中学受験の展開図の解き方｜迷わないコツ

中学受験の展開図はなぜ難しい？

この記事では、中学受験の展開図の解き方を、面・辺・頂点を順番に追う基本手順から家庭での練習方法まで分かりやすく解説します。

展開図は、中学受験の立体図形でつまずきやすい単元です。

計算問題なら式を書けば途中経過が見えますが、展開図では紙に描かれた平面を頭の中で折り、

「この面はどこへ行くか」

を想像しなければなりません。

平面を頭の中で立体にする必要がある

立方体の展開図は、6枚の正方形が平らにつながっています。

ところが実際に組み立てると、

上
下
前
後
左
右

の6面になります。

苦手な子は、この変化を一瞬で完成形にしようとして混乱します。

大切なのは、

1面を固定する
↓
隣を1枚折る
↓
さらに1枚折る

と順番に考えることです。

面だけでなく辺・頂点まで考える必要がある

中学受験では、

「Aと向かい合う面はどれか」

だけでなく、

「辺PQと重なる辺はどれか」
「点Rと同じ頂点になる点はどれか」

と聞かれることがあります。

面の位置が分かっても、辺や頂点になると急に難しくなる子は少なくありません。

そのため、

面
→辺
→頂点

の順で理解すると整理しやすくなります。

形の丸暗記では応用問題に対応しにくい

立方体の展開図は全部で11種類あります。

ただし、その11種類を形だけ覚えても、

記号が書かれている
一部に線が引かれている
頂点を答える

といった問題では迷います。

中学受験では「見たことのある形か」より、

どう折れるか

を理解することが重要です。

展開図の解き方｜基本の5ステップ

展開図は、毎回同じ手順で考えると安定します。

ステップ1｜基準となる面を1つ決める

まず、展開図の中から1枚を選び、

「ここを底面にする」

と決めます。

例えば面Aを底面とします。

この時点でAは動かさないと決めると、そのほかの面の位置を考えやすくなります。

展開図が苦手な子ほど、頭の中で立方体全体を回そうとします。

まず基準面を固定することが第一歩です。

ステップ2｜隣の面を90度ずつ立てる

底面Aの隣にある面は、辺を軸にして90度立ち上がります。

例えばAの右にBが付いていれば、Bは右側面になります。

Aの上にCがあれば、Cは前面または奥側の面になります。

さらにBの外側に別の面Dがあれば、DもBとの境目を軸に90度折れます。

一気に完成形へ飛ばず、

1回折る
もう1回折る

と追うことがコツです。

ステップ3｜向かい合う面を先に決める

立方体には、向かい合う面が3組あります。

例えば、

上と下
前と後
左と右

です。

基準面Aを底面にしたら、その真上へ来る面を探します。

その面がAと向かい合います。

向かい合う面を先に3組決めてしまうと、その後の辺や頂点問題がかなり楽になります。

ステップ4｜辺は「2つの面の境界」で考える

例えば展開図に辺PQがあるとします。

この辺だけを頭の中で動かそうとすると、どこへ行くか分からなくなりやすいです。

そこで、

「PQはA面とB面の境界」

のように考えます。

組み立てたときにA面とB面が接する場所を探せば、その位置と重なる辺が見つかります。

辺問題では、

辺だけを見る
のではなく
その辺の両側にある面を見る

のがコツです。

ステップ5｜頂点は「3つの面」で考える

立方体の1つの頂点には、必ず3面が集まります。

例えば点Rが、

上面
前面
右側面

の3面が交わる場所なら、展開図の中で同じ3面が集まる角を探します。

点を1つずつ移動させるより、

「この頂点にはどの3面が集まる？」

と考えたほうが簡単です。

中学受験でよく出る展開図の問題と解き方

基本手順を覚えたら、典型問題に当てはめます。

向かい合う面を求める問題

例えば6面に、

A・B・C・D・E・F

と書いてあり、

「Aと向かい合う面を答えなさい」

という問題です。

まずAを底面に固定します。

Aに隣接する面を順番に立て、最後にAの真上に来る面を探します。

それが答えです。

展開図上で最も離れている面が答えとは限りません。

必ず折った位置で判断します。

重なる辺を求める問題

「辺ABと重なる辺を答えなさい」という問題では、

ABがどの2面の境界なのか

を最初に確認します。

例えば、

面①と面②の境界

だと分かれば、立方体を組み立てたときに面①と面②が接するもう一方の辺を探します。

折ったときに接する面の組み合わせを見ると、辺の対応を追いやすくなります。

重なる頂点を求める問題

頂点問題でも考え方は同じです。

例えば点Pが、

面A
面B
面C

の3面が集まる角だとします。

展開図上でA・B・Cの3面が同じ立方体の角に集まる位置を探します。

その位置にある別の点がPと重なります。

「点Pがどこへ移動するか」ではなく、「どの3面が集まるか」と考えるのがポイントです。

立方体になる展開図を選ぶ問題

6枚の正方形がつながっていても、必ず立方体になるとは限りません。

折ったときに、

2枚の面が同じ場所に重なる

配置は失敗です。

基準面を1つ決め、

周りを順番に90度ずつ立てる

と確認できます。

途中で上面に2枚来てしまったら、その図は立方体になりません。

11種類の形を丸暗記して判定するより、この方法のほうが初めて見る図にも対応できます。

展開図を使って最短距離を考える問題

発展問題では、立方体の表面上にある2点間の最短距離を求めることがあります。

立体の表面を進むと道が曲がって見えますが、通る面を展開すると平面上で一直線にできます。

例えば2つの面を開いて長方形にし、その上で2点を直線で結びます。

つまり展開図は、

立体を平面に直して考える道具

としても使われます。

展開図が苦手な子の家庭学習法

展開図は、センスだけで決まる単元ではありません。

具体物と紙を行き来すれば、少しずつ頭の中で折れるようになります。

最初は実際に紙を折って確認する

展開図を見ても何も浮かばない子には、最初から頭の中だけで解かせる必要はありません。

紙に展開図を描き、

切る
折る
立方体にする

ところまでやります。

その際、

向かい合う面を同じ記号にする
重なる辺に同じ色を付ける
同じ頂点に同じ印を付ける

と、対応関係を理解しやすくなります。

1日3問程度で面・辺・頂点を分ける

展開図は、20問を一気に解くより、

1問目＝面
2問目＝辺
3問目＝頂点

のように少数を丁寧に解くほうが向く場合があります。

どの段階で止まるのかも分かります。

例えば面は正解するのに頂点だけ間違えるなら、頂点問題を重点的に復習できます。

翌日は実物を使わず同じ問題を解く

前日に実際に折った展開図を、翌日は折らずに解いてみます。

昨日は模型が必要だった問題を、

今日は紙だけで解けるか

確認するのが目的です。

できなければ再び折って構いません。

この往復を続けることで、実物のイメージが少しずつ頭の中へ移ります。

答えより「どう折ったか」を説明させる

正解しても、

「なんとなくAだと思った」

では定着しにくいものです。

そこで、

「どの面を底にした？」
「次にどの面を立てた？」
「どうしてこの2辺が重なるの？」

と聞きます。

子どもが順序を説明できれば、考え方を理解しています。

まとめ｜展開図は一気に折らず順番に追おう

中学受験の展開図では、

頭の中ですぐ立方体を完成させる力

だけが必要なのではありません。

基本は、

基準面を1つ決める
隣の面を90度ずつ立てる
向かい合う面を決める
辺は2面の境界として見る
頂点は3面の組み合わせで見る

という手順です。

特に苦手な子は、11種類の展開図を丸暗記するより、この順番を身につけるほうが応用しやすくなります。

展開図の解き方で最も大切なのは、一気に立方体を想像しようとせず、1面ずつ折るつもりで位置関係を追うことです。

家庭では、最初は実際に紙を切って折って構いません。

実物で確認する
↓
紙だけで考える
↓
翌日に頭の中で再現する

という流れを作りましょう。

向かい合う面が安定したら辺へ、辺が安定したら頂点へ進みます。

この順番で練習すれば、展開図は「見えた子だけが解ける問題」ではなく、手順を使って考えられる問題へ変わっていきます。