中学受験算数の回転移動｜解き方とコツを解説

中学受験算数の回転移動で押さえる基本

この記事では、中学受験算数の回転移動について、基本の考え方、点が動く距離や面積の求め方、応用問題への対応、家庭での教え方まで順を追って解説します。

回転移動とは、ある点を中心として図形をぐるっと動かすことです。

中学受験では、

点が動いた距離
辺が通過した範囲
図形が動いてできる面積
多角形が転がる問題

などに発展します。

見た目は複雑ですが、最初に確認することは3つだけです。

中心・半径・回転角度

この3つを図へ書き込むと、多くの問題が整理しやすくなります。

回転の中心は動かない

まず覚えたいのは、

回転の中心そのものは動かない

ということです。

たとえば点Oを中心に三角形ABCを90度回転させるなら、Oはその場所に固定されています。

回転問題で手が止まったら、

「どこを中心に回している？」

と確認しましょう。

中心が分からないまま、点の動きを考えることはできません。

中心から同じ距離を保って動く

回転する点は、中心からの距離を変えません。

点Oから5cm離れた点Aを回転させるなら、移動中も、

OA＝5cm

のままです。

そのため、点Aは半径5cmの円の上を動きます。

これが回転移動の最も重要な性質です。

たとえば点Bが中心から8cm離れているなら、Bは半径8cmの円の上を動きます。

同じ図形の頂点でも、中心からの距離が違えば動く道のりも違います。

点の軌跡は円や円弧になる

点が動いた道すじを「軌跡」と考えます。

回転の中心から一定の距離を保って動くため、軌跡は、

円
または円の一部分である円弧

になります。

90度回転なら4分の1円。

180度なら半円。

360度なら1周です。

回転移動を見たら、

「この点は何cmを半径とする円の上を動く？」

と考える習慣をつけましょう。

回転角度を最初に確認する

同じ半径でも、90度回転と180度回転では移動する長さが違います。

360度を1周とすると、

90度＝4分の1周
120度＝3分の1周
180度＝2分の1周

です。

したがって、回転問題では、

中心
中心からの距離
何度回るか

の3つを必ず最初に確認します。

回転移動の典型問題を例題で解説

ここからは、中学受験でよく出る典型問題を見ていきましょう。

点が動いた距離は円周の一部として求める

点Oから6cm離れた点Aを、Oを中心に180度回転させます。

Aが動く道のりは、半径6cmの円の半周です。

円周は、

6×2×3.14＝37.68cm

その半分なので、

37.68÷2＝18.84cm

です。

ポイントは、

直線距離を求めているのではなく、円弧の長さを求めている

ことです。

90度回転なら円周の4分の1

半径8cmの位置にある点を90度回転させるなら、

8×2×3.14×1/4

と考えます。

8×2×3.14＝50.24

なので、

50.24÷4＝12.56cm

です。

子どもには、

「90度は360度の何分の1？」

と聞くとよいでしょう。

角度と円周の割合が結びつけば、120度や270度でも対応できます。

図形の頂点ごとに半径が違うことがある

たとえば長方形ABCDを、頂点Aを中心に回転させるとします。

Aは中心なので動きません。

しかし、

BはABを半径として動く
DはADを半径として動く
CはACを半径として動く

ことになります。

つまり同じ長方形の中でも、頂点によって描く円弧の半径が違います。

ここを全部同じ半径と考えてしまうと間違えます。

図に、

AB＝○cm
AD＝○cm
AC＝○cm

と書き込んでから計算しましょう。

回転してできる面積は扇形に分ける

図形が回転して通過する面積を求める場合は、扇形として考えます。

たとえば半径6cmの線分が90度回転するなら、その線分が通過する範囲は半径6cm、中心角90度の扇形です。

面積は、

6×6×3.14×1/4

で求められます。

複雑な図形でも、

どの部分が何cmを半径として動くか

に分解すると、扇形の足し算・引き算で処理できることがあります。

中学受験で差がつく回転移動の応用問題

入試では、単純に1点を回すだけでなく、図形全体が通過した範囲を考えさせる問題も出ます。

辺が通過する範囲は外側と内側を分ける

棒状の図形や辺が中心から離れた場所を回転すると、

外側の点が描く円弧
内側の点が描く円弧

ができます。

この場合、通過した面積は、

大きな扇形－小さな扇形

として求められることがあります。

たとえば中心から外側まで8cm、内側まで5cmなら、

半径8cmの扇形
－半径5cmの扇形

です。

「外側だけ見て全部塗る」のではなく、内側に空く部分がないか確認しましょう。

転がる図形は回転の中心が途中で変わる

正方形や正三角形が地面の上を転がる問題では、回転の中心が固定されません。

正方形なら、

最初の頂点を中心に回る
↓
次の頂点が地面につく
↓
今度はその頂点が中心になる

という動きを繰り返します。

そのため、

1回目
2回目
3回目

と区切って考える必要があります。

一気に全体を考えようとすると混乱しやすい問題です。

正方形・正三角形では回転角度に注目する

正方形を1辺ずつ転がす場合、1回の回転は90度です。

正三角形なら、1回に120度回転します。

ここで重要なのは、

図形の内角ではなく、実際にどれだけ回転するか

を確認することです。

正方形は90度。

正三角形は120度。

正六角形なら60度。

多角形が転がる問題では、この回転角度が点の移動距離を求めるカギになります。

重なった部分を二重に数えない

図形が何回も回転すると、通過する範囲が重なることがあります。

たとえば扇形を2つ足しただけでは、

重なった部分を2回数えている

可能性があります。

面積問題では必ず、

この2つは重なっていない？
すでに数えた部分ではない？

と確認してください。

複雑な回転移動ほど、最初から式を作らず、通過した部分を図の中で塗り分けると分かりやすくなります。

回転移動が苦手な子への家庭での教え方

回転移動は、頭の中だけで考えさせるより実際に動かしたほうが理解しやすい単元です。

コンパスで実際に円弧を描く

紙に点Oと点Aを書きます。

コンパスの針をOへ置き、Aまでの長さを取って円弧を描きます。

すると、

「AはOから同じ距離を保って動く」

ことを目で確認できます。

回転移動が苦手な子には、公式説明よりこの体験のほうが理解につながることがあります。

中心・半径・角度の3つを書き込む

問題を解くたびに、

中心＝O
半径＝6cm
回転角＝90度

のように図へ書き込みます。

家庭では、

「中心はどこ？」
「半径はどこ？」
「何度回る？」

の3問を毎回聞いてみてください。

この3つが答えられれば、回転問題の入口はほぼできています。

点の移動と図形全体の移動を分ける

難しい問題ほど、

図形全体がどう動くか

を一度に考えようとして混乱します。

最初は、

Aはどう動く？
Bは？
Cは？

と頂点ごとに分けましょう。

それぞれの点が描く円弧が分かれば、図形全体が通過する範囲も見えやすくなります。

翌日に数字を変えた類題を1問解く

半径6cm・90度の問題を理解したら、翌日は、

半径8cm・90度
半径6cm・120度

などに変えた類題を1問解きます。

そこで、

中心
半径
角度

を自力で確認できれば、解き方が定着してきています。

大量演習より、同じ考え方を翌日に再現できることを重視しましょう。

まとめ｜回転移動は「中心・半径・角度」で整理しよう

中学受験算数の回転移動は、図が複雑になると難しく見えます。

しかし、最初に見るものは、

回転の中心
中心からの距離＝半径
回転する角度

の3つです。

点は、回転の中心から同じ距離を保って動きます。

そのため軌跡は、

円
または円弧

になります。

基本問題では、

点が動く距離
→円周×回転した割合

図形が通過する面積
→扇形の面積

として考えます。

さらに応用では、

外側と内側の扇形を引く
回転中心の変化を区切る
重なった部分を確認する

という視点が必要です。

正方形や正三角形が転がる問題では、

1回ごとに中心が変わる

ことにも注意しましょう。

家庭で教えるときは、いきなり、

「この公式を使うよ」

と説明するより、

「どこを中心に回っている？」
「この点は中心から何cm？」
「何度動く？」

と聞くほうが効果的です。

回転移動で本当に必要なのは、動いた後の図を一瞬で想像する才能ではありません。

中心を決め、半径を確認し、円弧を描きながら少しずつ動きを追う力です。

頭の中だけで回そうとせず、

中心を印で囲む
半径を書く
円弧を描く

という作業を習慣にしてください。

この基本が安定すれば、点の移動だけでなく、辺が通過する面積や多角形が転がる中学受験の応用問題にも対応しやすくなります。