中学受験算数の倍数｜基本と解き方をやさしく解説

中学受験算数の倍数で押さえたい基本

この記事では、中学受験算数の「倍数」について、基本的な意味から公倍数・最小公倍数、倍数判定、周期や余りを使う応用問題まで順番に解説します。

倍数は、中学受験算数の整数分野で欠かせないテーマです。

単純に「3の倍数を書きなさい」という問題だけでなく、

周期
日数
余り
場合の数
数の性質

など、さまざまな単元に登場します。

まずは言葉の意味を確実にしましょう。

倍数とはある整数を何倍かしてできる数

3の倍数なら、

3、6、9、12、15……

と続きます。

これは、

3×1＝3
3×2＝6
3×3＝9

のように、3を整数倍してできる数です。

同じように4の倍数は、

4、8、12、16、20……

です。

子どもには、「3の段に出てくる数が3の倍数」と説明すると、最初は理解しやすくなります。

ただし、中学受験では大きな数も扱うため、書き出すだけでなく規則として理解することが必要です。

公倍数は共通する倍数

2つ以上の数に共通する倍数を公倍数といいます。

例えば4と6なら、

4の倍数：4、8、12、16、20、24……
6の倍数：6、12、18、24、30……

なので、公倍数は、

12、24、36……

となります。

「両方の倍数になっている数」と考えれば難しくありません。

文章題では、「2つの出来事が同時に起こるタイミング」を考えるときに公倍数を使うことがあります。

最小公倍数は公倍数の中で最も小さい数

4と6の公倍数は、

12、24、36……

なので、最小公倍数は12です。

最小公倍数は、「最初に同時になるところ」と考えると分かりやすくなります。

例えば、

Aのランプは4秒ごと
Bのランプは6秒ごと

に光るとします。

同時に光った直後から考えると、次に同時に光るのは、

4と6の最小公倍数である12秒後

です。

倍数が周期問題に使われる理由もここにあります。

倍数と約数を混同しない

子どもがよく混乱するのが、倍数と約数です。

12について考えると、

12の倍数：12、24、36、48……
12の約数：1、2、3、4、6、12

です。

倍数は12から先へどんどん増えていきます。

一方、約数は12を割り切れる数なので個数に限りがあります。

家庭では、

「12を何倍かしたもの？」→倍数
「12を割り切れるもの？」→約数

と問い分けると整理しやすくなります。

倍数の基本問題を例題で解いてみよう

ここからは、中学受験でよく扱う基本問題を確認します。

例題1｜ある数の倍数を求める

問題

7の倍数を小さい順に5個書きましょう。

7×1＝7
7×2＝14
7×3＝21
7×4＝28
7×5＝35

なので、

7、14、21、28、35

です。

基本ですが、後の問題を解くための出発点になります。

例題2｜2つの数の最小公倍数を求める

問題

6と8の最小公倍数を求めましょう。

6の倍数は、

6、12、18、24……

8の倍数は、

8、16、24……

です。

最初に共通する数は24なので、最小公倍数は24です。

数字が小さいうちは書き出しでも十分です。

慣れてきたら、素因数を利用する方法や連除法など、塾で習った方法に移ってもよいでしょう。

大切なのは方法だけでなく、「最小公倍数＝最初に共通する倍数」という意味を理解していることです。

例題3｜何番目の倍数かを求める

問題

84は7の倍数の中で何番目でしょうか。

7の倍数は、

7×1、7×2、7×3……

と並びます。

そこで、

84÷7＝12

なので、84は7の倍数の12番目です。

「何番目」と聞かれたら、対象の数をもとの数で割ると考えましょう。

例題4｜ある範囲に倍数が何個あるか求める

問題

1から100までに、6の倍数はいくつありますか。

100÷6＝16あまり4

です。

つまり、

6×16＝96

までは100以下ですが、

6×17＝102

は100を超えます。

したがって、6の倍数は16個あります。

中学受験では「何個あるか」という問題がよく出ます。

全部書き出さず、

上限÷求めたい倍数

で考える方法を身につけましょう。

中学受験で差がつく倍数の応用問題

基本を理解したら、倍数判定・周期・余りなどへ進みます。

2・3・4・5・9の倍数判定を使う

大きな数がある数の倍数かどうかを素早く判断する方法があります。

例えば、

2の倍数：一の位が0・2・4・6・8
5の倍数：一の位が0または5

です。

3の倍数は、各位の数字の和が3の倍数なら、その数も3の倍数です。

例えば、

4725

なら、

4＋7＋2＋5＝18

です。

18は3の倍数なので、4725も3の倍数です。

9の倍数も同様に、各位の数字の和が9の倍数かを調べます。

4の倍数は、下2桁が4の倍数なら、その数全体も4の倍数です。

例えば7316なら、下2桁の16が4の倍数なので7316も4の倍数です。

周期の問題では最小公倍数に注目する

問題

Aは6日ごと、Bは8日ごとに同じ仕事をします。今日2人が同時に仕事をしたとすると、次に同時になるのは何日後ですか。

6と8の最小公倍数を求めます。

6の倍数：6、12、18、24……
8の倍数：8、16、24……

なので24日後です。

「○日ごと」「○秒ごと」「○回ごと」という問題では、最小公倍数を使えないか考えてみましょう。

余りのある問題は条件を書き換える

問題

ある数を5で割ると2余り、7で割っても2余ります。このような数のうち、2より大きい最も小さい数を求めましょう。

その数から2を引けば、

5でも割り切れる
7でも割り切れる

ことになります。

つまり、「その数－2」は5と7の公倍数です。

5と7の最小公倍数は35なので、

35＋2＝37

です。

答えは37です。

余りが同じ問題では、「余りを引いたら何の倍数になるか」を考えると整理しやすくなります。

複数の倍数を数えるときは重複に注意する

問題

1から100までの整数のうち、2の倍数または3の倍数はいくつありますか。

2の倍数は、

100÷2＝50個

です。

3の倍数は、

100÷3＝33あまり1

なので33個です。

単純に、

50＋33＝83個

とすると間違いです。

6の倍数は2の倍数でもあり3の倍数でもあるため、2回数えています。

6の倍数は、

100÷6＝16あまり4

なので16個。

したがって、

50＋33－16＝67個

です。

「または」という問題では、重なって数えたものがないか確認しましょう。

倍数が苦手な子への家庭での教え方

倍数は公式だけ覚えるより、数の並びを実際に見せるほうが理解しやすい単元です。

最初は九九を使って倍数を書き出す

最初から難しい最小公倍数の求め方を覚えさせる必要はありません。

例えば4と6なら、

4、8、12、16、20、24
6、12、18、24

と実際に書かせます。

共通する12、24に丸を付ければ、公倍数の意味が見えてきます。

基本の意味を理解してから、効率的な計算方法へ進みましょう。

最小公倍数は意味を理解してから求める

連除法などを習うと、機械的に最小公倍数を求められるようになります。

しかし、

「なぜ最小公倍数を求めているの？」

が分からないままだと文章題で使えません。

家庭では、

「これは最初に何が同時になる問題？」

と聞いてみましょう。

計算方法より、「共通するタイミング」という意味を理解することが大切です。

倍数判定は理由とセットで覚える

倍数判定は便利ですが、覚えるルールが増えると混乱する子もいます。

まずは、

2
3
5

など頻出のものから始めましょう。

さらに、単に暗記させるだけでなく、

「4725が3の倍数か調べるには？」

と実際の数で確認します。

ルールを問題の中で使う経験を作ると定着しやすくなります。

基本から周期・余りへ段階的に進む

おすすめの順番は、

倍数を書き出す
公倍数を見つける
最小公倍数を求める
倍数の個数を数える
周期問題
余りの問題

です。

いきなり複雑な入試問題へ進む必要はありません。

例えば最小公倍数が苦手なら、6と8、4と10など小さい数から練習します。

一つずつできる状態を作るほうが、難問を何度も解くより効果的です。

まとめ｜倍数は「何の倍数か」を整理して考えよう

中学受験算数の倍数では、まず、

倍数
公倍数
最小公倍数

の意味を正確に理解することが大切です。

倍数はある数を整数倍してできる数、公倍数は複数の数に共通する倍数、最小公倍数はその中で最も小さい数です。

基本が身につくと、

倍数の個数
倍数判定
周期
余り
複数条件の整数問題

へ応用できます。

特に周期問題では最小公倍数、同じ余りが出る問題では「余りを引いた数が何の倍数になるか」に注目しましょう。

家庭では、いきなり効率的な解法を暗記させず、まず実際に倍数を書き出して共通する数を見つける経験を作ってください。

中学受験の倍数問題で重要なのは、計算方法を覚えること以上に、「今求めている数は何の倍数になるのか」を整理することです。

基本問題から周期・余りの問題へ段階的に進めれば、倍数は整数問題の大きな得点源にできます。