なくとも一方が好きな人30人

でした。

両方好きな人は何人でしょう。

22＋18＝40

ですが、少なくとも一方は30人です。

つまり、

40－30＝10人

を二重に数えています。

したがって、

両方好きな人＝10人

です。

式にすると、

22＋18－30＝10

です。

例題2｜少なくとも一方に入る人数

50人のうち、

Aに入る人28人
Bに入る人24人
両方に入る人12人

とします。

少なくとも一方に入る人数は、

28＋24－12＝40人

です。

ここでも、

両方に入る12人を1回引く

ことがポイントです。

例題3｜どちらにも入らない人数

全体が50人で、

少なくとも一方に入る人が40人

なら、

50－40＝10人

です。

ベン図では、2つの円の外側に10人いることになります。

例題4｜一方だけに入る人数

Aに入る人が28人。

両方に入る人が12人。

Aだけに入る人は、

28－12＝16人

です。

同じように、

Bだけに入る人は、

24－12＝12人

です。

「Aの人数」には重なりも含まれているため、

Aだけ

を求めるときは重なりを引きます。

中学受験で差がつく3つの集合とベン図

入試では、円が3つある問題も出ます。

3集合になると一気に複雑に見えますが、順番を守れば整理できます。

3つの集合は中央の重なりから埋める

A・B・Cの3つの集合があり、

3つすべてに入る人

が分かっている場合は、まず中央から書きます。

次に、

AとBの両方
BとCの両方
CとAの両方

を埋めます。

最後に、

Aだけ
Bだけ
Cだけ

を求めます。

外側から埋めると重なりを二重に数えやすいため、

中央→2つの重なり→1つだけ

の順が基本です。

2つだけに入る人数を順番に求める

例えば、

AとBに入る人10人
A・B・Cすべてに入る人4人

なら、

AとBだけに入る人は、

10－4＝6人

です。

「AとBに入る10人」の中には、3つすべてに入る4人も含まれています。

この考え方を、

AB
BC
CA

のそれぞれで使います。

「少なくとも1つ」は重複に注意する

3集合では、

A＋B＋C

と足すだけでは、重なりを何度も数えてしまいます。

そのため、

2つの重なり
3つの重なり

を丁寧に整理します。

小学生に複雑な公式を丸暗記させるより、

ベン図に人数を書き込む

ほうが安全です。

特に算数が苦手な子は、図を完成させてから合計したほうがミスを減らせます。

表や条件整理と組み合わせる問題もある

中学受験では、

スポーツ
習い事
好きな教科
整数の性質

などとベン図を組み合わせることがあります。

例えば1～100までの整数について、

2の倍数
3の倍数

を分類する問題なら、

2の倍数＝50個
3の倍数＝33個
両方＝6の倍数＝16個

と考えます。

少なくとも一方は、

50＋33－16＝67個

です。

ベン図は人数問題だけでなく、倍数や場合の数にも使える考え方です。

ベン図が苦手な子への家庭での教え方

ベン図が苦手な子は、計算より前に条件整理でつまずいていることが多いです。

数字をいきなり入れず条件を日本語で整理する

問題を読んだら、

Aだけ
Bだけ
両方
どちらでもない

の4つを先に確認します。

例えば、

「算数が好き18人」

なら、

算数だけ18人

ではありません。

両方好きな人も含まれています。

この違いを言葉で確認してから図へ移しましょう。

重なりから先に書き込む

2つの集合なら、

両方

から書きます。

例えば、

A＝20人
B＝15人
両方＝6人

なら、最初に中央へ6。

そのあと、

Aだけ＝20－6＝14
Bだけ＝15－6＝9

とします。

重なりを最後にすると二重計算しやすくなります。

二重に数えた部分へ印をつける

A＋Bをしたとき、

どの部分が2回数えられている？

と聞いてみてください。

重なり部分へ色を塗る、○をつけるなどすると、

なぜ引くのか

が理解しやすくなります。

公式、

A＋B－両方

だけを暗記させるより、意味を理解できます。

翌日は数字を変えた類題で確認する

当日に、

全体40人
A22人
B18人
少なくとも一方30人

を解いたら、翌日は数字を変えます。

さらに1週間後には、

どちらでもない人数
Aだけの人数
3つの集合

へ発展させます。

図が変わっても、

「まず重なりから」

と言えれば、考え方が定着しています。

まとめ｜ベン図は「重なりを先に見る」と解きやすい

中学受験算数のベン図では、最も大切なのは、

同じ人や数を二重に数えないこと

です。

2つの集合なら、

AまたはB
＝A＋B－両方

と考えます。

例えば、

A＝28人
B＝24人
両方＝12人

なら、

28＋24－12＝40人

です。

全体が50人なら、

どちらにも入らない人は、

50－40＝10人

となります。

3つの集合では、

中央
↓
2つの重なり
↓
1つだけ
↓
外側

の順番で埋めると整理しやすくなります。

家庭で子どもが迷ったら、

「何の公式？」

と聞くのではなく、

「この人はどの円に入る？」
「ここは2回数えていない？」
「まず重なっているところは何人？」

と確認してみてください。

ベン図の目的は、難しい公式を使うことではありません。

条件が重なっている状況を目で見える形にして、人数や数を正確に整理することです。

重なりを先に書く習慣が身につけば、2つの集合だけでなく、3つの集合、倍数、場合の数などの応用問題にも対応しやすくなります。