中学受験算数の正六角形｜解き方と補助線のコツ

中学受験算数の正六角形で覚えたい基本性質

この記事では、中学受験算数の正六角形について、基本性質、角度・面積の解き方、補助線の引き方、家庭での練習方法まで順を追って解説します。

正六角形は、中学受験の平面図形でよく利用される形です。

角度を求める問題だけでなく、

面積
対角線
図形の分割
正三角形との組み合わせ

など、さまざまな形で登場します。

難しく見えても、最初に覚えておきたいポイントはそれほど多くありません。

特に重要なのが、

「正六角形は正三角形6個に分けられる」

という性質です。

正六角形は6つの正三角形に分けられる

正六角形の中心をOとし、6つの頂点すべてとOを結んでみましょう。

すると、正六角形は同じ大きさの三角形6個に分かれます。

中心のまわりは360度ですから、

360÷6＝60度

となり、それぞれの三角形の中心角は60度です。

さらに中心から各頂点までの長さは等しく、正六角形の1辺とも同じ長さになります。

つまり、この6個はすべて正三角形です。

中学受験で正六角形を見たら、

「中心から頂点へ線を引けば正三角形ができる」

と最初に考えましょう。

1つの内角は120度になる

正六角形の1つの内角は120度です。

これも丸暗記するより、正三角形から理解できます。

頂点のところを見ると、中心へ引いた線によって、

60度＋60度＝120度

となります。

たとえば正六角形の辺を延長したときにできる外角なら、

180－120＝60度

です。

つまり正六角形では、

60度
120度

が頻繁に登場します。

角度問題では、この2つを見つけることが第一歩です。

中心から頂点までの長さは1辺と同じ

1辺が5cmの正六角形なら、

中心から頂点まで

も5cmです。

この性質を知っていると、図の中に正三角形を見つけやすくなります。

たとえば、

中心O
隣り合う頂点A・B

を結んだ三角形OABは、

OA＝OB＝AB

です。

したがって正三角形となり、3つの角はすべて60度です。

「長さが書かれていないから分からない」と止まる子には、この性質を確認しましょう。

向かい合う頂点を結ぶ長さは1辺の2倍

正六角形の向かい合う頂点同士を結ぶと、その線は中心を通ります。

1辺を4cmとすると、

頂点から中心まで4cm
中心から反対側の頂点まで4cm

なので、

4＋4＝8cm

です。

つまり、

向かい合う頂点を結ぶ対角線＝1辺の2倍

となります。

正六角形の長さ問題ではよく使う性質です。

正六角形の角度・面積問題を例題で解説

基本性質が分かれば、典型問題はかなり整理しやすくなります。

中心角60度を使って角度を求める

正六角形ABCDEFの中心をOとします。

OAとOBを結べば、

∠AOB＝60度

です。

さらに三角形AOBは正三角形なので、

∠OAB＝60度
∠OBA＝60度

です。

正六角形の角度問題では、いきなり求めたい角度だけを見るのではなく、

中心を作る
↓
60度を増やす

という考え方が使えます。

複雑な図でも、60度が2つ集まれば120度になるなど、既知の角度を足し引きしていきます。

面積は正三角形6個分として考える

正六角形の面積も、6つの正三角形に分けると理解しやすくなります。

たとえば1辺が6cmで、分割された正三角形1個の高さが与えられているなら、

正三角形1個の面積
＝底辺×高さ÷2

を求め、

その6倍

にすれば正六角形全体の面積です。

中学受験では小学校範囲で解けるよう、高さや必要な長さが問題中に与えられたり、別の図形との面積比を利用したりする形がよくあります。

「正六角形専用の面積公式」を暗記するより、正三角形へ分割する考え方のほうが応用しやすいです。

色のついた部分は全体との差で求める

正六角形の内部に三角形や別の六角形が描かれ、

色の部分の面積を求める

問題もあります。

このとき、

色の部分を直接求める

より、

正六角形全体－白い部分

としたほうが簡単なことがあります。

たとえば全体が正三角形6個分で、白い部分が2個分なら、

6－2＝4個分

です。

図形問題では、

足す方法
引く方法

の両方を考えましょう。

正三角形を見つけると複雑な図も整理できる

正六角形の中に対角線が何本も引かれていると、難しい図に見えます。

しかし、

中心
隣り合う頂点
1辺

に注目すると、正三角形が隠れています。

正三角形を見つければ、

角度60度
3辺が等しい

という情報が一度に増えます。

そのため正六角形問題では、

「正三角形はどこ？」

と探す習慣をつけましょう。

中学受験で差がつく正六角形の補助線の引き方

正六角形の応用問題では、補助線が解法の入口になることがあります。

まず中心と頂点を結ぶ

最も基本的な補助線は、

中心と頂点を結ぶ線

です。

これだけで正三角形6個が現れます。

角度問題で何も見えないときは、まず中心から頂点へ線を引いてみましょう。

特に、

60度
120度
等しい長さ

が必要な問題で有効です。

向かい合う頂点を結んで対称性を見る

正六角形には強い対称性があります。

向かい合う頂点を結ぶと、

正六角形を左右または上下に同じ形へ分ける

ことができます。

たとえば全体の面積を2等分したいときや、同じ大きさの三角形を見つけたいときに便利です。

「半分にできないかな？」

という視点を持つと、補助線が見つかりやすくなります。

平行な辺を使って同じ高さを探す

正六角形には、向かい合う辺同士が平行になる性質があります。

面積比問題では、

同じ高さをもつ三角形

を見つけることが重要です。

同じ高さなら、

面積比＝底辺の比

として考えられるからです。

正六角形を見たら、

どの辺とどの辺が平行か

にも注目してください。

角度だけでなく面積問題でも使える大切な視点です。

正六角形を三角形や台形に分ける

中心が示されていない問題では、

正三角形6個

にこだわらなくても構いません。

横線や対角線を引いて、

長方形
台形
三角形

など、面積を求めやすい形に分割する方法もあります。

補助線には唯一の正解があるとは限りません。

「知っている形を作れないか」

と考えることが重要です。

正六角形が苦手な子への家庭学習法

正六角形を苦手にする子には、公式を増やすより図を実際に分解する練習が効果的です。

公式より実際に6つへ分けて理解する

まず紙に正六角形を書き、

中心から6つの頂点へ線を引きます。

そして、

「何個の三角形ができた？」

と聞きます。

6個と答えたら、

「この三角形は何三角形？」

と続けます。

正三角形であることを自分で確認できれば、

60度
中心から頂点＝1辺

も自然につながります。

角度・長さ・面積を別々に練習する

正六角形が苦手だからと、複雑な総合問題ばかり解かせないようにしましょう。

まず、

角度だけ3問
長さだけ3問
面積だけ3問

のように分けます。

それぞれの基本が安定してから、複数の要素が混ざった問題へ進みます。

補助線を引いた理由を説明させる

子どもが中心へ線を引けたら、

「どうしてそこに引いたの？」

と聞きます。

「正三角形を作りたかったから」

と説明できれば、補助線の意味を理解しています。

解説をまねして線を引いただけなら、別の問題では再現できない可能性があります。

中学受験の図形では、

どこへ引いたか

より、

なぜそこへ引いたか

を言葉にできることが大切です。

数字を変えた類題を翌日に1問解く

たとえば、

1辺4cm

の問題を理解したら、翌日は、

1辺7cm

に変えた類題を1問解きます。

また、

角度問題
↓
同じ図を使った面積問題

のように少し条件を変えてもよいでしょう。

解説を覚えたのではなく、正六角形の性質を使えているか確認できます。

大量に解く必要はありません。

翌日に1問、自力で再現できるかを見るだけでも十分です。

まとめ｜正六角形は「正三角形6個」が攻略の出発点

中学受験算数の正六角形で最初に覚えたいのは、

正六角形＝正三角形6個

という見方です。

中心と頂点を結ぶと、

中心角は60度
1つの内角は120度
中心から頂点まで＝1辺
向かい合う頂点間＝1辺の2倍

という重要な性質が見えてきます。

角度問題なら、

60度と120度。

面積問題なら、

正三角形6個分。

長さ問題なら、

正三角形の等しい辺。

まずこの3つへ戻りましょう。

応用問題で手が止まったときは、

中心と頂点を結べない？
正三角形はどこ？
左右対称に分けられない？
平行な辺はどこ？
知っている三角形や台形にできない？

と考えます。

家庭では、正六角形の性質を丸暗記させるより、

実際に線を引いて確かめる

ことをおすすめします。

そして補助線を引いたら、

「なぜこの線を引いたの？」

と聞いてみてください。

正六角形の図形問題で本当に必要なのは、解説と同じ線を覚えることではありません。

複雑な図を、

正三角形
同じ高さの三角形
対称な図形

など、自分が知っている形へ変える力です。

正六角形を見たら、まず「正三角形6個」。

この見方を出発点にすれば、角度・面積・対角線・補助線が組み合わされた中学受験の問題にも対応しやすくなります。